小学数学核心内容群:本质解析与教学设计

小学数学核心内容群：本质解析与教学设计

武丽莎

【摘 要】小数数学核心内容群,即在小学数学的三个学习领域(数与代数、图形与几

何、统计与概率)内,能够联结相应领域中不同学段的小学数学内容并为其提供持续

性支持、具有奠基作用的数学知识结构和数学思想方法.小数数学核心内容群具有

联结性特征、持续性特征、奠基性特征、思想性特征,从数学学科发展以及数学本

质的角度解析核心内容群有助于小学数学教学策略的设计与教学资源的开发.

【期刊名称】《唐山师范学院学报》

【年(卷),期】2019(041)003

【总页数】8页(P130-136,141)

【关键词】小学数学核心内容群;本质解析;教学设计

【作 者】武丽莎

【作者单位】唐山师范学院数学与信息科学系,河北唐山 063000

【正文语种】中 文

【中图分类】G622.3

《现代汉语词典》对“核心”一词的解释为中心，即主要部分[1]。所谓“核心”，

是指在一定的领域或体系中，对事物或事情的存在提供支持和持续作用、某类领域

或体系中不可或缺的部分，既可以是现实世界的存在物，也可以是精神世界的存在

物。从范围层面来看，“核心”一定是针对某个领域或者体系而言，以孤立形态存

在的对象没有“核心”；从时间层面来看，“核心”对事物或事情存在的支持具有

持续性，其支持作用不会消失；从功能层面来看，“核心”是不可或缺的，是一个

领域或体系存在的前提，具有一定的奠基作用。

数学内容是数学知识与数学思想两条主线的集中体现[2]，缺少数学知识的数学内

容没有价值，缺少数学思想的数学内容没有灵魂，数学知识发生发展的过程就是数

学思想形成凸显的过程。小学数学内容作为数学内容的下位概念，一方面应该具备

数学内容的共同属性，另一方面又具有反映自身的特殊性。《义务教育数学课程标

准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011年版）》）指出：“在数学课

程中，应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、

运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程

还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”[3]

基于“核心”和小学数学内容两方面因素，我们提出小学数学核心内容群的概念，

它是包括知识点、综合数学知识结构和思想方法的内容体系，具有基础性、联结性、

持续性、思想性等特征。所谓小数数学核心内容群，即在小学数学的三个学习领域

（数与代数、图形与几何、统计与概率）内，能够联结相应领域中不同学段的小学

数学内容并为其提供持续性支持具有奠基作用的数学知识结构及其蕴含的数学思想

方法。

2.1.1 数与数量

人类很早便具有区分数量的能力，数的形成依赖于对现实世界中数量本质的抽象，

但是从这种对数量的感性认知抽象到对数的理性认知却是缓慢渐进的，这种理性认

三个角度来理解：第一，数位与计数法；第二，数域的扩充；第三，数的特征分类。

如图1所示，小学数学第一学段和第二学段分别接触万以内的数和万以上的数，

自然数表示实现由小到大的关键在于数位与计数法的使用。数位是指在一个数中每

个数字符号所占的位置，一个数字符号不仅代表自身的数值，还隐含着它所在的数

位，即使是同一个数字符号，由于所在数位不同，计数单位不同，所表达的含义也

就不同。在众多计数法中，我国的十进位制（满十进一，四位一级）记数体系成为

普遍采用的方法。马克思认为：“中国的十进位制是最美妙的发明之一。”[7]也

正是因为数位与十进制，我们才能够利用“0～9”十个数字符号表示出所有的自

然数。在我国，除了利用数位记数法来表示自然数，还有一种科学记数法。在科学

出现比微积分还要晚100多年。如上所述，我们利用科学记数法可以得到

而对于9.527依然可以写成基底10的线性组合形式，即

与整数不同的是，这里用10的负整数幂表示，所以小数使分数与整数在表征形式

上得到了统一。除此以外，小数另一个重要的价值在于对无理数和有理数的描述。

所谓无理数是指无限不循环小数，而有理数是指有限小数和无限循环小数。负数的

引入并非一帆风顺，起初人们在解方程时以否认回避的态度对待负根。古希腊数学

家丢番图（Diophantus）曾将负数解视为“荒唐的东西”加以舍弃；我国唐代数

学家王孝通的《缉古算经》对负根也只字不提；然而，负数作为正数的补充，来源

于社会实践，并在实践的推动之下逐渐被世人公认。

我们根据自然数特征，按照不同的标准将其分类。以能否被2整除为标准分为奇

数和偶数，所有的奇数用2n+1（n∈Z）表示，所有的偶数用2n（n∈Z），这对

后期数列的学习有着重要作用；以因数是否只有1和自身为标准分为质数（素数）

和合数。素数是数论的主要研究对象，在数论中，与素数相关的定理很多，例如欧

拉函数、高斯的二次互反律、歌德巴赫猜想等等，素数为数论的发展提供了素材；

而对于因数和倍数，在小学阶段，公因数为分数约分奠定基础，公倍数为分数通分

奠定基础。

2.1.2 运算

运算在小学数学中开始最早，时间跨度最长，运算内容采用螺旋式组织方式，如图

2所示。从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，可以将减法运

算视为加法运算的逆运算，将乘法运算视为特殊的加法运算，而将除法运算视为乘

法运算的逆运算。运算包含两个层面：第一，是对数字符号（常量）的四则运算；

第二，是对字母符号（变量）的四则运算。在数学发展史上，数字运算施行于具体

的数，而字母运算施行于事物的形式[5,p129]。从数字进行具体的演算到利用符号

进行抽象的形式演算，人类经历了漫长的岁月，但无论是数字运算，还是字母运算，

其本质在于算理的把握，例如在加法运算中，加一个正数所得结果一定比原来的数

大。

小学阶段的估算不需要精确计算来解决问题，其本质在于获得一定误差允许范围内

运算结果的上界或下界，是心算、数感、算术技巧之间相互作用的过程。小学的两

个学段都涉及到估算，但是侧重点有所不同：第一学段的估算主要侧重在实际情境

中合理估算测量单位，例如，估计书本长度时一般采用厘米作为单位；第二学段的

估算主要侧重利用合理的估算解决问题，例如9.9×5.9与50的大小关系。

2.1.3 式与方程

由“数”到“式”是学生对数的符号化表征进一步抽象的过程，“式”不是确定性

的数，是可以取得不同数值的符号，而字母表示数的出现，意味着代数学的开始，

第一个有意识地使用字母进行抽象运算的是法国数学家韦达[6,p32-33]。对韦达字

母符号的改善工作由笛卡尔完成，他首先用拉丁文字母的前几个（a，b，c，

d，……）表示已知量，后几个（x，y，z，w，……）表示未知量，形成今天的习

惯[5,p129]。从理论上讲，代数是字母的算术，代数思维的本质是关系思维，其目

的是发现具有一般化的关系、普遍化的结构[8]，例如用符号表示运算律、计算公

式，都是将数的知识提升到一般化的水平。自此数学开始进入变量数学的时代，从

常量到变量的过渡，是数到符号的转变，是具体思维到抽象思维的飞跃。变量是从

数量关系上反映客观事物的运动和变化，变量的出现为方程、函数等重要概念登上

数学的舞台奠定了重要的基础，对数学发展的影响是巨大的。

方程是从现实世界到数学世界的一个提炼过程，实现了数学从数量关系到等量关系

的转变，其本质在于利用数学的符号表达等价关系，方程思想集中体现在建模与化

归两个方面[9]。因此方程的结构包含了等量关系、代数式的运算结构以及等式变

形的结构，这里所说的结构是指“从语言表达抽象出来的一种形式”[10]。而小学

第二学段出现的简易方程作为刻画现实情境中等量关系的工具，其价值在于提供用

代数方法解决现实问题的途径，而代数方法的出发点就是建立模型，进而促使学生

形成从现实世界抽象到数学符号的建模过程，为以后方程与方程组的学习奠定基础。

方程建模说明了数学与现实生活密不可分的关系，而方程的求解是利用四则运算的

算术思路来计算未知数。

《课程标准（2011年版）》指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何

图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位

置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出的图形等。”[3,p6]基于此我

们将小学数学“图形与几何”的核心内容群定为图形的空间描述和图形的度量。

2.2.1 图形的空间描述

图形的空间描述是以空间视觉为基础，形成空间物体在形状、变换、位置关系等特

征的属性表象[11]，包括图形的认识、图形的运动、图形的位置三部分，位于小学

数学的第一学段和第二学段，如图3所示。图形的认识依赖于人们对现实世界中

物体外部轮廓特征的抽象，从而实现三维空间的物体到二维平面图形的转化[12]。

图形的运动和图形的位置是图形量化研究的两个重要领域，其关键在于参照系，因

此它们实现的前提是笛卡尔与费马将数与图形的有机结合，创立坐标系和解析几何

学[12,p119]。

在小学阶段，儿童对图形的认识基于日常生活中积累的关于图形的生活经验，通过

观察、想象认识常见的立体图形与平面图形。而认识图形的关键在于图形的分类，

在分类时不仅要关注图形之间的共性，还要关注图形之间的差异，例如长方体与圆

柱虽然都属于空间几何体（共性），但是长方体是多面体而圆柱是旋转体（差异）。

其本质是直角坐标系下的数对与点的一一对应关系；（2）利用方向和距离确定事

物的位置，其本质是极坐标下的数对与点的一一对应关系。小学阶段关于图形运动

的基本形式有两种：一是图形的形状和大小不变，位置发生变化的刚体运动，例如

图形的平移变换、旋转变换、反射变换；二是图形的形状不变，大小发生变化的相

似运动，例如放缩变换。我们可以利用图形的运动来描述一些图形的相关概念，例

如利用平移变换描述平行线，即通过平移得到的直线与原直线平行；利用旋转变换

描述图形的中心对称；利用反射变换描述轴对称以及利用放缩变换描述图形的相似。

2.2.2 图形的度量

小学阶段图形的度量可以分为平面图形的度量和立体图形的度量，如图4所示。

平面图形可以从长度（一维）、面积（二维）两个角度来度量，而立体图形可以从

体积（三维）角度来度量。度量的本质就是图形所包含的度量单位的多少，因此度

量的条件是度量单位，度量的要求是单位的统一，所以在小学数学的第一学段涉及

了国际通用长度单位、面积单位的认识，第二学段涉及体积单位的认识，为图形的

度量提供基础条件。除此之外，第一、二学段都涉及了估测，第一学段要求“估测

一些物体的长度、给定的简单图形的面积”，第二学段要求“体验某些实物体积的

测量”，例如测量一个土豆的体积，可以转化为测量与土豆等体积的规则物体的体

们所收集到的数据可能是杂乱无章的，并不能直接从中看出统计规律，所以需要对

数据进行整理，提取有用的数据信息，因此数据信息的提取是数据分析前提。第二，

对数据分析方法的选择。在小学阶段主要有条形统计图、扇形统计图、折线统计图

等数据分析方法，不同的分析方法对应不同的问题，因此需要根据待解决问题选择

合适的分析方法。如果希望得到数据中某些数量之间的差异，可以选择条形统计图；

如果希望了解不同部分所占总体的百分比，可以选择扇形统计图；如果希望得到数

据变化趋势，可以选择折线统计图。分析方法的选择是数据分析的保障。第三，对

分析结果的预测。数据分析结果具有一定的随机性，其原因在于每次所选择数据的

不同。因此在小学阶段，只能根据分析结果做出简单的判断和预测，使学生初步体

会统计中因果推断的思想，分析结果的预测是数据分析的目的[16]。

2.3.2 随机现象

随机现象发生的可能性大小用概率来表示，虽然概率是未知的，但是随机现象具有

统计规律性，这种统计规律是一种总体规律，一定是在大量同类随机现象中才能呈

现，它的存在构成了或然数学的研究基础[17]。在小学阶段，要求学生感受随机现

象，我们可以从两个层面理解随机现象：第一个层面是对随机现象本身的认识；第

二个层面是对随机现象的合理解释[18]。列出简单的随机现象中所有可能发生的结

果（基本事件），体会随机现象结果发生的可能性大小（概率），对其做定性的描

容群与学生内部心理过程综合起来，在不同学段对其他小学数学内容提供动态支持，

这种支持不仅包括数学概念、定理和公式等人们在长期数学活动中形成的间接经验，

还包括学习者通过自身的观察、操作、比较、分析、归纳、概括等活动而获得的直

接经验，下面以“字母表示数”与“分数乘法”的教学设计片段为例进行分析。

“字母表示数”属于式与方程，是小学生初步接触数学抽象的内容，既是对数的学

习的总结，也是对式的学习奠基，具有承上启下的作用。在教学中，教师用《数青

蛙》儿歌来引导学生理解用字母表示数[19,p58]：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。

……

让学生边拍手边有节奏地数青蛙，与此同时课件出现很多青蛙，直到数不清，这时

教师提问：我们可以用今天所讲的内容将这首儿歌数完吗？

学生在练习纸上填写：

生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

生2:a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿。

生3:a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

生4：a只青蛙a张嘴，aa只眼睛aaaa条腿。

生5:a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

在实际教学中，能够真正说出第五种答案的学生，其实并不多，大部分表现为第二

种、第三种。与成人思维不同，小学生对于字母表示数难以理解，主要原因在于：

（1）字母表示数体现了数学的抽象，这个学习过程是学生从具体数字到抽象字母

的转变过程，是从算术思维向代数思维的转变过程，体现了数学符号意识；（2）

在教学中，大部分教师会反复强调“字母可以表示任意数”，这是导致学生出现第

二种或第三种答案的主要原因，学生只关注到字母可以表示任意数，没有明确数量

之间的关系。

字母表示数的本质在于描述数量之间的关系，这种关系体现了一般性，当我们用a、

b、c、d表示任意数的时候，更应该说明它们之间的关系，符号化有助于数量关

系理解，学生利用符号或者图形来表示量与量之间的关系，让符号在表达时产生数

学意义，这种符号化表达使数量关系具有一般性，在这个过程中，实现了由常量到

变量的过渡。学生要学会用符号或者符号组成的比例关系、方程等模型去描述、分

析、解决数学问题。还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律、

乘法运算律、长方形面积公式、圆柱体积公式、路程速度时间的关系），在表示公

式和法则的活动中，学生将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运

算可以表示一般的规律。

在分数乘法的教学中，教师用这样的问题引入[19,p63]：每小时织围巾米，小时织

多少米？学生能够很快回答出是。

师：与有什么区别？

生：一个是乘以整数，一个是乘以分数

师：今天重点研究分数乘分数（板书），这对于我们来说是一个新的挑战。对于这

样一个新的问题，我们用什么方法来研究？

生：可以用画图的方法？

师：怎么想到的？

画法要比第一种画法更利于学生理解。第一种画法还要将后面4份继续平分，才

能够看出结果是，而第二种画法是整个的都分成2份，10份里面的1份，非常清

楚地表示出。对一些较复杂数量关系小学生很难在抽象符号的表达中理解，借助图

形理解数量关系，可以更直观更清晰，使小学生形象而深刻地理解数量关系，提升

其学会看图、理解图的能力。

数学核心内容群是小学生数学核心素养的重要载体，在数学课程中起到主线的作用，

贯穿整个数学教学。经过由古至今的漫长发展，现代数学已经是一个分支众多的知

识系统，孤立的数学内容是不存在，小学数学内容作为整个数学知识系统的缩影，

是众多数学内容按照一定的学科逻辑顺序和学生认知结构顺序而进行的有效组织，

小学数学核心内容群或者以本源内容的形式，或者以小学数学内容主线的形式体现。

聚焦小学数学核心内容群进行教学设计，能够实现数学课堂的有效教学。

【相关文献】

[1] 中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典[Z].北京:商务印书馆,2010:554.

[2] 陈祥彬.在小学数学教学中渗透数学思想方法[J].课程·教材·教法,2010,(7):37-41.

[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版

社,2011:5.

[4] 卡尔·B.博耶.秦传安,译.数学史[M].北京:中央编译出版社,1991:3-4.

[5] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2000: 11.

[6] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].长春:东北师范大学出版社,2008:5-8.

[7] 徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2007: 22.

[8] 徐文彬,杨玉东.“本源性问题”及其在数学课堂教学中的应用[J].数学教育学报,2005,(3):14-16.

[9] 史宁中,孔凡哲.方程思想及其课程教学设计——数学教育热点问题系列访谈录之一[J].课程·教

材·教法, 2004,(9):27-31.

[10] 史炳星.从算术到代数[J].数学教育学报,2004,(2):79- 81.

[11] 韩龙淑,吕传汉.空间观念的含义和特征及其教学策略[J].数学教育学报,2010,(6):20-22.

[12] 史宁中.数学思想概论——图形与图形关系的抽象[M].长春:东北师范大学出版社,2009:2.

[13] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京:高等教育出版,2013:57.

[14] 史宁中,等.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京:北京师范大学出版社,2012:57.

[15] 曹学良,郑洁.关于概念图在概率统计教学中应用的一些思考[J].数学教育学报,2007,16(1):37-39.

[16] 童莉,张号,张宁.义务教育阶段学生数据分析观念的评价框架建构[J].数学教育学

报,2014,23(2):45- 48.

[17] 朱家生,姚林.数学,它的起源与方法[M].南京:东南大学出版社,1999:162-163.

[18] 章飞.义务教育阶段概率有关知识的内容定位与教材实施[J].数学教育学报,2004,(1):48-51.

[19] 马云鹏.小学数学课程标准与教材研究[M].北京:高等教育出版社,2016.