简易方程”单元学生自我纠错个案研究小学数学教育

2023年11月6日发(作者：take my hand)

孩子，我该退到什么地方等你——“简易方程”单元学生自我

纠错个案研究小学数学教育

【题记】

记录下个体生命的履痕，从某种意义上，比记录重大事件更有价

值。

——八月长安《你好，旧时光》

【内容摘要】

“自我纠错能力”是指学生在数学学习过程中，主动发现错误，

主动纠正错误，进而形成知识技能、方法习惯与情感态度的数学素养。

如何培养学生“自我纠错能力”？我归纳为“三句话”：疑难问题不

放过、举一反三找规律、回顾反思常总结。为了较好地说明这一教学

策略的运用，笔者采用实证研究方式，对五年级学生“纠错学习”进

行个案研究。文章分研究背景、研究过程与研究启示三部分进行阐述。

【关 键 词】

自我纠错 三句话 引导 个案研究 实证

本文发表于《小学数学教育》2019年3月）

的，如果每位老师都学会了“容错”，让错题变成宝贵的教学资源，

就能变“错”为宝，起到事半功倍的作用。

什么是“自我纠错能力”？是指学生做学习的主人，在数学学习

过程中，主动发现错误，主动纠正错误，进而在在纠错中掌握数学知

识技能，形成“知错—悟错—改错”的态度、方法和习惯，在改错中

错误是正确的先导，失败是成功之母。孩子是在错误中学会成长

积累淀学习经验和思想方法，形成数学“核心素养”，并能迁移到其

他学科，促进他们终身学习和可持续发展。

在我看来，“自我纠错能力”包括三个层面：

一是主动纠错能力。即 有明确的学习目的，对学习有浓厚的兴趣，

肯与老师、家长配合，主动发现错误，主动纠正错误；

二是独立纠错能力。即有自我意识，能在老师、家长的指导下，

养成主动纠错的习惯，掌握纠错的方法，自我检查，自我评价，自我

补偿；

三是灵活纠错能力。即能灵活独立运用各种方式方法下纠正学习

中的错误，善于提出问题、解决问题，善于识疑、质疑、解疑，进而

养成深刻而批判的思维品质。

如何培养学生“自我纠错能力”？我归纳为“三句话”：疑难问

【研究背景】

五年级学生，女，爸爸在做生意，妈妈帮人看店，外来人口。平

时，她自己多数是自顾自，有较强的自理能力。由于该女生对数学教

材的理解存在一定的困难，学习成绩在班上属中等偏下。

我大约花了1个小时，和她聊天，一起纠正单元练习中的错误，

一起合作与探究学习。在此订正过程中，我慢慢引导她感悟、理解

“学好数学三句话”，以促进她的可持续地发展。

为了便于叙述，我把某女生简称为“夏同学”或“小夏”。

【研究过程】

【片断一】订正填空第1题

师：小夏同学，这次《方程》单元练习你得了70分，上次只有64

分，有了明显的进步。我刚刚看了一下你做的这一单元的填空题，21

分中你得12分，扣了9分，算是比较多了。所以，我们今天就一起来

挑两道错题进行重点订正。好吗？

夏：好的。

师：我在班上说过，学好数学三句话，你还记得吗？能否说一遍。

夏：学好数学三句话是：疑难问题不放过，举一反三找规律，回

顾反思常总结。

师：真不错！我们先来看第一题，我发现这道题你已经订正好了。

这道题是：修路队x天修2.4千米的公路，平均每天修（ ）千米。

你原来填的是（x÷2.4），订正时改成了（2.4÷x），疑难问题不放过

——你能说说为什么这样改吗？（如下图）

夏：因为题目求的是“平均每天修多少千米”。

师：嗯，说得不错。那么，你原来填的是“x÷2.4”又表示什么意

思呢？

夏：是每天的千米……不是……x是2.4的几倍……

【即时感悟】因为这个女孩对数量关系的理解与表达也相对存在

一定的困难，所以如果单单通过“告诉”的方式来引导她，而她自己

没有足够的体验与经验支撑，还是无法达到预期目标的。

师：看来，你不能准确地说出“x÷2.4”所表示的意思？这样吧，

我们先来看另一道题：一个修路队3天修了6千米，你能提出什么问

题吗？

夏：每天修了多少千米？

师：应该是“平均每天修了多少千米？”

夏：嗯，平均每天修了多少千米？（女孩口头重复了一遍）

师：怎样列式？

夏：6÷3=2（千米）。（女孩把刚刚说的写了下来）

师：你还能提什么问题？

夏：……（女孩又在刚才的地方卡住了）

师：（反过来问）你知道“3÷6”表示什么意思吗？

（我叫女生先写下算式，边写边想，这个算式表示什么。女孩最

终写下是“3天修了多少倍数？（如下图）

【即时感悟】看来，虽然我已经后退了很多（把原式中的小数改

成了整数，把原式中的未知数改成了已知数，但夏女孩还是没有理解，

她似乎没有逆向思维的这一本领，或许因为原先的自我学习或老师引

导中，这样的逆向思考根本就没有或很少的缘故吧。

师：（没有气馁，继续引导）3÷6等于多少？

夏：（口算也不熟练，大约1分钟才说出）3÷6=0.5。

【即时感悟】一个简单的口算就难住了这个女孩，看来孩子的问

题不仅仅是应用题的数量关系，就连小数除法口算也是孩子数学前行

的障碍呢。那就只能从小数除法的口算开始，来给女孩补补功课。

师：刚才，我们写了两个除法算式，一个是6÷3=2，说明6是3

的几倍？（2倍）6是3的2倍，那么反过来可以说3是6的一半，一

半就是0.5，所以3÷6=0.5，我们要学会这样很快的联想。现在你试

着用两个这样的数写几个算式，再很快写出得数，要么等于2，要么等

于0.5，可以吗？

夏：好的，我来试试。（列举如下）

【即时感悟】上面的算式是分两段写的。从左边写的算式可以看

出，对于是否等于2或0.5，孩子的发挥还不是很稳定，比如左侧的最

后一道就错了。当我问她什么是“一半”，她竟然又答不上来了。我

问：你刚才听到我说“一半”是怎样算出来的吗？她又说不清楚了。

到了写右边几个算式的时候，开始很熟练，但数据大了一点之后，又

出错了。如15÷35就错了。我提示：35是15的2倍吗？她才知道

错了。这说明孩子的口算能力与“数感”培养还有待进一步加强。

师：举一反三找规律，根据上面所写的，你能总结出一定的规律

吗？

夏：我发现：除号前面的数是后面的数的双倍，得数是2；除号后

面的数是前面的数的双倍，说明是一半，得数是0.5。两个数要大一起

大，要小一起小。

师：说得真棒！

师：我们还是回到刚才的题目吧。3÷6=0.5，这个算式的单位名

称是什么？

夏：千米？……天？……我不知道……（看来还是没有理解题意）

师：这样吧，我们来画图试试。3是什么？（3天），我们来画一

条线，表示3天，你来画一条线（画好了）。6表示什么？（6千米）。

3除以6，就是表示把几平均分成几人？（把3平均分成6份）你想怎

么画？（分成6个小格子）好的！画出来。然后再在上面画一个大括

号表示“3天”，在下面的第一个格子下面写上1千米……

夏：老师，我画好了，也写好了。

师：不错！我们继续进行，请你想一想：每个格子是1千米？需

要几天完成呢？（女孩答不上）那么，要不要一天呢？（不要1天）

为什么？

夏：因为如果修1千米要1天，那么修6千米就要6天了。

师：那么，现在你知道1个格子，也就是修1千米要几天呢？

夏：我知道了，是半天，也就是0.5天。

师：很好！你终于想通了，把它们在图上标上，把算式写全。

（如下图）

师：回顾反思常总结。我们再来总结一下，3÷6表示什么意思？

夏：3÷6表示修1千米需要多少天？列式是3÷6=0.5（天）。

师：现在回到试卷中需要订正的题目，你原来单元练习时填错的

“x÷2.4”到底表示什么意思呢？

夏：我知道了，x相当于3，2.4相当于6，“x÷2.4”表示修1千

米需要几天。

师：举一反三，推而广之，我们再来做一道题：修路队y天修3.5

千米的公路，平均每天修（ ）千米，平均修1千米要（ ）

天。你说说怎么填。

夏：平均每天修（3.5÷y）千米，平均修1千米要（y÷3.5）天。

师：很好！回顾反思常总结，刚才为了弄懂这道题，把小数换成

了整数，把未知数换成了已知数，你说说为什么要这样做呢？

夏：这样做，我感觉好理解些，比原来的题目容易了。

师：是的，我们有时在解题的时候，如果题目比较难以理解，我

们就可以退一退，化难为易，再去解答，就迎刃而解了。就比如，你

站在一条比较宽的渠沟旁，要想越过去，你该怎么办呢？

夏：不知道。

师：你得先退几步，再往前一冲，就能顺利越过去了！送给你两

个成语：化难为易，以退为进！（孩子很用心，把它写了下来，但是

写错了，“近”应该是“进”）

【片断二】订正填空第11题和第15题

数是X（X>0），它的前面一个数是（ ），后面一个数是

（ ）。你原来填的是X和0，这是为什么呢？

师：现在我们一起来订正第11题：三个连续的自然数，中间一个

夏：这道题，我没有看懂是什么意思。

师：哪个词不懂？知道什么是自然数吗？

夏：不知道（真没想到，竟然不知道什么是自然数！）

师：不知道什么是自然数，可能是老师没讲清楚，还可能是你自

己没用心学。现在只能重新开始了。告诉你，自然数最小的是0，然后

依次是1、2、3、4……接下去你会说吗？

夏：我知道了！接下来是：5、6、7、8、9……

师：39是自然数吗？7.9是自然数吗？

夏：第一个是的，第二个不是的

师：那么，你现在会做这道题了吗？（女孩还是不会）

师：举个例子吧。如果连续自然数中，中间是8，前面一个数是

（ ），后面一个数是（ ）。

夏：前面是7，后面是9。噢，我会了！X的前面比它小1，所以

是（X-1），后面的就是（X+1）。

师：举一反三，推而广之。顺便问问你：如果一组连续偶数中，

中间的是X，前面一个偶数是（ ），后面一个偶数是（ ）。

（女孩又答不上来了）

师：偶数其实就是双数，比如2、4、6、8、10……现在会填了吗？

夏：前面一个偶数是（X-2），后面一个偶数是（X+2）。

师：如果是连续奇数呢？（女孩又不会回答，因为她不知道什么

是“奇数”）

【即时感悟】看来女孩的基础知识真没学好，但可喜的是，女孩

接受能力强。对于基础知识，比如偶数、奇数、自然数之类的概念，

我越来越感到概念的理解可能是孩子学习的一个阻碍，因为它涉及到

数学的基本的核心的部分。我教了女孩：奇数就是单数，比如1、3、

5、7……并且填写了类似的题目：如果一组连续奇数中，中间的是X，

前面一个奇数是什么，后面一个奇数是什么。女孩很认真，下面的截

图是女孩随手记录的。）

师：那么，试卷上的第15题，你应该会做了吧：与自然数（少了

一个字母A，考试时已经纠正添加）相邻的两个数分别是（ ）

和（ ）。

夏：这个现在会了，应该填（A-1）和（A+1）。

师：为了便于今后不再犯两样的错误，在这里我推荐一个《典型

易错题卡片》给你使用，它是这样的：

师：上面的册数、单元、题目、错因你是能填的，同类题1、2是

指相同类型的题目，你可以进行联系，就像我刚才教你的第1题和第

11题那样，由X想到Y，由自然数联想到偶数、奇数，由已知中间数

去填前一个、后一个联想到已知第一个填第二个、第三个等等，你试

着去填写这样的卡片，你积累得越多，对你今后的学习就越有利。

夏：好的，我今天回去就学着填一填。

师：由于时间关系，今天我们就重点订正这两道题。通过今天的

纠错学习，你有什么要说的？

夏：感觉我的理解能力不好，还有好多东西不懂……特别是有字母

的地方，感觉有的时候不懂。画图也是很好的方法，能帮助我理解题

意。还有，学好数学三句话，我觉得很有用。

师：很好！你有很多收获，说明你是一个很用心的孩子。你还把

老师上课教的记数学笔记的方法运用到刚才的纠错学习中，这也是一

大进步。另外，你在爸爸妈妈很忙的情况下，能独立自主学习，不依

赖别人，这是很好的品质，希望你继续保持好的习惯和方法，相信你

会越来越好的！今后的试卷订正就到这里。

【教学启示】

1、学生查错纠错的个案研究很有推广意义

当今中国的数学教学研究中，研究教的多，研究学的少；研究群

体学习特性的多，研究个体学习特性的少，这不能不说是一个缺憾。

80年代中期我得到一本书，它是上海教育出版社1983年出版的前苏

联教育家克鲁捷茨基的数学名著《中小学数学能力心理学》，这本书

的一大特点是“使用的数学题目是如此的多样和巧妙”（全套题目26

个系列），同时针对不同儿童进行了好几年的观察与谈话，研究他们

在数学上发展的特点。，应该说是这本书一直在启示我，数学教学研

究中实证研究很重要。

在克鲁捷茨基看来，解一道数学题有三个基本的心理活动阶段：

收集解题所需的信息、对信息进行加工从而得出解法，以及保持这个

解法的信息（见该书P8，英译本编者前言）。我一直研读此书，觉得

他当时的打算与我现在的做法是一致的，旨在“先弄清现行的数学教

学系统在实际形成学生的数学思维或数学能力上能达到什么程度的情

况下，研究在学龄期形成和发展数学的最佳途径。”（见该书 IV页，

所以，对儿童进行数学解题与纠错的个案研究是一项十分有意义

的事情。这种个案研究，如果针对某一儿童一直研究下去，就变成了

“儿童数学学习史研究”。一定程度上，儿童数学学习史与数学发展

史应该有着“整体的、历史的相似性”，于是我们可以在数学历史长

河的大背景下，结合“儿童数学学习史记”，互相印证着，去打开不

同孩子学习数学的奥秘与心理异同，找到困难生的数学学习困难“拐

点”，便于针对性地引导他们进行矫正、纠错与修正，最终实行“弯

习的“大数据”，帮助儿童个体在学习中更加快捷有效，更好地通过

智能手段来发现儿童，并让儿童在自我纠错学习中促进认知迭代。

“个体心理学之父”阿德勒指出：“有多少人类，就有多少种生

命的意义”、“我们研究的是个体赋予世界和他们自己的意义，他们

的目标、努力的方向和他们处理生活中各种问题的方式”（出自[奥]

阿尔弗雷德·阿德勒著人类个体心理学经典著作《自卑与超越》P4，

P43，浙江出版联合集团，2016）。这也正如作家八月长安所说：记

录下个体生命的履痕，从某种意义上，比记录重大事件更有价值。

心理学家、文学家的话语从不同的侧面更让我们认知到个案研究

的价值所在。

2、退到孩子能够接受的地方等待他们“生长”

这次我个案研究的对象是对数学教材的理解与学习上还是有一定

的困难的。过程中也发现，她对教材已经出现过的“奇数”、“偶

数”、“自然数”已然陌生，原因是多方面的，可能是教者没教好，

也可能是学习者没有深刻地学习。

凡此各种，都要求我们每个老师要以更大的耐心去对待这些孩子，

退到他们能够接受、能够理解的地方去，呵护他们学习的信心，把他

们数学知识断开的链条重新接上，静静等待他们“生长”，然后再带

领他们在数学学习的道路上克服重重障碍，继续不断前行。

3、个案研究对全班辅导也很有启发

在试卷评讲课之类的教学实践和听课研讨中，我们经常发现这类

一要注意探究个体的差异应对。同一班级中的不同孩子的学习经

验和纠错能力是不一样的，因此，在学生纠错辅导过程中，我们需要

的不是浮光掠影的课堂巡视，需要是富有针对性的“课内补差”。

二要保证评讲问题的科学选择。这与上述一点也是紧密相连的。

即注意面向学生错误的实际情况，选择或设计他们“够不够摸得着”

的、有利于突破知识能力重难点的典型错题，引导学生渐次前行、拾

级而上。

三是强化纠错过程的独立自主。只有自主的纠错才是对每个个体

有切实帮助的“真纠错”。课堂上，多多给学生时间与空间，要让儿

童在课堂的中央，多给他们“自力更生、自主纠错”的机会，让他们

在自主纠错中积累纠错经验，增长纠错能力，获取“知错即改，知错

自改”的真切体验。

有粗心大意看错题目的，有笔误写错数字或符号的，有受思维定势影

响而出错的，有考虑不周全而出错的。在实际教学中，教师应把学生

的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里，为什

么错。

同样，老师也在纠错辅导中形成教学过程性反思，提高教学敏感

度，引导让学生有针对性的纠错，更清晰地把握学生最近发展区和学

习认知规律，进而改进数学教学方式方法，提升学科教学素养，促进

自身专业化发展。

于是，在师生不断互动学习与交流过程中，我们形成了教与学的

“纠错文化”。

教师的教学理念是：错误是资源，错时抓契机，错误处即愤悱处。

容错态度要民主，引导纠错要科学。