利用初等数论思想解决小学数学问题

利用初等数论思想解决小学数学教学问题

08数学大专（1）班 30308127 丁令万

小学数学的教学过程中，往往教师上课不懂怎么教、学生听不懂，导致恶性

循环，使学生数学基础差，解题思想单一等问题严重。为解决这一问题，关键在

于授课老师要有良好的教学方法能使学生听懂，并且愿意听。而要达到这一目标，

我建议教学过程中采用初等数论的解题思想。

初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工

具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次

互逆律等等。

解析数论借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分

为积性数论与加性数论两类。

积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定

理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。

加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领

域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。我国

数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是

数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做

“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。

简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角

谷猜想、圆内整点问题、完全数问题……

下面列举初等数论中的整除性问题来说明数论思想对小学数学教学的作用。

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出

现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生

接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数

的性质和整除性问题的解法是很有必要的．

1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被

b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则

称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．

关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．

性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．

性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．

性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．

性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特

别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．

性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，

则p｜a或p｜b．

性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，

则p｜a或p｜b．

性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．

性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．

性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．

例1 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．

分析 因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模

3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，

6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3

的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把

6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．

证 因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所

以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k

为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，

于是便有24｜(a2-1)．

例2 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

证 用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：

(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±

1(m，n都是整数)，于是

a2+b2=9m2+9n2±6n+1

=3(3m2＋3n2±2n)+1，

不是3的倍数，矛盾．

(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则

a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2

=9m2±6m+1+9n2±6n＋1

=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，

不能被3整除，矛盾．

由此可知，a，b都是3的倍数．

初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法, 其知识结构和数学思想方法形成

一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。因此, 在小学数

学的教学过程中, 应充分利用教材和习题的教育功能, 注重展示解决问题的思

路、思维过程, 体现解决问题策略与方法的多样性, 引导沟通知识间的内在联系,

突出问题的背景和思想方法的阐述, 注重数学思想方法的总结、提炼, 把数学知

识和相关数学思想方法有机联系起来, 使学生从整体上把握小学数学的理论体

系, 理解数学思想方法的内涵,开阔思维视野, 健全认知结构。

参考文献：

[1]于秀源,瞿维建.初等数论 济南:山东教育出版社,2001.66- 68.

[2]井冈山学院学报 2007年 02期