小学数学易混概念辨析

2023年11月6日发(作者：take your mark)

小学数学中部分易混概念辨析

南明区教师学习与资源中心 钟云珠

小学数学概念是构成小学数学基础知识的重要内容，其中，有一些意义相

近却不尽相同、互有联系又有所区别的概念，较易混淆。在教学中,应注意辨析

它们的异同,把每一个概念区别于其他概念的本质特征突出出来,以利于学生清

晰地理解、牢固地掌握、准确地运用。

数学基础知识有：概念、法则、定理、性质。

一、数学概念及其表现形式

（一）数学概念

数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。判

断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学

的细胞。

判断、推理、证明都基于对概念的理解。

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反

映。

本质属性：世界上的万事万物都有许多的性质，如形状、颜色、气味等。一个事物除了有许

多性质外，还与其他事物间存在各种关系，如，上下、左右、大于、小于、胜负、平等、互助等等，

在形式逻辑中把事物的性质和关系，统称为事物的属性。任何事物都有许多的属性，在事物的诸多

属性中，有些属性是某个或某类事物所特有的，决定该事物的本质，使某一事物之所以成为它自己，

并把这种事物与其他事物区别开来。这种事物的基本属性就是事物的本质属性，它是事物本质的规

定性。

（二）小学数学概念的表现形式

在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，

其中描述式和定义式是最主要的两种表示形式。

1．定义式

定义式是用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。

概念的内涵是指概念所反映对象的特性和本质属性，外延是指概念所反映

对象的具体范围。

如：两组对边分别平行叫的四边形做平行四边形。

（比如：平行四边形的定义，首先它是“四边形”，条件是“两组对边分别平行”．“平行四边形”的

内涵包含了“四边形”所有的内涵，而“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的

本质属性．因此，教学中，教师只要抓住四边形的概念和两组对边分别平行，引导学生思考“一个四边形

具备了什么特征才是平行四边形”，就可以自然地使学生建立起对新概念“平行四边形”的本质属性的理

解．那么，平行四边形的内涵（也就是它的特性和本质属性）是什么呢？两组对边分别平行且相等，对角

相等，邻角相等等等。它的外延是什么呢？具有平行四边形本质属性的所有对象，如：大小不同的平行四

边形、长方形、正方形、菱形（后面这几是特殊的平行四边形）。

另外，概念的内涵越多，则外延越小；内涵越小，则外延越大。如，我们来给“平行四边形”的概念增

加内涵看看，如果增加“有一个角为直角”的话，就可以得到“长方形” 的概念，那么再增加一个内涵“邻边

相等”，又可以得到“正方形”的概念．“平行四边形”概念的教学，为后续概念的学习，奠定了基础．如果

在“平行四边形”的概念的内涵中减少“两组对边平行”的属性，就得到了外延扩大的“四边形”的概念

了。

可见，从数学知识发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的从属关系，形成明

晰的知识结构，并清晰地认识到学习“平行四边形”概念的“合理性”．

概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念所反映的事物是什么样的．“平行四边

形”的含义是：两组对边分别平行，这就是“平行四边形”的内涵．它揭示了“平行四边形”与“四边形”

的隶属关系，以及它们之间的区别与联系，反映了“平行四边形“的本质属性．其中的关键词“两组对边

分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质．）

2．描述式

用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义

式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性

的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、

3、4、5……叫自然数”

（这里是例举数数时的自然数，并不是没有例举到的0不是自然数，0是自

然数的）

；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识

的增多和认识的深化而日趋完善。

在小学数学教材中一般用于以下两种情况：

一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例

如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条线，把它拉紧，就成了一条

直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。

另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被

小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还

缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象

地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、

摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是

长方形。

一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学

生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，

是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性

的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有

的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。

对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解

决。如角，静态描述：具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。而动态

的定义“一条射线绕着它的端点旋转而成”只是通过“活动角模型”的演示来

感受，因而也不研究大于周角的角及“优角”。

（小学数学分阶段认识，以认识角为例来说，

我们以小学二年级认识角来说，小学二年级学生的认识水平比较低，初步认识角是这样的:角有一个顶点，

有两条边，这时并没有给角下一个定义，然后学生也认识直角，也认识锐角，也认识钝角，但是，有没有

提到角的分类？没有，为什么呢？这个时候，你让他准确地去描述锐角是什么角，直角是什么角？他还没

有学那个角的度数，他是无法描述的，只能在具体的那个角里认识，这样的角是直角，这个角比直角小，

00

就是锐角，这个角比直角大，就是钝角，这个时候还没有讲0——90之间的角，是没有下这样的定义的，

到四年级这些问题是迎刃而解，这就是分阶段认识，它是按儿童的认识特征进行的编排规律。）

思考：小学数学中有哪些常用概念？

数与代数；空间与图形；统计与概率。

(一)数与代数领域

1、数与数字

数字是用来记数的符号。

常用的数字有中国数字、阿拉伯数字（0-9）（10个）；罗马数字 I V X L C

D M （7个） ； 英文数字 A B C D E F （在十六进制中用到）等。

数：是表示事物的量的基本数学概念,例如自然数、整数、分数、有理数等。

数和数字是两个不同的概念，数字仅仅是一种符号，只有用它来表示数时，

才具有某种特定的含义。教学时要正确使用这两个概念，如3+2=5不能说是3

和2两个数字相加；十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加。

数和数字有区别，又有联系：

A、写数时，离不开数字；

B、用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则。

（数字是有限的0－9，数是由

数字组成的，如10，数字1在十位上，数字0在个位上，形成数10.）

C、不同的记数系统可以使用相同的数字，比如，十进制和二进制都会用

到数字“0”和“1”。

D、同一个数在不同的记数系统中有不同的表示。比如，数37（阿拉伯数

字十进制）可以有多种写法：

中文数字写作三十七；罗马数字写作XXXVII ；阿拉伯数

字二进制写作100101

E、在相应的记数系统中，数字位置决定了它所表示的值。例如“3”这个

数字：

在十进制数37 中，它表示的值为30（十进制）；在八进制数23 中，它表示的值为3

（十进制）；在八进制数 37 中，它表示的值为3×8=24（十进制）。

【数系的扩展】

数系（把一个数集连同相应的运算及结构叫做数系）经历了五次扩展：

（1）扩大的自然数（ a-a →0）

[原自然数集是不包含0的，在计算两个相同的自然数

相减的过程中发现在自然数集中找不到它们相减的得数的时候，所以就把自然数集扩大到了0，就得到了

扩大的自然数集]

（2）非负有理数（a/b→正分数）

[在计算a/b的商不能用整数表示时，引入正分数，就

得到了扩大的非负有理数集]

（3）有理数（四则运算→负有理数）

[在进行四则运算中，要引入负有理数，就得到了

扩大的有理数集]

（4）实数（-2=0，在有理数集无解→无理数）

x

[

在解方程x-2=0的过程中，在

有理数集中无解，就引入无理数，从而就得到了扩大的实数集]

2

2

（5）复数（+1=0，在实数集无解→虚数）

x

[在解方程x+1=0的过程中，在实数集

2

2

无解，就引入虚数，就得到了扩大的复数集]

小学数学中的数，

包括：

正整数

自然数

0

整数

负整数

真分数

分数与百分数：

联系：都是分数，只不过百

分数

数

分数是一种特殊的分数；

(百分数)

假分数（带分数）

区别：分数既可表示具体的量，如二分

之一米、三分之二千克，又可表示两个

有限小数

量间的倍比关系，如男生人数是全班人

数的五分之三；而百分数只表示两个数

纯小数

量间的倍比关系，所以百分数又叫百分

纯循环小数

小数

带小数

比、百分率。在百分数后面不能带计量

循环小数

混循环小数

单位名称（即百分数不是名数），如百分

无限小数

之二十三吨，不能写成23%吨，也就是不能写成百分号的

无限不循环小数

23%吨了。它们的书写形式不同，百分数的书写在数字后加上百分号。

带分数：是假分数的另一种书写方式。

小学阶段：主要学习的是整数、分数和小数。

2、分数与小数

（1）小数的意义

小数：把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、

百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之

几……

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数

点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

小数的整数部分的最低位是

个位，计数单位是1，它没有最高位；小数部分的最高位是十分位，

它的最高位分数单位“十分

之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10，。

它没有最低位

（2）小数的分类

纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。如： 0.25 、 0.368 都是纯

小数。

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 如： 3.25 、 5.26 都是

带小数。

有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、

25.3 、 0.23 都是有限小数。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如：

4.33 …… 3.1415926 ……

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样

的小数叫做无限不循环小数。例如：（圆周率，它是一个无理数）

π

循环小数：一个数的小数部分，从某一位起向右有一个数字或者几个数字

依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 ……

12.109109 ……

循环节：一个循环小数的小数部分，从某一个数字开始，有一个数字或者

几个数字，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节

（强调：循环节要从

小数部分从左往右看）

。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循

环节是“ 54 ” 。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如：

3.111 …… 0.5656 ……

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

3.1222 …… 0.03333 ……

注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环

节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数

字，就只在它的上面点一个点。

0.54545……

循环小数化分数：一个循环节所组成的数作为分子，分母是循环节的位数有几个，分母就由几个9

组成，比如，循环节是一位，分母就是9，两位，分母就是99，三位，分母就是999；

混循环小数化分数：用第二个循环节以前的小数部分的数减去不循环的部分组成的数作为分子；循

环节有几位，从高位起就有排几个9，小数部分在第一个循环节前面有几位，就在最后一个9 的后面添上

几个0，就组成了分母，比如，0.3269191……，化成分数就是（32691－326）/99000

（3）分数的意义

分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分

数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把

单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

（4）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫

做分数单位。

（5）分数的分类

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。

假分数大于或等于1。

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

（6）小数与分数的关系

3、约分与通分

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数（），叫做约

的过程

分。

（不过在教学中，我们应强调能约成最简分数的，还是要约成最简分数。）

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数（），叫做通分。

的过程

相同点：约分,通分都是依据分数的基本性质将其化成等值分数。

不同点：约分是用相同的数（0除外）同时整除分数的分子和分母；通分是

把分数的分子分母同时乘相同的数（0除外）；

约分是就个体而言，通分对群体而言。

4、数位、位数与计数单位

思考：一个数的最高位是千万位，这个数是（八）位数。

亿位上的5表示（五个亿）。

与千万位相邻的数位是（亿位、百万位）。

以上问题涉及哪些概念？

数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

（与十

进制的计数单位相对应的数位是个位、十位……）

位数：是指一个自然数中含有数位的个数。像458

（位数是对整数来讲的）

这个数由三个数字组成，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数。

（大家想一想最小的一位是几呢？最小的一位数是1。0不是一位数。组数的规则是左起不能为0.）

[没有争议后面这些就不用讲：位数是指一个整数所占有数位的个数。把占有一个数位的数叫一位

数，占有两个数位的数叫两位数等等，例如，48076是五位数，因为它占有五个数位，这里的“0”

占有数位，表示百位上一个单位也没有。那么0能不能称一位数呢？不能。因为记数法里有个规定：

一个数的最高位不能是0.用一个不是0的数字 写出的数叫做一位数。为什么要这样规定呢？因为

若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样

的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对 个数也就无法确定它是几位数了。例如，

15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”）就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意

称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能是“0”。]

“数位”与“位数”不能混淆。198023456

（一亿九千八百万零二万三千四百五

十六）

由9个数字组成，那它就是一个九位数，4在百位。

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

整数和小数数位顺序表

整 数 部 分 小

…

数十个

位位位位位位位位位位位位位位位位位

计十一 十 …

数 分

单之

位一

级 级 级

数小 数 部 分

点

十

分

个

……

(

)

…

判断：

①如果甲数是乙数的5倍，那么乙数一定是甲数的因数。

（错，不一定）

②一个自然数，不是质数就是合数。

（错，还有1和0）

③所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。

（错，比如2）

④一个数的倍数一定大于它的因数。

（错，它本身，它既是最大的因数，也是最小的倍数）

⑤两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数。

（对的）

⑥有公因数1的两个数是互质数。

（错，前面必须是要有“只”字）

⑦两个合数一定不是互质数。

（错，比如8和9）

⑧一个数的质因数都是质数。

（对的）

5、整除与除尽

观察并分类：

①12÷7=1……5 ②6÷5=1.2

③1.5÷0.3=5 ④24÷2=12

（②③④是除尽，③④是整除，）

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a

能被b整除，或者说b能整除a 。

整除与除尽都是没有余数的除法,但它们的含义是不同的。整除是整数范

围的除法,整除的两个数和所得商必须都是整数,而除尽并不局限于整数范围

内,被除数、除数和商既可以是整数,也可以是有限小数。由此可见,“整除”

是“除尽”的一种特殊情况,能整除的一定能除尽,能除尽的却不一定能整除。

6、因数与倍数

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数

（或a的因数）。倍数和因数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、

6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

7、奇数和偶数

自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。

作为老师我们要有所了解。(偶数的表现形式是：2n；奇数的表现形式是：2n+1,

所以0是偶数。)

8、质数与合数

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、

6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然

数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

9、质数与互质数

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

成互质关系的两个数，有下列几种情况一定互质：

①1和任何自然数互质。

②相邻的两个自然数互质。

③两个不同的质数互质。

④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

质数是针对一个数而言,如5是质数,互质数是针对两个数来说的,如3

和4是互质数,8和9是互质数,成为互质数的两个数不一定都是质数。

如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

10、质因数、分解质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的

因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如把28分解质因数 28=2×2×7，（）

不能写成2×2×7=28，这是算式

11、最大公因数和最小公倍数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几

个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、

3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因

数。

如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几

个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……；3

的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6

是它们的最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

12、能被2、3、5、9、25、4、125、8整除的数的特征

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304都能

被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、

108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

例如：18464、1404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125

整除。

13.分数、除法与比的联系与区别？

（看到3分之2这个分数，你可能会联想到了什么？商、分数、比、除法、数轴上的点或线）

分数、除法与比

名称 比 分 数 除 法

形式 a：b a÷b

前项 被除数 分子

比号 除号 分数线

后项 除数 联系 分母

比值 商 分数值

比的基本性质 商不变性质 分数的基本性质

两个数的关系 一种运算 区别 一个数

a

b

（另外要强调的是：比和除法是不能表示1个数的）

14、化简比与求比值的区别

化简比的结果必须是一个比，，可用（真、

（只是化简后的比的前项和后项是互质的整数）

假）分数或比的形式来表示，求比值的结果是一个数：小数、整数、分数（真、

带）。

方法上也有所不同：化简比可根据比的基本性质，也可用求比值的方法（前

项除以后项），但结果必须是比的形式。

15、比和比例以及正比例和反比例

（1）比和比例的意义与性质

意两个数相除又叫做两个数的表示两个比相等的式子叫做比

义 比。 例。

各

部0.9：0.6 = 1.5 5 ：6 = 20 ：24

分 内项

名前项 后项 比值 外项

称

基比的前项和后项都乘上或除以在比例里，两个内项的积等于

本相同的数（0除外），比值不变。 两个外项的积。

性

质

比 比 例

16.正比例和反比例的相同点和不同点?

正 比 例 反 比 例

1、都有两种相关的量。

相同点

2、一种量随着另一种量变化。

1、变化方向相同，一种量扩大1、变化方向相

或缩小，另一种量也扩大或缩小。 反，一种量扩大（缩

2、相对应的每个数的比值（商）小），另一种量反而缩

是一定的。 小（扩大）。

不同点

y

2、相对应的每两

k

(是一个不等于0的常量)

k

x

个数的积是一定的。

xyk

(是一个不

k

等于0的常量)

（在第一次培训中，有老师提出这样的问题：商一定时，除数与被除数是否一定成正比例？被除数等

于0时，商也为0，实际上在小学阶段，所有成正比例的量它都没有说K≠0的前提，但实际上正比例函数

在初中阶段，它是有一个前提的K≠0，而且在初中的教材中的呈现形式是Y=KX，因此，X可以为0，Y也

为0，所以正比例函数，当K＞0时，它是在一、三项线过原点，当K＜0时，它是在二、四项线过原点，

但是如果是以除法的形式呈现，那么除数是不能为0的，也就是X不能为0，所以在小学阶段，它有前提

是两种相关联的量，一种量随另一种量变化，它有这样的前提，那么，大前提它没有特别的说K≠0，所以

商一定，被除数和除数是成正比例的。我们老师心理要掌握清楚，在小学阶段，分阶段掌握正比例乘正比

例的量的时候，在小学阶段K值是不能为0的。）

【基本性质】

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分

数的大小不变；

小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的

（强调末尾）

大小不变；

商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），

商不变；

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不

变；

比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积。

17.方程、方程的解与解方程

方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意：方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

【未知数：是在解方程中有待确定的值】

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

（X＝1是方程吗?是的，X＝1有未知数，也是等式。但是在方程中X应该是待确定的值，而X＝1，它

即是方程的解，又是方程，所以不建议出现X＝1这种形式的方程。）

（二）空间与图形

思考：小学阶段学习了哪些线、面、体？它们有什么区别和联系？

18.线段、射线、直线、垂线、平行线

空间中一点沿着一定方向和它的相反方向运动，所成的图形是直线。

空间中一点沿着一定方向运动，所成的图形是射线。

平行线 ：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

（平行线的定义有那

个内涵是不可缺少的？在同一平面内，因为异面的两条直线可能不相交，但它们也不平行）

两条平行线之间的垂线长度都相等。

垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线

叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。

（要记住标出垂直符号。）

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

（一条

直线垂直于一个面，那么它就垂直于这个面上的所有直线，这个例要说明的是：有的概念是不能反过来说

的。）

19、角及其分类

具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

锐角：大于0°并小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

画角的时，别记了画角的符号，

不画角的符号也是有角的，但是

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

所指就不明确了

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

（锐角、直角、钝角都是劣角；大于平角并小于周角的角叫优角）

（好请大家看看这个角有几个角？如果我们根据角的动态描述来看：一条射线围绕它的端点旋转而成

的图形，就是角。那么我们来用这个角的一边，也就是其中的一条射线来转转看，转后会引出老师们的争

议，在小学阶段没这么复杂，提问：在学小阶段研究的哪个角呢？老师们会回答，这里是要提醒老师们别

忘了画角的符号，很多老师在教学的过程中，都没注意画这个符号，不画这个符号的话它就有无数个角，

所以在教学中，一定要要求学生画角的符号）

20.周长与面积

判断：边长为4厘米的正方形，周长与面积相等。

（不对，意义不同，单位不同，计

算方法不同，求周长时：第一个4是边长，第二个4是边数；求面积时的4是边长。）

举例说明周长与面积的区别与联系。

（注意：我们在求不规则图形的面积的时候，在进行图形转换的过程中，一定要抓住面积不能变进行

转换。）

21、平面图形及其关系

小学阶段学习了哪些平面图形？它们有什么区别与联系？请用韦恩图分别

表示出三角形和四边形的关系。

20、平面图形及其关系

四边形 平行四边形 长方形 正方形

梯 形

等腰梯形

直角梯形

22.圆和圆面

（大家想一想在教学圆的时候，是怎样出示圆的图形给学生的？大多数老师拿一个圆形的纸片，告诉

学生这就是圆，但是实际上给学生出视的是一个圆面。）而圆是

在平面内，到一个定点的距离等

于定长的点的集合叫做圆（即通常所说的圆周）；圆周所包含的平面部分叫做圆

面。

（圆上是指那个部分？也就圆周上的点。圆面上通常又叫做圆内，外面部分叫做圆外。在教学中应注

意圆上、圆内、圆外之间的区别）

22、周长与面积、以及表面积、侧面积与地积

（地积指的是土地面积）

（注意：我们在求不规则图形的面积时，图形的转换要抓住面积能变。）

23、对称图形、轴对称图形、轴对称、对称轴、中心对称图形、平面对称

图形

请问天安门城楼这栋建筑它属于对称图形吗？好下面我们先来看这些概念，最后再来看它属于什

么.

把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就

说明这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的

对称点，这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。

在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，

这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对称轴用点

画对称轴的时候，

画线表示，

而不是画虚线的形式表示，请老师们注意提醒学生。

轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，如果把一个轴对称图形沿对称轴

分成两个图形，那么这两个图形就是关于这条轴对称的。

如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，

那么这个图形叫做中心对称图形。 而这个中心点，叫做中心对称点。

中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和另一

个图形完全重合，那么就说这两个图形成中心对称。这个点叫做对称

（两个图形）

中心。

旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重

合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫

做旋转角.（旋转角 0度< 旋转角<360度）.

（比如我们出示一幅天安门城楼的图片，它

是什么图形？它是轴对图形。那么假如我们站在天安门城楼前，看到的天安门城楼呢？它是对称现象。在

小学阶段学的是轴对称图形，是在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形，一定要关注

它的本质属性。注意：小学阶段我们学习的是轴对称图形，要注意把它与对称现象的区别，）

判断：

边长为6厘米的正方体，体积与表面积相等

（错，首先它们的概念是不一样的，单位

也是不一样的，计算方法也是不一样的）

24．体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球

长方体、正方体、圆柱、圆锥它们之间有什么区别与联系？

它们都是由面围成的立体图形。

长方体与正方体的区别与联系：长方体有六个面，六个面是长方形，但有一种特殊的情况，有两个面

是正方形的情况，长方形的相对的面大小相同、面积相等。正方体的六个面都是正方形，且面积都相等。

从棱上看长方体和正方体都有12条棱，长方体里它是相对棱的长度相等，而正方体的12条棱的长度完全

相等。它们都是有8个顶点。正方体是特殊的长方体。长方体和正方体之间是一个包含与被包含的关系。

圆柱和圆锥：这里所讲的圆柱和圆锥都是直圆柱、直圆锥。圆柱是两个底面相等的圆，展开侧面是一

个长方形或正方形，圆柱的侧面积等于底面周长乘圆柱的高。圆锥底面是一个圆，侧面展开是一个扇形，

它们之间的联系：前提条件是等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，反过来，圆锥的体积

是圆柱的体积的三分之一倍。

25、地积、表面积与侧面积

（小学阶段不怎么接触地积，但是在这里介绍一下，地积指的是土地的面积，是指较大的土地面积。

表面积与侧面积是针对立体图形而言，表面积包涵侧面积，也就是说侧面积是表面积的一部分。）

26.体积与容积

容积与体积是有着密切的联系，即它们的计算方法都是用体积公式计算。

但体积与容积是两个不同的概念，它们的区别有三：

（1）意义不同。体积是指物体所占空间的大小。容积是指容器（杯子、盒

子、油桶等）所能容纳物体的大小（即内部体积）。

（2）度量方法不同。计算体积时是从物体的外面去测量。比如：计算用玻

璃做成的长方体金鱼缸的体积，就要从外面去分别测量出长方体金鱼缸的长、

宽、高的长度。如果要计算这个长方体金鱼缸的容积（或容量），所需要的数据，

就必须从金鱼缸里面去测量，因为做金鱼缸的玻璃是有一定厚度的。

（3）计量单位不完全同。计算物体的体积，必须使用体积单位“立方米、

立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容积单位“升、毫升”；但计算较

大物体的容积时，也用“立方米”，因为升和毫升只限于计量液体，如桶装的汽

油、小瓶装的药水。

（三）统计与概率

27.平均数、中位数与众数

（新颁布的新课标中讲了，中位数和众数，9月份以后就不再放

在小学学习了，顺延到中学去了。）

比如现在有一组数据：1，2，3，4，4，5，5，5，6，7，8，8，9，从小到大排好了顺序，一共是13

个，其中5有3个，4和8分别有2个，其他都是1个 。

平均数，就是把一组中所有数据相加，然后除以它们的个数。就得到这组数的平均数。

中位数，就是这些数据排列好了以后中间的那个数字，比如现在是13个，中间那个应该是第7个，

所以就是5，那么如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，比如说18个数据，就应该是第9

位和第10位的两个数的和除以2的得数，就是这组数的中位数。

众数，就是这些数据中出现次数最多的那个，这里是5，出现了3次。比其他的都多，如果出现个数

一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以不止一个或者没有

例1：一组数据：2、2、3、3、4的众数是多少？（2、3）

例2：一组数据：1、2、3、4的众数是多少？（没有）

（1）共性

平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”。

（2）它们各自的特点——描述的角度和适用范围有所不同。

用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一

个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广

泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用；但计算时比较烦琐，并且容易受

到极端数据的影响。

（它为什么容易受到极端数据的影响呢？比如说，在比赛中一个小组的成绩特别

突出，那么，它就会把平均数拉高，或者有一个特别差的，就会把平均数拉底。平均数只有1个，可能是

原始数据中的一个，也可能不是）

用众数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，

并且求法简便。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组

数据的“集中趋势”。

（是多个，一定是原始数据中的数）

用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数

据的影响，当所获得的数据资料呈偏态分布时，可选择中位数来表示这组数据

的“集中趋势”。（）

不一定与原始数据相同

（3）平均数、众数、中位数与原始数据的关系

平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都

会相应引起平均数的变动，但“平均数”不一定与这组数据中的某个数据相等。

众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数

据有关，即众数是一组数据中出现次数最多的数据，一定是这组数据中的原始

数据，而不是相应的次数。

中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影

响。当原始数据的个数为奇数时，“中位数”与原始数据中的某个或某些相同，

当原始数据的个数为偶数时，“中位数”不一定与原始数据相同。

28..频数、频率与概率

（具有随机性）

频数：落在不同小组中的数据个数为该组的频数

频率：频数与数据总数的比为频率。

概率：表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的

主观意愿而改变的一种属性。

比如说：一个袋子里有5个黄球，5个白球，摸到白球的可能性是二分之一，这属于这三种中的那一

种?(概率)表征随机事件发生可能性大小的量，我们以一种猜测、预测摸到白球的可能性的大小的量是二

分之一，这个二分之一预测时是不会变的，是一个固定的量。 在操作时，摸10次，摸1次、2次、3次、

4次……，摸到白球的次数是3次，这又是属于概念中的哪一个呢?(频数)是出现在各小组中的个数。 这

个3次是10次的几分之几，十分之三，这是频率。

下面我们再看这三个数的区别，频数是不是固定的？概率是不是预测是什么就能摸到什么呢？不一

定，它具有随机性，猜测与结果不一定相符，即不能确定的，这就叫随机性。