教学月刊·小学版2021/1·2数学
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低段数学教学中“圈一圈”的价值分析与使用建议
□费凤霞
【摘要】低段数学教学中很多地方出现“圈一圈”。“圈一圈”可帮助学生获得直观的学习体验，促进学生内化概念，理解算理，掌握算法，有效构建笔算模型。在小学低段的学习中，教师通过“圈一圈”这一直观形式，引导学生从实物操作向数字运算过渡，在探索活动中促进学生对算理和算法的理解，发展了学生的思维。
【关键词】圈一圈；数感；算理；算法；模型
低段教学中很多地方都会出现“圈一圈”，圈一圈在教学中能起什么作用？对学生知识的学习和构建有何帮助？本文尝试解决这些问题。
一、寻理——“圈一圈”的价值
学者张天力说过：数学课程中的运算不再是单纯的技能训练，而是作为解决问题的组成部分，与问题情境相联系；不再按标准程序运算，而是寻求合理简洁的运算途径，倡导算法的多样化。“圈一圈”介于操作和符号之间，是联通直观到抽象的桥梁，易操作。在教学中，“圈一圈”能有效帮助学生理解算理，掌握算法，建立算法之间、新旧知识之间的联系，形成直观操作、口算和笔算模型之间的纽带，为寻求简洁、合理的运算方法做铺垫，培养学生的运算能力。
二、探索——“圈一圈”的应用
笔者翻阅了北师大版的数学教材和课堂作业本，各册教材中都有与“圈一圈”有关的内容，主要体现在数的运算这一知识体系中（见下表）。
册别一上
一下二上
二下三上三下
教学内容
20以内数的认识
20以内数的进位加法
20以内的退位减法100以内数的认识100以内数的加减法（不进位，不退位）
100以内数的加减法（进位，退位）乘法口诀
分一分与除法的认识倍的认识
用乘法口诀求商有余数的除法一位数乘两位数一位数除两位数一位数除两位数两位数乘两位数
圈一圈10个一圈10根小棒一圈
借助小棒圈一圈
在点子图上圈用小棒圈一圈一份一圈几个几个圈平均分中的圈一圈
在点子图上圈一圈
借助点子图和小棒圈一圈
这些内容的作用大致如下。（一）圈一圈，内化概念
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）明确指出：“建立数感有助于学生
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理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
执教《20以内数的认识》时，为了让一年级学生理解“满十进一”的算理，教师将10根小棒捆成一捆（如图1），一根小棒、一捆小棒分别是1个一、1个十的实物直观形式。让学生“圈一圈”，既尊重了学生的认知起点，又促进了学生对十进制的直观
理解。
图1
习题中也多次出现圈一圈，10个一是十，那么10个一圈，一眼就能看出数量（如图2）。“圈一圈”属于实物操作，在“圈”的过程中学生的数感得到了
培养。
图2
“倍”的概念比较抽象，学生初学不易理解，需结合实物操作引入两个数量关系的比较，在头脑中形成两个数量之间倍数关系的直观表象。
在教学中，教师出示图3，让学生动手圈一圈，学生一眼看到图中有4只小猴、8只小鸭，教师引导学生用语言描述小鸭和小猴之间的关系，初步体会小鸭是小猴的2倍，以小猴为标准，小鸭有这样的2份，再放手让学生通过画一画、圈一圈等活动，发现小鸡是松鼠的4倍（如图4）
。
图3图4
通过圈一圈，学生直观感受到比较两个数量关系，以其中的一个量为标准，另一个量有这样的几份，就是几倍，充分体会到了“倍”的内涵，在“圈”的过程中加深了对“倍”的理解。
（二）圈一圈，理解算理
《课程标准》指出：要想准确快速地进行运算，理解算理是基础。
“9加几”的进位加法是学生普遍反映的学习难点，也是学生加法学习中的第一个需跨越的障碍。进位不是经验思维而是抽象思维，为帮助学生清晰地理解算理，弄清为什么这样算，教师可让学生在事先准备好的学习单上圈一圈，学生主要有以下圈法（如图5、图6）
。
图5
图6
两种不同的圈法，很好地呈现了学生的思维过程。圈法不一样，体现了学生不同的思考方法：一个是拆大数，一个是拆小数。教师让学生对比这两种不同的圈法，学生通过直观演示，很快能抽象出算理：不管哪一种方法，都是通过拆分来凑十，10个一圈。教师再让学生借助计算器拨一拨，其体现的算理实质都是满十进1。
授人以鱼不如授人以渔，学生初学进位加法
时，“圈一圈”好比一座桥梁，让抽象的凑十法直观地呈现在学生眼前：10个一是十，满十进一。明白这一算理对掌握算法有促进作用，为后续理解两位数加一位数的算理提供了理论支持。
（三）圈一圈，掌握算法
《课程标准》明确指出：提倡算法的多样化，让学生经历“探究方法—明晰算理—掌握算法—总结算法”的过程是计算教学的主要特征。
教学“两位数乘一位数”这一内容，教师呈现了12×4的点子图，让学生圈一圈，算一算，并说说自己的思考过程——先算什么，再算什么，最后算什么，理解乘法竖式每一步的算法和算理。学生主要
有以下几种算法：连乘、连加、拆成整十数和一位数（如图7）。
交流算法时，学生对每种圈法做出了合理的解释，进一步体会了算法多样化。在点子图上圈一圈，给学生提供了“素材”，帮助他们高效地达成“理
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解算理，掌握算法，能正确计算两位数乘一位数”的学习目标。学生明晰算法的来龙去脉，并且将此算法延伸到后续两位数乘两位数的学习中，真正做到了“知其然，更知其所以然”
。
图7
究竟哪种算法最简便呢？学生说法不一，为了让学生重点体会将12分成10和2这种核心算法的普适性，教师又出示23×7的点子图，让学生试着圈一圈并将计算步骤与点子图中圈的方法对应起来。学生
在圈的过程中发现：23×7就无法用连乘的方法，用连加的方法计算起来也不是很方便，而将23拆分成20和3是最适用的方法。
通过在点子图上圈一圈，学生不仅拓宽了思维，而且感悟到了最优算法，在无形中内化了“将两位数拆成整十数和一位数”这一核心算法。
（四）圈一圈，建构模型
“圈一圈”除了能让算理更直观，让抽象的算法具体可见之外，对笔算模型的构建也起着重要的作用。
教师在教学“两位数加两位数”时，第一次引入竖式这一笔算模型，通过圈一圈让学生说一说算理，然后在课件上将小棒隐藏，留下数字，由小棒过渡到用抽象的数字进行思考和运算。最后将计算的过程用“竖式”呈现出来（如图8），加法竖式模型
的构建水到渠成。
→
→
→
→
图8
又如，“两位数乘一位数”的教学重点是会用竖
式计算两位数乘一位数，难点是如何理解竖式乘法运算每一步的含义。竖式比较抽象，属于程序化的知识，教师在执教时可结合点子图，引导学生说说竖式计算的每一步在点子图中分别表示的是哪一步
（如图9）。通过在点子图上圈一圈，沟通算法之间的联系，帮助学生理解两位数乘一位数的算理，掌握笔算方法，感悟数形结合的数学思想，使学生在理解算理、掌握算法的基础上，建构两位数乘一
位数的竖式模型。
图9
通过在点子图上圈一圈，揭示了乘法竖式笔算的计算过程，都是用一位数分别去乘另一个数的每一数字，再把所得的积相加（如图10）。圈一圈揭示了乘法竖式与口算乘法之间的本质联系，让学生
明晰了乘法竖式与加减法竖式的不同。
图10理解这一笔算模型，将知识进行迁移，能构建两位数乘两位数（不进位）的笔算方法。借助在点子图上圈一圈这一直观操作，搭建了算理、口算、竖式之间的桥梁，为构建笔算模型找准了生长点，学生学起来也得心应手。
心理学家皮亚杰说过，儿童的思维是从动作开
始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。算法和算理是运算能力的一体双翼，二者相辅相成。不明晰算理，只知道怎么算，运算能力得不到发展；理解算理，不掌握算法，也就无法准确快速地计算。
（下转第56页）
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图11
（四）结合实际课堂调整“旁白”
人教版小学数学教科书的旁白设计中也存在一些不足，如封闭性的旁白多，开放式的旁白少。教科书需要通过设计开放式问题来满足学生的不同需求，使学习程度不同的学生都有所发展，培养学生的创新思维，发挥教师教学的创造性。因此，教师在教学过程中应加强学生的课堂交流讨论，在课后教学反思时能将学生的想法与旁白设计的内容进行比较，结合课堂实际情况对教科书的旁白设计提出改进意见。如五年级上册“方程的意义”一课，教材中（P62）只设计了x 一种未知数，这就容易让学生在总结方程定义时误以为含有未知数x 的等式是方程。教学中教师要注意，不能拘泥于旁白，
而要结合教学实际对旁白进行调整。
小学数学教育是学生一生的数学教育的基础，其学习状况影响着今后的学习情况。本文通过对人教版小学数学教科书中旁白的呈现形式、功能等进行研究，希望能利用旁白提高学生的学习兴趣及数学核心素养，也希望能引起广大师生对教科书旁白的重视，从而提出更多有关教学与教科书旁白相结合的策略，促进建立更加完善的教学体系。
参考文献：
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[6]印建国.巧用教材“旁白”催生小学数学核心素养[J].课程教育研究，2019（47）.
（浙江省湖师附小教育集团井安小学310003
湖州师范学院310003）
（上接第52页）
“圈一圈”是沟通直观与抽象的桥梁，能帮助学生在实物操作过程中获得直观的学习体验，并在掌握算理的基础上巩固算法。通过“圈一圈”这一直观操作，引导学生从实物操作到构建算法模型过渡，从而在探索活动过程中完成对算法意义的建构。因此在教学过程中不妨多给学生提供“圈一圈”的直观操作体验，让学生细细感悟其中蕴含的“大学问”，体会“圈”的过程中的大奥秘。
参考文献：
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[5]梁玲，黄超.沟通算法联系建立竖式模型：“两、三位数乘一位数（不进位）”教学实录与评析[J].小学数学教育，2018（10）.
（浙江省衢州市实验学校新湖校区324000）
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