2022学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题：温州市第十四高级中学  宋鑫  审稿：瓯海第二高级中学  梁淑辉
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.24 14.240 15.
1316 16.
e
1 四、解答题：本题共6小题：共. 17.（10分）
解：(1) ()()()'2
99911g x x x x =−=+−，..................1分
令10)('−<⇒>x x g 或1>x ，..................3分 令110)('<<−⇒<x x g ；..................5分
∴函数)(x g 的单调递增区间为),1(),1,(+∞−−∞，单调递减区间为)1,1(−...........6分
(2).由（1）可知：
当1x =−时，()g x 取得极大值()111g −=，..................7分
当1x =时，()g x 取得极小值()11g =−，..................8分 又()()2241851,22418511g g −=−++=−=−+=...................9分 所以()g x 在区间[]22−,
上的最大值为11，最小值为1−...................10分 18.（12分）
解：(1)设分数在[)8070，
内的频率为x ，根据频率分布直方图得， 110)005.0025.002.0015.001.0(=+⨯++++x ，
解得25.0=x ...................2分
因此，考试成绩在[)8070，上的人数为2525.0100=⨯（人）...................4分 (2) 根据频率分布直方图可知考试成绩在[]10080，的频率为3.010)005.0025.0(=⨯+
...................6分
因此)1()0()1(=+==≤ξξξP P P              ...................8分            2
1133003)7.0()3.0()7.0()3.0(C C +=  ...................10分            784.0441.0343.0=+=          ...................12分 (另解：)3()2(1)1(=+=−=≤ξξξP P P 784.0=，给分标准同上) 19.（12分）
解：(1)4
424A =(种）..................4分 (2)424
644216A C A −=..................8分 (3)42
45240A C =..................12分
（每个小题如果列式正确，但答案错误，则每个小题扣1分）
20.（12分） 解：
（1）若选①，135a =，
根据二项式展开式的通项公式可得()1
1
617
1735a C mx m =⋅⋅==，解得5m =...........4分
若选②，()01
*32m m m m C C C m N +++=∈，由二项式系数和可得232m =，解得5m =.
........4分
若选③，展开式中二项式系数最大值为7m ， 由二项式系数的性质可得71
27
7C
m +=或71
27
7C
m −=，解得735m =，即5m =.........4分
（每种选择的解答过程中，列式正确2分，答案正确2分）
（2）由（1）可得72
70127(15)x a a x a x a x +=+++
+，
令1x =，可得077126a a a a +++=+，①...............6分
令1x =−，可得701274a a a a −−
−=−+，②...............8分
①+②可得，
7
7642046)(2−=+++a a a a ，所以.131776
2467
76420=−=+++a a a a
...............10分
令0=x ，可得10=a ，...............11分
所以.1317751131776642=−=++a a a ...............12分
21.（12分）
解:（1）设“这位小学生因近视佩戴眼镜”为事件A ，则24.0100
24
)(==
A P ........1分 设“这位小学生佩戴的是角膜塑形镜”为事件
B ，则“这位小学生因近视佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB ，则08.0100
8
)(==
AB P ...............2分 故所求的概率为3
1
24.008.0)()()|(===
A P A
B P A B P ...............3分
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数X 的所有可能取值为0，1，2，
145)0(383
6===C C X P      2815)1(3
82612===C C C X P      28
3
)2(381622===C C C X P  所以男生人数X 的分布列为
所以4
3283228151)(=⨯+⨯
=X E ..............7分 112
45
2834322815431145430)(222=⨯−+⨯−+⨯−=）（）（）（X D ...............8分
（3）由已知可得，)08.0,20(~B Y ，...............9分 则6.108.020)(=⨯==np Y E ...............10分
472.192.008.020)1()(=⨯⨯=−=p np Y D ...............12分
22.（12分）
解：(1)由
()ln f x a x x a
=++，得
()1(0)a x a
f x x x x +'=
+=>，...............1分
当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，...............2分 当a<0时，当0x a <<−时，()0f x '<，当x a >−时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,)a −上递减，在(,)a −+∞上递增，...............4分 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当a<0时，()f x 在(0,)a −上递减，在(,)a −+∞上递增；
(2)由（1）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多只有1个零点，不符合题意，
所以当a<0时，()f x 可能存在两个零点，
由（1）知，当a<0时，()f x 在(0,)a −上递减，在(,)a −+∞上递增， 所以min ()()ln()0f x f a a a =−=−<，得1a <−，...........6分 此时11
0e e
f ⎛⎫=
> ⎪⎝⎭
， ①当21a −≤<−时，33(e )e 40f a =+>，此时
31
e e
a <−<，则 ()f x 在(0,)a −和(,)a −+∞上分别存在一个零点，
②当2a <−时，2(e )ln e e e a a a a f a a a a −−−−=++=−+， 令2()e ,2a g a a a a −=−+<−，则()e 21a g a a −'=−−+，
()e 20a g a −''=−>，
所以()g a '在(,2)−∞−上单调递增，则2(2)e 50g '−=−+<， 所以()g a 在(,2)−∞−上单调递减，
所以2()(2)e 60g a g >−=−>，即(e )0a f −>， 此时
1
e e
a a −<−<，则()f x 在)−和(,)a −+∞上分别存在一个零点， 综上，()f x 有两个零点，则1a <−...............8分
下面证明121x x >，不妨设120x a x <<−<，则由12()()0f x f x ==，得
1122ln 0
ln 0
a x x a a x x a ++=⎧⎨
++=⎩...............9分 两式相减得，12
12
ln ln x x a x x −−=
−，
两式相加得，1212121212
ln ln 2(ln ln )2x x x x
x x x x a x x +++=
−=−−−−，...............10分

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