2023年北京市东城区中考二模数学试题(含答案解析)

2023年北京市东城区中考二模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．据报道：中国铁路营业里程从

2012

年的

9.8

万公里增长到

2022

年的

15.5

万公里，其

中高铁从

0.9

万公里增长到

4.2

万公里，稳居世界第一．将数字

155000

用科学记数法表

示应为（）

B

．

1.5510

5

C

．

1.5510

6

D

．

15510

3

A

．

0.15510

6

2

．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A

．三棱柱

B

．四棱柱

C

．圆柱

D

．圆锥

3．在平面直角坐标系中，已知点

A



3,2



,B



5,2



，将线段

AB

平移得到线段

CD

，若点

A

的对应点

C

的坐标是

(

-1,2

)

，则点

B

的对应点

D

的坐标是（

A．



1,2



B．

(

2,-1

)

C．



9,2



）

）

D．



2,1



4

．下列正多边形中，一个内角为

120

的是（

A．B．C．D．

5

．如图，在

ABC

中，

BDAC

于点

D

，

CE



AB

于点

E,BD

和

CE

交于点

O

，则下列

结论不正确的是（

．．．

）

A

．

12

B

．

1590

C

．



3



4

D

．

534

试卷第1页，共8页

6

．下列运算结果正确的是（

A．

(a)

2

a

2

）

C．

(a2)

2

a

2

4

D．

3aa4

B．

a

6

a

2

a

3

7

．小红参加

“

建团百年，我为团旗添光彩

”

主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分

分别是

8

分、

8

分、

9

分．若将三项得分依次按

2:4:4

的比例确定最终成绩，则小红的

最终比赛成绩为（

A

．

8.3

分

）

B

．

8.4

分

C

．

8.5

分

D

．

8.6

分

8

．两个变量满足的函数关系如图所示．

①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟

45

米的速度到离家

900

米的报亭，在报

亭看报

10

分钟，然后以每分钟

60

米的速度原路返回家．设所用时间为

x

分钟，离家的

距离为

y

米；

②有一个容积为

900

毫升的空瓶，小张以

45

毫升

/

秒的速度向这个空瓶注水，注满后停

止，

10

秒后，再以

60

毫升

/

秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为

x

秒，瓶内水的体积

为

y

毫升；

③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路

45

米的速度工作了

20

天，随后因为

天气原因停工了

10

天，为能尽快完成工作，后期以每天修路

60

米的速度进行工作，这

样又经过了

15

天完成了整个工程．设所用时间为

x

天，完成的修路长度为

y

米．

在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（

A

．①②

B

．①③

）

D

．①②③

C

．②③

二、填空题

9．若二次根式

x2

有意义，则x的取值范围是___．

10

．分解因式：

2x

2

﹣

8=_______

11．请写出一个大于

2

且小于

10

的整数：________．

12

．如图，

AB

是

O

的直径，弦

CD

交

AB

于点

E

，连接

AC

，

AD

．若

BAC28

，则

D

______°

试卷第2页，共8页

如图，在

ABC

和

DEF

中，点

A

，

E

，

B

，

D

在同一直线上，

AC∥DF

，

ACDF

，

13

．

只添加一个条件：

____________

能判定

△ABC≌△DEF

．

14

．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：

抽检产品数n

合格产品数m

合格率

m

n

100

89

0.890

150

134

0.893

200

179

0.895

250

226

0.904

300

271

0.903

500

451

0.902

1000

904

0.904

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）

_____________．

15．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，

借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻

测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．

16．将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不

少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．

（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；

试卷第3页，共8页

（

2

）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为

8

，则乙盘中小球的个数可以是

_________

．

13

，

三、解答题



1



17．计算：

8







2



1



2sin45



．



2



3



1



x



y



2

18．解方程组：



．

x



2

y



5



19

．已知：如图，点

P

和

O

．

求作：直线

PA

，使得

PA

与

O

相切于点

A

．

1

作法：（1）连接

OP

，分别以点

O

和点

P

为圆心，大于

OP

的长为半径作弧，两弧交于

2

C,D

两点；

（

2

）作直线

CD

，交

OP

于点

B

；

（

3

）以点

B

为圆心，以

OB

长为半径作

B

，与

O

相交，其中一个交点为点

A

；

（

4

）作直线

PA

．

直线

PA

即为所求作．

；

(1)

使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

(2)

完成下面的证明．

证明：由作法可知，点

B

为线段

OP

的中点．连接

OA

．

∵

OP

为

B

的直径，

∴

OAP

_________



（

_________

）（填推理的依据）．

∴

OAPA

．

∵点

A

在

O

上，

∵

PA

是

O

的切线（

_________

）（填推理的依据）．

a



a

2



4



20．先化简，再求值：



1



，其中

a4

．





2



a



2



a



4

a



4

21

．如图，在

ABC

中，

ABAC

，点

D

为

BC

中点，过点

A,C

分别作

BC,AD

的平行

线，相交于点

E

．

试卷第4页，共8页

(1)

求证：四边形

ADCE

为矩形；

(2)连接

BE,DE

，若

tan

CBE

22．如图，函数

y



4

,

CD

3

，求

AB

的长．

3

m

1

(

x



0)

的图像

G

与直线

yx

1

交于点

P

，点

P

的纵坐标为4，

x

2

PAx

轴，垂足为点

A

．

(1)

求

m

的值；

(2)点

M

是图像

G

上一点，过点

M

作

MBAP

于点

B

，若

PB

1



，求点

M

的坐标．

BM

2

23

．如图，

O

的直径

AB

与弦

CD

相交于点

E

，且

CEDE

，点

F

在

AB

的延长线上，

连接

OC,DF,FC

．

(1)

求证：

DF

是

O

的切线；

(2)

若

OE2BE,BF2

，求

O

半径的长．

24

．

2022

年

10

月

16

日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，

习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业

试卷第5页，共8页

学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部

分数据（单位：

kg/hm

2

）如下表．

注：

1hm

2

表示

10000

平方米，即

1

公顷．

品种

A

低海拔区

高海拔区

9843

7800

品种

B

8650

7267

品种

C

7996

7533

品种

D

7705

7867

品种

E

7506

6333

品种

F

7437

6400

品种

G

6517

5874

品种

H

5398

5201

(1)请补全条形统计图：

(2)8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋

势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；

(3)已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合

可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，

a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，

在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米

产量的平均值，并比较；

b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的

情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并

比较；

c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的

情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并

比较．

25．某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围

栏周长为

m

米，对于

m

的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如

下．

请你补全探究过程．

试卷第6页，共8页

(1)

建立函数模型：

设矩形相邻两边的长分别为

x,y

．由矩形的面积为4，得

xy4

，即

y



得

2



xy



m

，即

yx

限内交点的坐标；

(2)

画出函数图象：

函数

y



m

4

(x



0)

的图象如图所示，而函数

yx

的图象可由直线

yx

平移得

2

x

4

；由周长为

m

，

x

m

．满足要求的



x,y



应是两个函数图象在第_________象

2

到．请在同一平面直角坐标系

xOy

中画出直线

yx

；

(3)

平移直线

yx

，观察函数图象：

当直线平移到与函数

y



m

4

(x



0)

的图象有唯一交点



2,2



时，直线

yx

与

y

轴交

2

x

点的纵坐标为

_________

；

(4)

得出结论：

若围出面积为

4

平方米的矩形围栏，则周长

m

的最小值为

_________

米，此时矩形相邻

两边的长分别为

_________

米、

_________

米．

2

26．在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

yaxbx1



a0



的对称轴是直线

x3

．

；

(1)

求出该抛物线的顶点坐标（用含

a

的式子表示）

(2)当

a0

时，对于任意的正数

t

，若点



3t,y

1



,



32t,y

2



在该抛物线上，则

y

1

_________

y

2

（填“>”“<”或“=”）；

(3)已知点

A



0,3



,B



7,3



．若该抛物线与线段

AB

恰有一个公共点，求

a

的取值范围．

，点

F27

．如图，在菱形

ABCD

中，

BAD60

，

E

是

AB

边上一点（不与

A

，

B

重合）

与点

A

关于直线

DE

对称，连接

DF

．作射线

CF

，交直线

DE

于点

P

，设

ADP



．

试卷第7页，共8页

(1)

用含



的代数式表示

DCP

；

(2)

连接

AP，AF

．求证：

APF

是等边三角形；

(3)

过点

B

作

BGDP

于点

G

，过点

G

作

CD

的平行线，交

CP

于点

H

．补全图形，猜想

线段

CH

与

PH

之间的数量关系，并加以证明．

28

．已知线段

PQ

是

G

的弦，点

K

在直线

PQ

上．对于弦

PQ

和点

K

，给出如下定义：

若将弦

PQ

绕点

K

逆时针旋转





0



180



得到线段

P



Q



，恰好也是

G

的弦，则称

弦

PQ

关于点

K

中心映射，点

K

叫做映射中心，



叫做映射角度．

(1)

如图

1

，点

G

是等边

ABC

的中心，作

G

交

AB

于点

P,Q

．在

A,B,C

三点中，弦

PQ

关于点

_________

中心胦射；

3

(2)如图2，在平面直角坐标系

xOy

中，直线

yx

3

与

x

轴交于点

E

，与

y

轴交于点

4

F

，

OEF

的角平分线交

y

轴于点

D

．若

D

与线段

EF

相交所得的弦关于点

E

中心映

射，直接写出

D

的半径

r

的取值范围；

O

的半径为

2

，线段

MN

是

O

的弦．对于每一条弦

MN

，

(3)

在平面直角坐标系

xOy

中，

都有相应的点

H

，使得弦

MN

关于点

H

中心映射，且映射角度为

60

．设点

H

到点

O

的

距离为

d

，直接写出

d

的取值范围．

试卷第8页，共8页

参考答案：

1

．

B

【分析】科学记数法的表示形式为

a

10

n

的形式，其中

1

a

10

，

n

为整数．确定

n

的

值时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当

原数绝对值

10

时，

n

是正数；当原数的绝对值

1

时，

n

是负数．据此可得出结果．

【详解】解：

1550001.5510

5

，

故选：

B

．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定

a

的值以及

n

的值是本题的关键．

2

．

D

【分析】根据几何体的展开图可进行求解．

【详解】解：由图可知该几何体是圆锥；

故选

D

．

【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．

3

．

A

【分析】根据点

A

、

C

的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．

【详解】解：∵点

A



3,2



的对应点

C

的坐标为

(

-1,2

)

，

∴平移规律为向左平移

4

个单位，

∴

B



5,2



的对应点

D

的坐标为



1,2



．

故选：

A

．

【点睛】本题考查了坐标与图形变化

-

平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移

减；纵坐标上移加，下移减．

4

．

C

【分析】根据正多边形内角和可进行求解．

【详解】解：

A

、正方形的一个外角为

360490

，所以其内角为

1809090

，故不符

合题意；

B

、正五边形的一个外角为

360572

，所以其内角为

18072108

，故不符合题意；

C

、正六边形的一个外角为

360案6=60

，所以其内角为

18060120

，故符合题意；

D

、正八边形的一个外角为

360845

，所以其内角为

18045135

，故不符合题意；

故选

C

．

答案第

1

页，共

20

页

【点睛】本题主要考查正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键．

5

．

C

【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解．

【详解】解：∵

BDAC

，

CE



AB

，

∴

BECBDC90

，

∴

152DOC90

，

∵

5DOC

，

∴

12

，故

A

、

B

正确；

由三角形外角的性质可知

534

，故

D

正确；

题干中并未给出

∠ABCACB

，所以无法得出



3



4

；故

C

错误；

故选

C

．

【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练

掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键．

6

．

A

【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方可进行求解．

【详解】解：A、

(a)

2

a

2

，正确；

B

、

a

6

a

2

a

4

，原计算错误；

C、

(a2)

2

a

2

4a4

，原计算错误；

D

、

3aa4a

，原计算错误；

故选

A

．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解

题的关键．

7

．

B

【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．

【详解】解：根据题意得：

8



2



8



4



9



4



8.4

（分）．

2



4



4

故小明的最终比赛成绩为

8.4

分．

故答案为：

B

．

【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和

“

权重

”

的理解是解题

答案第

2

页，共

20

页

的关键．

8

．

A

【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解．

900

【详解】解：由图象可知：当

0x20

时，此函数为正比例函数，比例系数为

20



45

；当

20x30

时，函数值没有发生变化；当

30x45

时，

y

随

x

的增大而减小，比例系数为

900



60

，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合；

45



30

故选

A

．

【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键．

9

．

x2

【详解】解：根据题意，使二次根式

解得：

x≥2

．

故答案为：

x≥2

．

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．

x2

有意义，即x﹣2≥0，

（

x

﹣

2

）

10

．

2

（

x+2

）

【分析】先提公因式，再运用平方差公式．

【详解】

2x

2

﹣

8

，

，

=2

（

x

2

﹣

4

）

（

x

﹣

2

）．

=2

（

x+2

）

【点睛】考核知识点：因式分解

.

掌握基本方法是关键．

11

．

2

（或

3

）

【分析】根据实数的估算即可求解．

【详解】解：因为

122,3104

所以大于

2

且小于

10

的整数有2，3．

故答案为：

2

（或

3

）．

【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的性质．

12

．

62



CB



，可得【分析】连接

BD

，根据直径所对的圆周角是90°，可得

ADB90

，由

CB

答案第

3

页，共

20

页

BACBDC

，进而可得

ADC90BDC

．

【详解】解：连接

BD

，

∵

AB

是

O

的直径，

∴

ADB90

，



CB



，



CB



BACBDC28

，



ADC90BDC

62

故答案为：

62

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是

解题的关键．

13

．

ABDE

或

CF

或

ABCDEF

（填写一个即可）

【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．

【详解】解：∵

AC∥DF

，

∴

AD

，

∵

ACDF

，

∴当添加

ABDE

时，则可根据

“

SAS

”

判定

△ABC≌△DEF

；

当添加

CF

时，则可根据

“

ASA

”

判定

△ABC≌△DEF

；

当添加

ABCDEF

时，则可根据

“

AAS

”

判定

△ABC≌△DEF

；

故答案为

ABDE

或

CF

或

ABCDEF

（填写一个即可）．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

14

．

0.9

【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．

【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为

0.9

，

答案第

4

页，共

20

页

∴恰好是合格产品的概率约是

0.9

．

故答案为：

0.9

【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用

样本估计总体的思想．

15

．

134

【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的

太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．

【详解】解：∵

BF∥ED

，

∴

BAOEDF

，

∵

AOBDFE90

，

∴

△ABO∽△DEF

，

EFAO∶FD

，∴

BO∶

2268∶4

，∴

BO∶

∴

BO134

，

故答案为：

134

．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．

16

．

1

号，

2

号，

3

号，

6

号（答案不唯一）

7

或

5

【分析】（

1

）根据每个盘子里的小球不少于

4

个，甲盘中小球编号的平均值为

3

，列出一种

情况即可得出答案；

（

2

）通过设甲盘中有

x

个球，乙盘有

y

个球，丙盘中有

z

个球（

x

、

y

、

z

都是不小于

4

的正

整数）即可得到方程组，进而问题可求解．

【详解】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球的平均值为3，且

∴甲盘中小球的编号可能是：

1

号，

2

号，

3

号，

6

号；

故答案为

1

号，

2

号，

3

号，

6

号（答案不唯一）；

（

2

）设甲盘中有

x

个球，乙盘有

y

个球，丙盘中有

z

个球（

x

、

y

、，

z

都是不小于

4

的正整数）

由题意得：

1



2



3



6



3

，

4



3

x



8

y



13

z



1



2



3



....



15

，



x



y



z



15



消去

x

得：

5y10z75

，即

y2z15

，

答案第

5

页，共

20

页

∴当

z4

时，则

y7

，此时

x4

符合题意；

当

z5

时，则

y5

，此时

x5

符合题意；

当

z6

时，则

y3

，此时

x6

不符合题意，舍去；

∴乙盘中小球的个数可以是

7

或

5

；

故答案为

7

或

5

．

【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及平均数，熟练掌握三元一次方程组的应用及

平均数是解题的关键．

17

．

22

【分析】根据立方根、负指数幂及特殊三角函数值可进行求解．

【详解】解：原式



2



2



2



1



2



2

2

22

．

【点睛】本题主要考查立方根、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关

键．



x



3

18．





y



1

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可，把②

-

①消去

x

，求出

y

的值，再把求得的

y

的值代入①，求出

x

的值即可．



x



y



2

①

【详解】解：



，

x



2

y



5

②



②

-

①得：

3y=3

，

解得：

y=1

，

把

y=1

代入①得：

x=3

，



x



3

则方程组的解为





y



1

【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其

中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个

方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．

19

．

(1)

见解析

(2)

90

；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理

答案第

6

页，共

20

页

【分析】（

1

）根据题意作图即可；

（

2

）证明

OAP90

得到

OAPA

，则由切线的判定定理可得

PA

是

O

的切线．

【详解】（

1

）解：如图所示，即为所求；

（

2

）证明：由作法可知，点

B

为线段

OP

的中点．连接

OA

．

∵

OP

为

B

的直径，

∴

OAP90

（直径所对的圆周角是直角）．

∴

OAPA

．

∵点

A

在

O

上，

∵

PA

是

O

的切线（切线的判定定理）．

故答案为：

90

；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理．

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，

灵活运用所学知识是解题的关键．

20．

2

a2

；1

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可．

a



a

2



4



【详解】解：



1







2



a



2



a



4

a



4

a





a



2



a



2





a



2











2



a



2

a



2





a



2



答案第

7

页，共

20

页



a



2



2



a



2



a



2



a



2





2

a



2

2

；

2



1

．

4



2

当

a4

时，原式



【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则、正确

计算是解题的关键．

21

．

(1)

见详解

(2)

73

【分析】（

1

）先根据平行四边形的判定，证明四边形

ADCE

是平行四边形，再根据矩形的判

定，证明

ADC90

即可；

（

2

）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果．

【详解】（

1

）证明：由题意得

AE∥CD,AD∥CE

，

四边形

ADCE

是平行四边形，

ABAC

，点

D

为

BC

中点，

ADBC

，即

ADC90

，

四边形

ADCE

为矩形；

（

2

）解：∵四边形

ADCE

为矩形，

BCEADB90

，

∵点

D

为

BC

中点，

BC2CD6,BD3,

在

RtBCE

中，

tan



CBE



解得：

CE8,

ADCE8,

CECE

4



，

BC

63

在

RtADB

中，

ABAD

2

BD

2

8

2

3

2

73

，

故

AB

的长为

73

．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平

行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键．

22

．

(1)

m24

答案第

8

页，共

20

页

(2)

M



8,3



【分析】（1）点

P

的纵坐标为4，求出

P



6,4



，把

P



6,4



代入

y



m

(

x

0)

，即可解得．

x

（2）设

PBn

，则

BM2n

，当M在点P的右侧时，求出

M



8,3



，当M在点P的左侧时，

不存在．

【详解】（

1

）∵点

P

的纵坐标为

4

，

∴

4



1

x

1

，

2

解得

x6

，

∴

P



6,4



，

把

P



6,4



代入

y



解得：

m24

．

（2）∵

m

(

x

0)

，

x

PB

1



，

BM

2

∴设

PBn

，则

BM2n

，

当

M

在点

P

的右侧时，

∵

P



6,4



，

∴

B



6,4n



，

∴

M



6+2n,4n



，

把

M



6+2n,4n



代入

y



24

(x



0)

，

x

解得

n

1

1

，

n

2

0

（舍去），

∴

M



8,3



当

M

在点

P

的左侧时，

∵

P



6,4



，

∴

B



6,4+n



，

答案第

9

页，共

20

页

∴

M



62n,4+n



，

把

M



62n,4+n



代入

y



24

(x



0)

，

x

解得

n

1

1

（舍去），

n

2

0

（舍去），

∴此种情况不存在，

∴点M的坐标为

M



8,3



【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键时掌握待定系数法求

函数表达式．

23

．

(1)

见详解

(2)4

【分析】（

1

）连接

OD

，由题意易得

DEF90

，则有

FEDF90

，然后可得

FODC

，则可得

ODF90

，进而问题可求证；

（2）由题意可设

OE2x,BEx

，则

ODOB3x

，则有

cos



EOD



然后可列方程进行求解．

【详解】（

1

）证明：连接

OD

，如图所示：

OE

2



，

OF3x2

，

OD

3

∵

CEDE

，

AB

是

O

的直径，

∴

ABCD

，

∴

DEF90

，

∴

FEDF90

，

∵

OCOD

，

∴

OCDODC

，

答案第

10

页，共

20

页

∵

FC

，

∴

FODC

，

∴

ODCEDF90

，即

ODF90

，

∵

OD

是

O

的半径，

∴

DF

是

O

的切线；

（

2

）解：由题意可设

OE2x,BEx

，则

ODOB3x

，

∴

cos



EOD



OE

2



，

OF3x2

，

OD

3

OD

3

x

2



，

OF

3

x



23

∴在

Rt△ODF

中，

cos



FOD



解得：

x

4

，

3

∴

OD4

，

即

O

的半径为

4

．

【点睛】本题主要考查切线的判定、垂径定理及三角函数，熟练掌握切线的判定及三角函数

是解题的关键．

24

．

(1)

见解析

(2)

7605.5

，高

(3)

选择

b

、

c

方案

【分析】（

1

）根据表格中数据补全条形统计图即可；

（

2

）根据中位数的定义进行判断即可；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势判断其稳

定性；

（

3

）根据控制变量法选择品种相同的玉米，改变气温和含氧量即可比较哪一种因素对玉米

产量的影响较大．

【详解】（1）根据表格中F品种在高海拔地区的产量为6400

kg/hm

2

，补全条形统计图，如

图所示：

答案第

11

页，共

20

页

（

2

）将

8

个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：

9843

，

8650

，

7996

，

7705

，

7506

，

7437

，

6517

，

5398

，

中位数为

7705



7506



7605.5

；

2

根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；

故答案为：

7605.5

，高；

（

3

）

a

选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故

a

不选，

b

、

c

选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选；

故选用

b

、

c

两种方案．

【点睛】本题考查了数据的统计与应用，熟练掌握中位数、条形统计图的概念是解题的关键．

25

．

(1)

一

(2)

见解析

(3)直线

yx

m

与

y

轴交点的纵坐标为

y4

；

2

(4)

周长

m

的最小值为

8

米；矩形相邻两边的长分别为

2

米、

2

米；

【分析】（

1

）根据

x

，

y

是矩形的边长，都是正数，即可求解；

（

2

）通过描点法可画出

yx

的图像；

（3）根据题意将点



2,2



代入

yx

（4）联立

y



m

，求出m，即可求出答案；

2

m

4

和

yx

，可知

0

，即可求解．

x

2

【详解】（

1

）解：∵

x

，

y

是矩形的边长，都是正数，

所以点



x,y



在第一象限；

（

2

）解：当

x0

时，

yx0

，

当

x1

时，

yx1

，

∴

yx

图像如图所示：

答案第

12

页，共

20

页

（3）解：将点



2,2



代入

yx

解得：

m8

，

即

yx4

，

当

x0

时，

y4

，

∴直线

yx

mm

得：

2



2



，

22

m

与

y

轴交点的纵坐标为

y4

；

2

m

4

1

2

和

yx

并整理得：

xmx

+4

=

0

，

x

2

2

2

（4）解：联立

y



2



1



∴



=

b



4

ac

=





m





4



1



4



0

时，两个函数有交点，



2



解得：

m8

，

∴周长

m

的最小值为

8

米，



x



2



xy



4

可得



，解得



，

y



2

x

+

y



4





∴矩形相邻两边的长分别为

2

米、

2

米；

【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平

移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大．

26．(1)



3,9a1



(2)



(3)

a

2

2

或

a

7

9

答案第

13

页，共

20

页

2

【分析】（1）根据抛物线

yaxbx1



a0



的对称轴是直线

x3

，可得出：

b6a

，再

计算当

x3

时，

y

的值即可得出答案；

2

（2）根据

yaxbx1



a0



，抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称

轴越远，函数值越大，分别算出点



3t,y



和点



32t,y

2



距离对称轴

x3

的距离即可比较

y

2

、y

1

的大小；

2

（3）由

b6a

可以得出

yax6ax1



a0



，再分

a0

、

a0

，进行讨论即可得出答

案．

2

【详解】（1）∵抛物线

yaxbx1



a0



的对称轴是直线

x3

，

∴



b

3

，

2

a

∴

b6a

，

当

x3

时，

y9a3b1

9a3x



6a



1

9a1

，

2

∴抛物线

yaxbx1



a0



的顶点坐标是



3,9a1



；

2

（2）∵

yaxbx1



a0



，

∴抛物线开口向上，

∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，

点



3t,y



距离对称轴

x3

的距离为：

3t3t

，

点



32t,y

2



距离对称轴

x3

的距离为:

32t32t2t

，

∵

t0

，

∴

2tt

，

∴



32t,y

2



距离对称轴

x3

比



3t,y



距离对称轴

x3

更远，

∴

y

1

y

2

，

故填：



；

（

3

）∵

b6a

，

2

∴

yax6ax1



a0



，

当

a0

时，

答案第

14

页，共

20

页

2

∵抛物线

yax6ax1



a0



的对称轴是直线

x3

，且该抛物线与线段

AB

恰有一个公共

点，

故顶点为



3,3



，

2

把



3,3



代入

yax6ax1



a0



得：

9a18a13

，

∴

a

2

；

9

当

a0

时，

∵当

x0

时，

y1

，

∴抛物线

yax

2

6ax1

过



0,1



，

2

∵抛物线

yax6ax1



a0



的对称轴是直线

x3

，

∴抛物线

yax

2

6ax1

过



6,1



，

∴抛物线

yax

2

6ax1

与

y3

的交点一个在

y

轴的左侧，一个在

x6

的右侧，

∵该抛物线与线段

AB

恰有一个公共点，

∴当

x7

时，

y3

，

∴

49a42a13

，

∴

a

2

；

7

2

2

或

a

．

7

9

综上所述：

a

【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物

线综合，抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的

性质是解题关键．

27

．

(1)

DCP



30

(2)

见解析

(3)

CHPH

，证明见解析

ADP



，

PDFADP



，【分析】（

1

）由点

F

与点

A

关于直线

DE

对称，则

ADDF

，

在菱形

ABCD

中，

BAD60

，则

ADCD

，

AB



CD

，得到

DFCD

，

ADB180BAD120

，则

DCPCFD

，

CDF1202



，即可得到

答案第

15

页，共

20

页

DCPCFD

1



180

CDF





30





，得到结论；

2

（

2

）由点

F

与点

A

关于直线

DE

对称得到

APFP

，

DPFDPA

，则

APF

是等腰三角

形，由

CFD30



DPFPDFDPF



得到

DPF30

，则

DPFDPA30

，即得到

APF60

，结论得证；

（3）连接

PB,BD

，证明

DAF≌BAP



SAS



，则

DFPB

，再证

△ABD

是等边三角形，

则

BDABADDFPB

，由

BGDP

于点

G

得到

PGGD

，由

CD∥GH

得到

PHPG



1

，猜想得证．

CHGD

【详解】（

1

）解：∵点

F

与点

A

关于直线

DE

对称，

ADP



，

∴

ADDF

，

PDFADP



，

∵在菱形

ABCD

中，

BAD60

，

∴

ADCD

，

AB



CD

，

∴

DFCD

，

ADB180BAD120

，

∴

DCPCFD

，

∵

CDFADCADPPDF1202



，

∴

DCPCFD

1



180

CDF





30





，

2

即

DCP



30

；

（

2

）∵点

F

与点

A

关于直线

DE

对称，

∴

APFP

，

DPFDPA

，

∴

APF

是等腰三角形，

∵

CFD30



DPFPDFDPF



，

∴

DPF30

，

∴

DPFDPA30

，

∴

APF60

，

∴

APF

是等边三角形；

（

3

）如图所示，猜想

CHPH

，证明如下：

过点

B

作

BGDP

于点

G

，过点

G

作

CD

的平行线，交

CP

于点

H

．连接

PB,BD

，

答案第

16

页，共

20

页

∵

APF

是等边三角形，

∴

AFAP,PAF60

，

∴

PAFBAF60BAFBADBAF

，

∴

PABFAD

，

∵

DABA

，

∴

DAF≌BAP



SAS



，

∴

DFPB

，

∵

ABAD,BAD60

，

∴

△ABD

是等边三角形，

∴

BDABADDFPB

，

∵

BGDP

于点

G

，

∴

PGGD

，

∵

CD∥GH

，

∴

PHPG

1

，

CHGD

∴

CHPH

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判

定和性质、菱形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．

28

．

(1)A

(2)

r

5

3

4

3

(3)

0d4

【分析】（

1

）根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦

PQ

是否仍在

G

上．确定只有

点

A

符合题意．

答案第

17

页，共

20

页

（

2

）讨论

D

与线段

EF

相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解．

（

3

）考虑到对称性与不失一般，将

H

点设在

x

轴上，方便得出

d

的取值范围．

【详解】（1）根据中心映射的定义，若将弦

PQ

绕点

K

逆时针旋转





0



180



得到线

段

P



Q



，恰好也是

G

的弦，则称弦

PQ

关于点

K

中心映射，点

K

叫做映射中心．由于

ABC

是等边三角形，因此直线

PQ

绕

A

点逆时针旋转



60



0



180



，可使弦

PQ

落在弦

PQ

上．但直线

PQ

绕

B

点、

C

点逆时针旋转





0



180



后，弦

PQ

无法与

G

再相交成弦．

故只有点

A

符合映射中心的条件，如下图．

（

2

）如下图，

OEF

的角平分线交

y

轴于点

D

，过

D

作

DGEF

，垂足为

G

．

则

D

与线段

EF

相交所得的弦关于点

E

中心映射，此时

D

的半径

r

的取值范围是

DFrDG

．

在

OEF

中，

EF

平分

OEF

，过

D

作

x

轴的平行线，与

EF

交于

H

，

则

HDE＝DEO

，又

HED＝DEO

，

所以

HDE＝HED

，则

HD＝HE

．

由

DH∥OE

得，

△FDH∽△FOE

，所以

即

DFFE

＝

DOEO

DFFHFHFE

＝＝＝

DOHEHDOE

，

DFFE

＝

OF

－

DFOE

。

答案第

18

页，共

20

页

在直角三角形OEF中，

EFOE

2

OF

2

4

2

3

2

5

．

∴

DF

5

＝

，解得

DF

3

－

DF

4

5



．

3

∵

DGEF

，

∴在直角

OEF

与直角

GDF

相似．

DG

4



DGOE



∴，即

5

5

．

DFEF

3

因此，

DG

4

．

3

5

3

4

3

所以，

D

的半径r的取值范围是

DFrDG

．即

r

．

（

3

）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦

MN

绕点

H

逆时针旋转



60



0



180



得到线段

MN

，恰好也是

O

的弦，且

MN

与

MN

交于

x

轴，见下图．

作

OFMN

与

O

交于点

F

，再过

F

作

MN

的平行线，

EF

是

O

的切线．则满足条件的弦

MN

最大为直径，最小应大于

0

，

d0

，

dOHOE

，

OHd

．所以，当

O

与

H

重合时，此时弦

MN

为直径；当

H

与

E

重合时，

此时弦

MN

长度为

0

．

故

d

的取值范围是：

0dOE

．

由已知条件知



MHM



60

，

OHM



MHM



30



．

又因

EF∥MN

，故

∠OEF∠OHM30



．

1

在直角

OEF

中，

OFOE

，则

OE2OF224

．

2

1

2

故

d

的取值范围是：

0d4

．

【点睛】本题考察了图形旋转、角平分线性质、含

30°

角的直角三角形等相关知识点，深入

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19

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细致审题是解本题的关键．

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20

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20

页