2024年8月7日发(作者：)
线性代数（经管类）综合试题一
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设
D
==
M
≠0，则
D
1
==
( B )．
A.－2
M
B.2
M
C.－6
M
D.6
M
2.设
A
、
B
、
C
为同阶方阵，若由
AB
=
AC
必能推出
B
=
C
，则
A
应满足 ( D )．
A.
A
≠
O
B.
A
=
O
C.|
A
|= 0 D. |
A
|≠0
3.设
A
，
B
均为
n
阶方阵，则 ( A)．
A.|
A
+
AB
|=0，则|
A
|=0或|
E
+
B
|=0 B.(
A
+
B
)
2
=
A
2
+2
AB
+
B
2
C.当
AB
=
O
时，有
A
=
O
或
B
=
O
D.(
AB
)
-1
=
B
-1
A
-1
4.二阶矩阵
A
A.
，|
A
|=1，则
A
-1
= ( B)．
B. C. D.
，则下列说法正确的是( B )．
A.若两向量组等价，则
s = t
.
B.若两向量组等价，则
r
(
C.若
s = t
，则两向量组等价.
)=
r
()
D.若
r
(
6.向量组
A.
B.
C.
D. 可由
)=
r
()，则两向量组等价.
线性相关的充分必要条件是 ( C )．
中至少有一个零向量
中至少有两个向量对应分量成比例
中至少有一个向量可由其余向量线性表示
线性表示
有两个极大无关组与7.设向量组
，则下列成立的是( C )．
A.
r
与
s
未必相等 B.
r
+
s
=
m
C.
r
=
s
D.
r
+
s
>
m
8.对方程组
Ax = b
与其导出组
Ax = o
，下列命题正确的是( D )．
A.
Ax = o
有解时，
Ax = b
必有解.
B.
Ax = o
有无穷多解时，
Ax = b
有无穷多解.
C.
Ax = b
无解时，
Ax = o
也无解.
D.
Ax = b
有惟一解时，
Ax = o
只有零解.
9.设方程组有非零解，则
k
= ( D)．
A. 2 B. 3 C. -1 D. 1
阶对称矩阵
A
正定的充分必要条件是( D )．
A. |
A
|>0 B.存在
n
阶方阵
C
使
A
=
C
T
C
C.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.四阶行列式
D
中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余
子式的值依次为5，3，-7，4，则
D
= -15 ．
12.若方阵
A
满足
A
2
=
A
，且
A
≠
E
，则|
A
|= 0 .
13.若
A
为3阶方阵，且 ，则|2
A
|= 4 ．
14.设矩阵的秩为2，则
t
= -3 ．
)= 0 ． 15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,
16.设
n
元齐次线性方程组
Ax
=
o
，
r
(
A
)=
r
<
n
，则基础解系含
有解向量的个数为
n-r个.
17.设
则
＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是
R
3
的基，
=(1，2，3)在此基下的坐标为 （1,1,2）
18.设
A
为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则
A
2
的特征值为
1,1,4 .
19.二次型
220
1
23
0
11
的矩阵
A
=
20.若矩阵
A
与
B
=相似，则
A
的特征值为 1,2,3
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.求行列式的值
1
x
1111
x
111
解：
11
x
11
x
x
00
111
y
1
=
111
y
1
1111
y
00
y
y
1
x
100
x
000
=xy
11001100
001
y
1
=xy
00
y
0
=x²y²
00110011
22.解矩阵方程：.
解：令A=
111
2
211
，B=
3
111
6
111100
11
因为（AE）=
211010
→
11
0312
111001
0021
1000
11
33
0
11
33
11
11
010
1
1
236
，所以A=
1
236
001
1
0
1
0
1
22
1
22
0
11
33
由AX=B,得X=
A
1
B=
111
2
1
236
3
=
3
1
0
1
6
2
22
00
10
→
01
23.求向量组
3, 3, 5 )，
=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1,
=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将
其余向量用该极大无关组线性表示.
解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：
1114
11
0026
00
（
1
r
2
r
3
r
4
r
） =
→
01
1303
0026
04
1114
11
0026
01
→
→
01
1300
0026
00
4
1
13
0
→
130
00
0
1
4
26
13
26
1
7
100
013
000
00
所以，r（
1
r
2
r
3
r
4
r
）=3，极大无关组为
1
，
2
，
3
；
4
=7
1
-3
3
取何值时，方程组有解并求其通解（要求
用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：
21111
12142
A
=
12142
→
05373
17411
a
0537
a
2
12142
05373
→
00
00
a
5
若方程有解，则r(
A
)=r（A），故a=5
当a=5时，继续施以初等行变换得：
1
10
5
3
01
A
→
5
000
6
5
7
5
0
4
5
3
,原方程组的同解方程组为：
5
0
416
x
x
x
43
1
555
，x
3
,x
4
为自由未知量，令x
3
=x
4
=0得原方
337
x
2
x
3
x
4
555
4
16
5
x
x
x
43
1
3
55
程组的一个特解：
与导出组同解的方程组为：
37
5
x
2
x
3
x
4
0
55
0
3
x
3
,x
4
为自由未知量，令
x
x
4
1
6
5
5
1
0
3
，
7
，所以，分别取
，，得到导出组的基础解系：
5
5
0
1
1
0
0
1
4
1
5
5
3
3
+c方程组的全部解为v=
+c
2
5
1
5
0
1
0
0
6
5
7
,其中c，c
2
为任意常数。
1
5
0
1
25.已知,求
A
的特征值及特征向量，并判断
A
能否对角化，若能，求可逆矩阵
P
，使
P
–1
AP
=
Λ
（对角形矩阵）．
解：矩阵A的特征多项式为：
2
E
A
=
1
1
0
2
0
0
1
=
(
2)
2
(
1)
1
所以，A的特征值为:
1
2
2,
3
1
对于:
1
2
2
，求齐次线性方程组
(2
E
A
)
x
O
的基础解系，
000
101
0
1
2
E
A
101
000
,得基础解系：
1
,
0
,
从而矩阵A
101
000
0
1
0
1
的对应于特征值
1
2
2
的全部特征向量为：
c
1
1
c
0
c
1
,
c
2
不
0
1
2
全为零。
对于
3
1
，求齐次线性性方程组（E-A）x=O的基础解系，
100
100
0
E
A
111
011
，得基础解系：
1
，从而矩阵A
100
000
1
0
的对应于特征值
3
1
的全部特征向量为：
c
1
c
0
1
0
1
0
因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量
1
，
0
，
1
，所
0
1
1
010
200
以，A相似于对角矩阵，且
P
101
,
020
011
001
26.用配方法将下列二次型化为标准形：
解：
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
1
2
2
x
2
2
x
3
2
4
x
1
x
2
4
x
1
x
3
4
x
2
x
3
=
x
1
2
4
x
1
(
x
2
x
3
)4(
x
2
x
3
)
2
4(
x
2
x
3
)
2
2
x
2
2
x
3
2
4
x
2
x
3
=
(
x
1
2
x
2
2
x
3
)
2
2
x
2
2
4
x
2
x
3
5
x
3
2
=
(
x
1
2
x
2
2
x
3
)
2
2(
x
2
2
2
x
2
x
3
x
3
2
)3
x
3
2
=
(
x
1
2
x
2
2
x
3
)
2
2(
x
2
x
3
)
2
3
x
3
2
y
1
x
1
2
x
2
2
x
3
x
1
y
1
2
y
2
令
y
2
x
2
x
3
，即
x
2
y
2
y
3
x
y
y
3
x
333
得二次型的标准型为：
y
1
2
2
y
2
2
3
y
3
2
.
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量
是
R
3
空间中的一个基.
，证明向量组
110110
证：因为
11002020
，所以
1
,
2
,
3
线性无关，
111001
所以向量组
1
,
2
,
3
是
R
3
空间的一个基。
线性代数（经管类）综合试题二
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.
( C ).
若三阶行列式=0, 则
k
=
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2.设
A、B
为
n
阶方阵,则成立的充要条件是 ( D).
A．
A
可逆 B．
B
可逆 C．|
A
|=|
B
| D．
AB
=
BA
3.设
A
是
n
阶可逆矩阵,
A
*
是
A
的伴随矩阵, 则
( A).
A．
C．
B．
D．
4.矩阵
( B).
的秩为2，则
λ
=
A．2 B．1 C．0 D．
5.设3×4矩阵
A
的秩
r
(
A
)=1，
是齐次线性方程组
Ax
=
o
的
三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为
( D).
A．
C．
6.向量
( C ).
B．
D．
线性相关,则
A．
k
=-4 B．
k
= 4 C．
k
=-3 D．
k
= 3
7.设
u
1
,
u
2
是非齐次线性方程组
Ax
=
b
的两个解, 若是其
导出组
Ax
=
o
的解, 则有 ( B ).
A．
c
1
+
c
2
=1 B．
c
1
=
c
2
C．
c
1
+
c
2
= 0 D．
c
1
= 2
c
2
8.设
A
为
n
(
n
≥2)阶方阵，且
A
2
=
E
，则必有 ( B ).
A．
A
的行列式等于1 B．
A
的秩等于
n
C．
A
的逆矩阵等于
E
D．
A
的特征值均为1
9.设三阶矩阵
A
的特征值为2, 1, 1， 则
A
-1
的特征值为
( D ).
A．1, 2 B．2, 1, 1 C．, 1 D．, 1,
1
10.
( A ).
A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
二次型是
11.=_______5__．
12.设
A
为三阶方阵,且|
A
|=4，则|2
A
|=_____32___．
13.设
A
=,
B
=, 则
A
T
B
110
10
_______． =___
1
0
410
14.设
A
=
15.向量
,则
A
-1
=____
21
______．
2
5
表示为向量组
的线性组合式为_
e
1
2
e
2
5
e
3
_________．
16.如果方程组
=___-1_______．
17.设向量与
有非零解, 则
k
正交，则
a
=____2______．
18.已知实对称矩阵
A
=,写出矩阵
A
对应的二次型
_
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
1
2
2
x
2
2
3
x
3
2
x
1
x
2
3
x
1
x
3
_________．
19.已知矩阵
A
与对角矩阵
Λ=
相似，则
A
2
=___E_____．
20.设实二次型的矩阵
A
是满秩矩阵，且二次型的正
惯性指数为3，则其规范形为__
y
1
2
y
2
2
y
3
2
y
4
2
________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式
x
x
解：原式=
x
x
1
3
y
3
y
3
y
3
y
的值
.
y
x
y
y
y
y
x
y
y
1
y
y
1
x
=
(
x
3
y
)
y
1
y
x
1
y
y
y
x
y
y
y
y
x
y
0
0
y
0
y
0
0
=
(
x
3
y
)
0
x
y
0
0
x
y
0
=
(
x
3
y
)(
x
y
)
3
x
y
22.设矩阵
A
=，
B
=，求矩阵
A
-1
B .
11011
01113
001413
11011
解：（AB）=
12102
2
2321
110111
010310
001413
29
A
1
B
310
4
13
10029
010310
001413
23.设矩阵
1，2，3.
，求
k
的值，使
A
的秩
r
(
A
)分别等于
解：对矩阵A施行初等变换：
123
k
123
k
A
12
k
3
02
k
23
k
3
k
23
02
k
233
k
2
1
12
23
k
3
k
02
k
23
k
3
0
k
1
k
1
2
0
0063
k
3
k
0(
k
2)(
k
1)
123
当k=1时，
A
000
，矩阵A的秩r（A）=1；
000
126
当k=-2时，
A
033
，矩阵A的秩r（A）=2；
000
123
k
当k
1且k2
时，
A
011
，矩阵A的秩r（A）=3.
00
1
24.求向量组的秩和一个
极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示
.
解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换:
1
1
(
1
2
3
4
)
1
1
1
0
0
0
1
1112
112
234
0122
01
0268
003710
41320
031218
00
1
02
02
12
00
12
22
24
12
10112
122
01
00012
000
00
所以，向量组的秩
r
(
1
,
2
,
3
,
4
)3
，向量组的一个极大无关组
为：
1
,
2
,
3
,
且有
4
2
1
2
2
2
3
.
25.求线性方程组
解系表示其通解
.
的基础解系，并用基础
解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：
1223
1223
1223
A
2312
0134
0134
1357
0134
0000
1045
0134
0000
与原方程组同解的方程组为:
由未知量。
x
1
4
x
3
5
x
4
x
2
3
x
3
4
x
4
,其中x
3
,x
4
为自
4
5
x
3
34
1
0
v
,
v
令
分别取 ， 得基础解系：
12
x
10
0
1
4
0
1
4
5
3
4
c
1
c
.
（c
1
，c
2
为任意常
2
1
0
0
1
方程组的通解为：
c
1
v
1
c
2
v
2
数）
26.已知矩阵，求正交矩阵
P
和对角矩阵
Λ
，使
P
-1
AP
=
Λ
.
解：矩阵A的特征多项式为：
1
E
A
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
得矩阵A的所有特征值为:
1
2
0,
3
3
对于
1
2
0
，求方程组
(0
E
A
)
x
O
的基础解系。
111
111
111
000
111
000
1
1
1
1
,
2
0
，
0
1
，得基础解系为：
将此线性无关的特征向量正交化，得：
1
1
2
1
1
1
,
2
，再标准化，得：
1
2
0
1
1
2
1
,
2
2
0
1
6
1
，
6
2
6
对于
3
3
解方程组
(3
E
A
)
x
O
211
101
1
121
011
，方程组的基础解系为
3
1
，
112
000
1
将其单位化，得
3
1
3
1
，
3
1
3
令
P
1
,
2
,
3
1
2
1
2
0
1
6
1
6
2
6
1
3
000
1
,
000
3
003
1
3
则P是正交矩阵，且P
1
AP=
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量组线性无关，证明：向量组
也线性无关
.
证：令
k
1
1
k
2
(
1
2
)
k
3
(
1
2
3
)
k
s
(
1
2
s
)0
整理得：
k
1
k
2
k
s
1
(
k
2
k
3
k
s
)
2
k
s
s
0
因为
1
,
2
,
s
线性无关，所以
k
1
k
2
k
s
1
k
s
0
k
1
0
k
k
k
0
k
2
0
23
s
解得:
k
k
s
1
k
s
00
s
1
k
s
0
k
s
0
故
1
,
1
2
,
1
2
3
1
2
s
线性无关。
线性代数（经管类）综合试题三
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有
C.行列式至少有一个
D.行列式所有
2.已知
下列结
个元素等于零
阶子式为零
阶子式全为零
均为
n
阶矩阵，
E
为单位矩阵，且满足
ABC
=
E
，则
论必然成立的是
( B ).
A.
ACB
=
E
B.
BCA
=
E
C.
CBA
=
E
D.
BAC
=
E
3.设
A
，
B
均为
n
阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).
A. (
AB
)
-1
=
A
-1
B
-1
B.
(
A
+
B
)
-1
=
A
-1
+
B
-1
C.
(
AB
)
T
=
A
T
B
T
D.
4.下列矩阵不是初等矩
阵的是
( B ).
A.
5.设
( D ).
B.
是4
C. D.
维向量组，则
A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设
A
为
m
×
n
矩阵，且
m
<
n
，则齐次线性方程组
Ax
=
o
必 ( C ).
A.无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能确定
7.已知4元线性方程组
Ax
=
b
的系数矩阵
A
的秩为3，又
是
Ax
=
b
的两个解,则
Ax
=
b
的通解是
( D ).
A.
C.
B.
D.
8.如果矩阵
A
与
B
满足( D )，则矩阵
A
与
B
相似.
A.有相同的行列式
B.有相同的特征多项式
C.有相同的秩
D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同
9.设
A
是
n
阶实对称矩阵，则
A
是正定矩阵的充要条件是 ( D ).
A. |
A
|>0 B.
A
的每一个元素都大于零
C. D.
A
的正惯性指数为
n
10.设
A
，
B
为同阶方阵，且
r
(
A
) =
r
(
B
)，则 ( C ).
A.
A
与
B
相似 B.
A
与
B
合同
C.
A
与
B
等价 D.|
A
|=|
B
|
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式 24 .
12.设
A
为三阶矩阵，|
A
|=-2，将矩阵
A
按列分块为
，其中是
A
的第
j
列，
,则|
B
|= 6 .
13.已知矩阵方程
AX
=
B
，其中
A
=
11
.
12
，
B
=，则
X
=
14.已知向量组
2，则
k
= -2 .
15.向量
16.向量
的长度
在基
=
15
.
的秩为
下的坐
标为
343
.
17.设是4元齐次线性方程组
Ax
=
o
的基础解系，则矩阵
A
的秩
r
(
A
)= 1 .
18.设
1 .
19.若
是三阶矩阵
A
的特征值，则
a
=
是正定二
次型，则满足
5
.
20.设三阶矩阵
A
的特征值为1,2,3，矩阵
B
=
A
2
+2
A
,则|
B
|=
360 .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设三阶矩阵
A
=
求：(1)矩阵
A
-2
E
及|
A
-2
E
|；(2)
，
E
为三阶单位矩阵.
.
300
200
100
解：（1）
A
2
E
110
010
110
123
002
121
A
2
E
1
1
100100
00100
110010
010110
121001
021101
100100
010110
001121
100
110
121
(2)
(
A
2
E
)
1
22.已知向量组
求：(1)向量组的秩；
(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性
无关组线性表示.
解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换:
1210
121
1202
0
2404
0024
0012
2432
0012
0000
所以，向量组的秩
r
(
1
,
2
,
3
,
4
)2
，
1
,
3
， 向量组的一个极大无关组为：且有
2
2
1
,
4
2
1
2
3
23.讨论
a
为何值时，线性方程组
方程组有解时，求出方程组的通解.
解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：
有解当
1222
12222
2
01111
1
0111
A
1113
011
a
1
a
2
51
33
111
033
1
0
0
0
222
111
0
0
0
0
0
0
1002
40
1
0
0111
000
a
1
0
a
1
0
00
000
若方程组有解，则
r
(
A
)
r
(
A
)2
,从而a=1.
当a=1时，原方程组的通解方程组为：
x
1
4
x
4
，x
3
，x
4
为自由未知量.
x
1
x
x
234
令x
3
=x
4
=0，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0).
导出组的同解方程组为：
x
x
4
x
1
4
x
4
x
2
x
3
x
4
，x
3
，x
4
为自由未知量.
1
0
3
T
令
，分别取，得导出组的基础解系：(0,1,1,0)，
,
0
1
(-4,1,0,1)
T
.
所以,方程组的通解为：(0,1,0,0)
c
2
(-4,1,0,1)
T
，其中，c，c
2
为任意常数.
1
T
+c
1
(0,1,1,0)
T
+
24.已知向量组
量组的线性相关性.
12112
10
a
2
解:因为
1
a
24
1
2
，讨论该向
(
a
2)(
a
6)
a
08
a
2
当a=2或a=-6时，向量组线性相关，
当a
2且a
-6时，向量组线性无关，
25.已知矩阵
A
=，
(1)求矩阵
A
的特征值与特征向量；
(2)判断
A
可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵
P
及相应
的对角形矩阵
Λ
.
解：矩阵A的特征多项式为：
110
0(
2)(
1)
2
E
A
4
1
3
0
2
所以，A的特征值
1
2
1,
3
2
对于
1
2
1,
求齐次线性方程组
(
E
A
)
x
O
的基础解系，
210
101
1
E
A
420
012
，得基础解系：
2
，从而矩
101
000
1
1
阵A的对应于特征值
1
2
1,
的全部特征值为：
c
2
,(
c
0)
1
对于
3
2
，求齐次线性方程组
(2
E
A
)
x
O
的基础解系，
310
100
0
2
E
A
410
010
，得基础解系：
0
，从而矩阵
100
001
1
0
A的对应于特征值
3
2,
的全部特征值为：
c
0
,(
c
0)
1
因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相
似于对角矩阵。
26.设二次型
(1)将二次型化为标准形；
(2)求二次型的秩和正惯性指数.
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
1
2
2
x
1
x
2
2
x
1
x
3
2
x
2
2
4
x
2
x
3
3
x
3
2
x
1
2
2
x
1
(
x
2
x
3
)(
x
2
x
3
)
2
(
x
2
x
3
)
2
2
x
2
2
4
x
2
x
3
3
x
3
2
(
x
1
x
2
x
3
)
2
x
2
2
2
x
2
x
3
4
x
3
2
(
x
1
x
2
x
3
)
2
(
x
2
2
2
x
2
x
3
x
3
2
)5
x
3
2
2
(
x
1
x
2
x
3
)
2
(
x
2
x
3
)
2
5
x
3
y
1
x
1
x
2
x
3
x
1
y
1
y
2
令
y
2
x
2
x
3
。即
x
2
y
2
y
3
x
y
y
x
3333
得二次型的标准形为：
y
1
2
y
2
2
5
y
3
2
(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2
四、证明题（本大题共6分）
27.已知
A
是
n
阶方阵，且
证：由(A+E)²=O, 得：A²+2A=-E,从而A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E
所以A可逆，且A
1
=-A-2E
，证明矩阵
A
可逆，并求
线性代数（经管类）综合试题四
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.
( ).
三阶行列式，则
a
=
A. 2 B. 3 C. D. -3
2.设
A
，
B
均为
n
阶非零方阵，下列选项正确的是
( ).
A. (
A
+
B
)(
A
-
B
) =
A
2
-
B
2
B. (
AB
)
-1
=
B
-1
A
-1
C. 若
AB
=
O
, 则
A
=
O
或
B
=
O
D. |
AB
| = |
A
| |
B
|
3.设
A
A.
，
B
B.
，
AB
-
BA
= ( ).
C.
D.
4.
( ).
A.
设矩阵的秩为2，则
= -4 C.
t
是任意实数 D.以上都不对
，则 5.设向量
( ).
A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1,
0, 5, -6)
6.向量组线性相关,则( ).
A.
k
=-4 B.
k
= 4 C.
k
= 3 D.
k
= 2
7.设
u
1
,
u
2
是非齐次线性方程组
Ax
=
b
的两个解，若
c
1
u
1
+
c
2
u
2
也是方程组
Ax
=
b
的解，则
( ).
A.
c
1
+
c
2
=1 B.
c
1
=
c
2
C.
c
1
+
c
2
= 0 D.
c
1
= 2
c
2
8.设
m
×
n
矩阵
A
的秩
r
(
A
) =
n
-3(
n
>3)，是齐次线性方程
组
Ax
=
o
的三个线性无关的解向量，则方程组
Ax
=
o
的基础解系为
( ).
A.
C.
B.
D.
的特征值为( ).
A. 3，5 B
.
1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5
( ).
A. B.存在
n
阶矩阵
P
，使得
A
=
P
T
P
C.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. .
12.设
A
为三阶方阵，且|
A
|=2，
A
*
是其伴随矩阵，则|2
A
*
|
= .
13.设矩阵
A
14.设
15.若向量不能由
，则= .
= .
)=2，则
，则内积
线性表示，且
r
(
r
(,)= .
16.设线性方程组
= .
17.方程组
是 .
有解，则
t
的基础解系含有解向量的个数
18.设二阶矩阵
A
与
B
相似，
A
的特征值为-1，2，则|
B
|= .
19.设二次型的矩阵
.
20.用正交变换将二次型
,则二次型
化为标准形为
，则矩阵
A
的最小特征值为 .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算
n
阶行列式
.
22.解矩阵方程：
.
23.验证是
R
3
的一个基，并求
向量在此基下的坐标.
24.设向量组线性无关，令
，
试确定向量组的线性相关性.
25.求线性方程组的基础解系，并表示
其通解.
26.求矩阵
的特征值和全部特征向量.
四、证明题（本大题共6分）
27.设是三维向量组，证明：线性无关的充分必要条
件是任一三维向量都可由它线性表示.
线性代数（经管类）综合试题五
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将
其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.
( ).
行列式,则
k
=
A
2
-
B
2
成立的充分
必
( ).
( ).
A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -1
2.设
A
，
B
，
C
均为
n
阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).
A.若
AB
=
A
C，则
B=C
B. (
A
-
C
)
2
=
A
2
-2
AC
+
C
2
C.
ABC
=
BCA
D. |
ABC
| = |
A
| |
B
| |
C
|
要条件是
A.
A
=
E
B.
B
=
O
C.
A
=
B
D.
AB
=
BA
4.若，则初等矩阵
P
=
A. B.
C. D.
5.设向量,则
( ).
A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D.
(-1, 3, 9, 8)
6.
( ).
A.若存在一组数
k
1
,
k
2
, …,
k
m
, 使得
立，则向量组线性相关.
，则向量组
成
下列结论正确的是
B.当
k
1
=
k
2
=…=
k
m
=0时，
线性无关.
C.若向量
D.若向量
线性相关，则
线性无关，则
线性相关.
线性无关.
7. 设
u
1
,
u
2
是非齐次线性方程组
Ax
=
b
的两个解，若
c
1
u
1
+
c
2
u
2
是其导出组
Ax
=
o
的解，则 ( ).
A.
c
1
+
c
2
= 0 B.
c
1
=
c
2
C.
c
1
= 2
c
2
D.
c
1
+
c
2
=1
8.线性方程组
Ax
=
o
只有零解的充分必要条件是
( ).
A.
A
的行向量组线性无关 B.
A
的行向量组线性相关
C.
A
的列向量组线性无关 D.
A
的列向量组线性相关
9.
( ).
设，则
2
的特征值为
A.
C.
10. 设二次型
B.
D.
的矩阵
A
是满秩矩阵，且二次型的正
惯性指数为3，则二次型的规范形为 ( ).
A.
C.
B.
D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式 .
12.设
A
为三阶方阵，|
A
|=2，则 |2
A
-1
| = .
13.设,则2
A
+
B
= .
14.设
15.向量
16.设向量组
和
，则(
AB
)
-1
= .
的单位化向量为 .
的两个极大无关组分别是
，
r
和
t
的关系是 .
17.设向量组
18.设向量
的秩为2，则
t
= .
与正交，则
k
= .
19.已知二次型
二次型
f
的矩阵
A
= .
，写出
20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0，则
A
的秩
r
(
A
)= .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式
.
22.已知矩阵
A
=
，且
A
+
X
=
XA
，求
X
.
23.设
A
=
，已知
r
(
A
)=2，求
a
,
b
的值.
24.已知线性方程组，(1)问常数
a
1
，
a
2
，
a
3
满足什么
条件时，方程组有解(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(用它的
一个特解和导出组的基础解系表示).
25.设实对称矩阵
A
=
其中，
Λ
是对角矩阵.
，求正交矩阵
Q
，使得
Q
-1
AQ
=
Λ
.
26.设二次型
次型，求
a
的取值范围.
四、证明题（本大题共6分）
27. 设向量组
不能由
是正定二
线性无关，可由
线性表示.证明：向量组
线性表示，而
线性无关.
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