勾股定理专题(附答案,全面、精选) (三篇)

勾股定理

S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4=_____________。

一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理内容：在RT△中，

勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a,

b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ）

A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2

C、a2- c2=b2 D、 a2+b2= c2

（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）

A、BC2- AB2=AC2 B、BC2-

AC2=AB2

C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2=

AB2

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm,

BC=8 cm, 求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足

，则该直角三角形的斜边长为

．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为

。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）

A、6 B、8 C、10 D、12

（9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是【知识点2】勾股定理的验证

推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）

拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。

（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。

问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：a2b2c2

3、运用勾股定理进行计算（重难点）

（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？

（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？

【基础检测】

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）

A.5 B.12 C.13

D.18

2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若ab14cm，c10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）

A . 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D.

60cm2

3、若△ABC中，∠C=90°，

（1）若a = 5，b=12，则c = ；

（2）若a =6，c =10，则b = ；

（3）若a∶b=3∶4，c =10，则a= ，b= 。

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 。（不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm?,且两直角边长度725比为3 : 4，求两直角边的长。

6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？

【培优突破】

1、折叠问题

（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）

A、4cm B、5cm

C、6cm D、10cm

（2） 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求线段EC的值

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题

（3）如图，为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m，BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）

（4）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为（ ）

A、25 B、7 C、25或7 D、不能确定

（5）已知3, 4，a是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则a的值是多少？

（6）在直角△ABC中，AB=15， AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为多少？

4、利用方程解题

2（7）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC的长.

（8）如图，已知△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

【培优训练】

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A、 B、 C、 D、

2．若三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中，成立的是（ ）

222222222

A．

a+b=c B．

a=2c C．

c=2a D．

c=2b

3． 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（ ）

A、 5 B、6

C、 7 D、8

4．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）

A、 16 B、15

C、 14 D、13

5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）

A、 1 B、4

3C、

3 D、22

6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）

A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（ ）

A、 10 B、5 C、

2412 D、

558．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）

A、

5cm2

B、3cm2

C、

4cm2 D、5cm2

9．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）m

A．

30

B．40

C．50

D．

70

10．如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为（ ）

A、18 B、32

C、28 D、24

11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：

22 ①x+y=49， ②x﹣y = 2，

③2xy+4=49， ④x+y=9．

其中说法正确的是（ ）

A、①② B、①②③

C、①②④ D、①②③④

二．填空题（共2小题）

12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= _____ cm．

13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是 _________ ．

14、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．

求线段EF的长。

二、勾股定理的逆定理

【知识点3】勾股定理的逆定理

（1）如果△的三边 ， 满足关系满足 ，则该△为直角三角形 。

（2）△的三边 ， ，假设c为最长边

①

，则该△为 三角形

②

，则该△为 三角形

（3）勾股定理逆定理的用途

典型题

（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6 B. 2，3，4

C. 11，12，13 D. 8，15，17

（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6

C、5∶12∶13 D、4∶6∶7

（3）下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

（4）若三角形的三边之比为

：： ，则

这个三角形一定是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形

（5） 已知a，b，c为△ABC三边，且满足（

）（

）

则它的形状为（ ）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 （6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A． 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 直角三角形 D. 等腰三角形

（7）若△ABC的三边长分别长a,b,c，且满足

, 试判断△ABC的形状。

（8）△ABC的两边分别为5, 12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。

（9）求：

①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角形的最大内角是 度。

②已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。

【知识点4】勾股数

（1）勾股数是正整数

（2）满足的关系条件

（3）勾股数的n倍（n≠0），仍然满足

（4）常见勾股数

三、勾股定理的应用

1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）

（1）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为??????? ．

（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

（3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

2、航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里

（2）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

（3）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km.

①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？

②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

3、网格问题

（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）如图2，正方形网格中的 △ABC， 若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

A.、直角三角形 B、锐角三角形

C、钝角三角形 D、以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是

( )

A． 25

B. 12.5

C. 9

D. 8.5

（4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3、

、

（在图甲中画一个即可）；

A②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

4、折叠问题

（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A.

254 B.

223

C.

74 D.

53

（2）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

（3）如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

（4）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F。

①试说明：AF=FC；

②如果AB=3，BC=4，求AF的长

（5）如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

（6）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，

求证：DE：DM：EM=3：4：5

勾股定理 参考答案

一、探索勾股定理

（1）C （2）D

（3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6或241

（4）根据非负数的性质，b=4和a26a90，解得a=3，根据勾股定理，斜边=5

（5）这类型题目（分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）S1=S2+S3，S3=9π

（6）25 （7）10， 12 （8）C，斜边AB=10

（9）4，根据全等三角形和勾股定理，S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=1+3=4

（10） （

）

，

结论：

（11）

结论：

（12）h=9+

（13）10 m

【基础检测】

1、B

2、A,解：

,解得：

3、（1）13， （2）8， （3）6, 8

4、72π

5、12,16解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5，三边分别为3x, 4x, 5x，5x=20

6、作如下辅助图：BD=CE=10，AB=8，

BC=2，AC=6

根据勾股定理：AD=6,

AE=8

DE=AE-AD=8-6=2 m

【培优突破】

（1）B

（2）3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理

（3）12 m

（4）C，如右图

（5）25或7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。

（6）25 ，AB一定是直角边，想想：BC是否一定是斜边呢？BC边上的高为12，不是15，所以BC一定是斜边

（7）12, 解：设DC=y，根据勾股定理有：

,即

解得：y=9

AC=12

（8）7, 解：作AE⊥BC与E，设BD=X 则AE=12

DE=16-x

DC=32-x

如图，根据勾股定理有：

即

（ ）

解得：x = 7

【培优训练】

1、A，三角形的面积计算

2、B

3、B,

4、A，

5、C

6、D，如右图，BC的长21或9

7、C 8、A 9、C 10、C

11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明

12、4 13、

14、连接AD， 则△BDE≌△ADF， 则△ADE≌△CDF，则AE=CF=5，AF=BE=12，∴EF=13

二、勾股定理的逆定理

典型题答案

（1）D （2）C （3） D （4）C

（5）C （6）C

（7）直角三角形

解：

（

） （

）

2 20 +100=0

（ ）

（ ）

所以：a=6, b=8, c=10

（8）直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有a+b+c=5+12+c=17+c，根据条件有：

是 的倍数

为奇数

＜ ＜ （三边关系） 解得：c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为Rt△

（9） ①90°，②30°

三、勾股定理的应用

1、与图形有关的计算

（1）

（2）

（3）5

（4）设：正方形的边长为a

方案一：S=3a

方案二：S=3a

方案三：S=

方案四：S=(1+

)a ,分析：

a ，

，

,

所以：方案四最节省电线

2、航海问题

（1）30 （2）CD=

，无暗礁风险

（3）①台风中心经过16h从B点移动到D点

②14h内撤离才可脱离危险

3、网格问题

（1）D（2）A （3）B （4）如图：不唯一

4、折叠问题

（1）C （2）8

（3）DE=X,则在直角△EFC中：FG=1，EF=X, EC=5-X，

有：

解得：x=

, S△AED=16.9

（4）①提示：角平分线+平行线，构造等腰模型

②设AF=X，则

,解得：x=25/8

（5）30

（6）证明提示： 设：DM=X, DE=y，则：正方形边长为2x，AE=2x—y，满足：

,解得：3x=4y.， 则可设：y=3k，x=4x，则正方形变成为8k，则AE=5k，所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,

即：DE:DM:EM=3:4:5

2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03）

理想文化教育培训中心

学生姓名：__________ 得分：_______

一、知识点梳理：

1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2。

（1）变式：ca2b;a2c2b;b2c2a

2（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．

2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果abc，那么△ABC是直角三角形.

勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.

二、典型例题：

例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。

（2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

（3）蚂蚁沿图3中的折线从A点爬到D点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米）

A

B

2223m“路”4mC

D

图(1) 图(2) 图(3)

课堂练习1：

（1）要登上12 m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m，则梯子的长度至少为（ ）

A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m

（2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）

A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．5，12，13 D．20，30，40

（3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ）

①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5

③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13

1

DCBAE A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (第4题图) （4）如图，ABBCCDDE1，且BCAB，CDAC，DEAD，则线段AE的长为（ ）A．35 B．2 C． D．3

22例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，求CD、BD的长。

例3、如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

三、强化训练：

1、如图1，一根旗杆在离地面5米处断裂旗杆顶部落在旗杆底部12米处，

原旗杆的长为 。

2、已知Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高CD= 。

5m

12m

图1

B

C

A

D

.

3、有两棵数，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 米。

4、在⊿ABC中，若其三条边的长度分别为9，12，15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 。

5、在⊿ABC中， a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是：（ ）

2 A、∠A：∠B：∠C=3：4：5 B、a：b：c=1：2：3

C、∠A=2∠B=3∠C D、a：b：c=3：4：5

6、已知一个圆桶的底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长木棒为 （ ）

A、20cm B、50cm C、40cm D、45cm

7、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝下挖，每分钟挖6cm，10分钟后两小鼹鼠相距（ ）

A、50cm B、100cm C、140cm D、80cm

8、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a6)2b8c100，则三角形的形状是（ ）

A、底与边不相等的等腰三角形； B、等边三角形； C、钝角三角形；D、直角三角形

9、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）

A、8m B、10m C、 12m D、14m

10、如图2，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的

最短路程（ ∏ = 3）是（ ）

A、20cm B、10cm C、14cm D、无法确定

11、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）

A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里

12、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接A

图2

B

CD，若BD=1，则AC的长是（ ）

A.23

B.2

C.43

D.4

13、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

B

6km

A

8km C

3 14、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•

15、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．

BFECAD

16、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B。已知AB=25km，CA=15km，DB=10km。试问：图书室E应建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

C

D

A

E

B

4

益友家教勾股定理练习二

1．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°。

2．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。

3．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。 B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

4．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）

A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4

5．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=26，c=1。

6．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

7．填空题。

⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是 。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形。

8．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵111,,； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m＋n）2－1，2（m＋345n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个

9．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=23，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

10．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

11．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。

CD北AC

DC

B

A东BADABCE

AD

第12题

第13题

第15题

第17题

第18题

第20题 第21题

ANCBCEBABD12．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？

13．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ AB14．甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？

15．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口城市A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里。

16．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。

17．如图，一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

18．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

19．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

20．已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。

21．已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。求证：△ABC是直角三角形。

CDDCABP

E

ECFBB

AAFCABCDA

EBDC第24题 第27题 第31题 第32题 第33题 第35题 第36题

22．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）

A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。

23．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。

24．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=313，CD=，AD=3，且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积。

4425．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

26．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形。

27．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。

28．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。

29．已知x,y为正数，且x4y30，如果以x,y的长为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的为边长的正方形的面积为 。

30．若三角形三个内角的度数比为1：2：3，则此三角形三个内角对边的比为

31．如图，一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一走私车路经2号公路AC，但由于车上有爆炸装置，警员无法靠近，只能利用远程射击的方法，为了减少周围人员的伤亡，警方选中一距离公路120m的隐蔽处P，已知警方远程射击的射程为200m。此时，走私车与警方隐蔽处的水平距离AC为300m，且PB=200m,那么警方可在走私车再前进多少米后对其进行射击？

32．如图，直角三角形场地，AC=120米，AB=150米，甲、乙两人同时从A点出发，甲沿斜边AB以9.5米/秒的速度行进，乙沿直角边AC以8.5米/秒的速度行进。（1）经过多长时间甲乙两人第一次相遇？（2）第一次相遇距A外多远？

33．如图，有一根长为70cm的木棒，要放在一个长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的长方体箱子里，能放进去吗？

34．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，以5千米/时的速度出发，上午10：00时甲、乙相距13千米，试判断乙所行走的方向，并说明理由。

35．如图，沿AE折叠长方形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处。已知AB=8，BC=10，则36．如图，正方形ABCD中，E是BC上的中点，点F在AB上，且BF=22EC=

FCA1AB，求证：EF⊥DE。

4B37．如图，每个小正方形的边长为1。（1）求四边形ABCD的周长与面积；（2）∠BCD是直角吗？

DC38．写出：“全等三角形的对应角相等；”的逆命题。

39．写出：“到角的两边距离相等的点在角的平分线上；”的逆命题，并说明成立吗？

40．写出：“如果两个角是平角，那么它们相等；”的逆命题，并说明成立吗？

41．P61 3，6，11，14 P62 16 P63 1，5 P64 8，11 P65 3，4，9，10，12，16，18，20。