2021(四篇)

2021年高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题同步练习 北师大版必修5

一、选择题

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )

A．103海里

C．52海里

[答案] D

[解析] 如图，由正弦定理得

10＝，

sin60°sin45°∴BC＝56.

2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )

A．12m

C．33m

[答案] D

[解析] 在△ABC中，已知可得

B．8m

D．43m

B．106海里

D．56海里

BCBC＝AC＝4，∠C＝180°－30°×2＝120°

所以由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°

实用文档 122＝4＋4－2×4×4×－＝48

2∴AB＝43(m)．

3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为( )

A．(30＋303)m

C．(15＋303)m

[答案] A

B．(30＋153)m

D．(15＋153)m

[解析] (1)由正弦定理可得sin160×230PB＝＝.

sin15°sin15°60PB＝，

45°－30°sin30°h＝PB·sin45°＝30·sin45°＝(30＋303)(m)．

sin15°4．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )

A.7km

C.19km

[答案] B

1515＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由6060B.13km

D.10－33km

[解析] 由题意知AM＝8×实用文档 1222余弦定理得MN＝MB＋BN－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝213km.

5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

A．a(km)

C.2a(km)

[答案] B

B.3a(km)

D．2a(km)

[解析] 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°.

1∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，

2∴AB＝3a(km)．

6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

400米

32003米

34003米

3200米

3A.B.C.D.实用文档 [答案] A

[解析] 解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，2003，AM＝3∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，∴BC＝200tan30°＝DMtan30°＝BCtan30°＝200.

3400∴CD＝AB－AM＝.

3解法二：如图AB为山高，CD为塔高．

在△ABC中，AC＝＝sin60°AB4003，

3在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝120°.

由正弦定理＝.

sin∠CADsin∠ADC40031×32400∴CD＝＝(米)．

332二、填空题

7．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)

[答案] 4.2

[解析] 作出示意图如图．由题意知，

CDAC实用文档 AB＝24×＝6，

6BS＝，

sin45°sin30°1560∠ASB＝45°，由正弦定理得，16×2可得BS＝＝32≈4.2(km)．

228．(xx·泰安市高三期中考试)如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为________．

[答案] 502m

[解析] 因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，

根据正弦定理可知：＝，

sin∠ABCsin∠ACB50AB＝，

sin30°sin45°ACAB即解得AB＝502m.

三、解答题

实用文档 9．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了107海里，求B船的速度．

[解析] 如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝107，∠ABC＝120°由余弦定理，得

AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos120°

即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20，

20＝15(海里/小时)．

43设B船速度为v，则有v＝即B船的速度为15海里/小时．

10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．

[解析] 由题意画出示意图(AA′表示小明的身高)．

∵AB＝200，∠CA′B′＝45°，∠CB′D′＝60°，

A′B′B′C∴在△A′B′C中，＝

sin∠A′CB′sin45°实用文档 2200×2A′B′sin45°∴B′C＝＝＝200(3＋1)．

sin15°6－24在Rt△CD′B′中，

CD′＝B′C·sin60°＝100(3＋3)，

∴CD＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)．

答：红灯笼高约475米.

一、选择题

1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )

A．20(2＋6)海里/时

C．20(6＋3)海里/时

[答案] B

[解析] 设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，

则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，

B．20(6－2)海里/时

D．20(6－3)海里/时

在△MNS中，由正弦定理得＝，

sin30°sin105°MNMS20sin30°∴MN＝＝sin105°sin10

60°＋45°实用文档 ＝1010＝＝10(6－2)．

sin60°cos30°＋cos60°sin30°6＋241∴货轮的速度为10(6－2)÷＝20(6－2)(海里/时)．

22．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )

A．5002m

C．10002m

[答案] D

B．200m

D．1000m

[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，

22在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°1 000×12＝＝1 0002，

∴BC＝AB·sin45°＝1 0002×2＝1 000(m)．

23．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )

实用文档 A．5n mlie

C．10n mlie

[答案] C

B．53n mlie

D．103n mlie

[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，

在Rt△ABC中，求得AB＝5，

5∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．

0.54．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )

A．1002米

C．2003米

[答案] D

[解析] 由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，

由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝B．400米

D．500米

实用文档 500(米)

二、填空题

5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．

[答案]

403

3[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，

∠DAC＝60°－30°＝30°.

∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，

∴AC＝AB＝40米，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，

在△ACD中，由正弦定理，得

sin∠ACDsin30°403·AC＝·40＝.

sin∠ADCsin120°3CD＝6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向实用文档 上，仰角为15°，则此山的高度CD等于________km.

[答案] 5(2－3)

[解析] 在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°，

所以BC＝AB＝5.

又CD＝BC·tan∠DBC＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．

三、解答题

7．在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．

[解析] 如下图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.则根据题意，知在△ABC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，知

CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°

＝(8t)＋(20－10t)－2×8t×(20－10t)×cos60°

22实用文档 7027022＝244t－560t＋400＝244(t－)＋400－244×()，

6161702∴当t＝时，CD取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．

618．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B处，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21.由余弦定理得

AC2＋BC2－AB223cosC＝＝，

2AC·BC31123则sinC＝，

31所以sin∠MAC＝sin(120°－C)

353＝sin120°cosC－cos120°sinC＝.

62在△MAC中，由正弦定理得MC＝AC·sin∠MAC31353＝×＝35，从而MB＝MC－BC＝sin∠AMC623215.

即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．

实用文档

第2课时 角度、面积问题

学习目标 1.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式． 知识点一 角度问题

测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解．

知识点二 用两边及其夹角表示的三角形面积公式

111一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半,即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

2221思考1 S△ABC＝absin C中，bsin C的几何意义是什么？

2答案 BC边上的高．

思考2 如何用AB，AD，角A表示▱ABCD的面积？

答案 S▱ABCD＝AB·AD·sin A.

1．仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．( √ )

2．在处理方向角时，两个正北方向线视为平行．( √ )

3．航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角．( √ )

4．△ABC的面积S＝1abc(其中R为△ABC外接圆半径)．( √ )

4R

题型一 角度问题

例1 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，

则CD＝103t，BD＝10t， 在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A

＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.

∴BC＝6.又∵BCAC＝，

sin Asin∠ABCAC·sin A2·sin 120°2∴sin∠ABC＝＝＝，

BC26又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，

∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理得BDCD＝，

sin∠BCDsin∠CBDBD·sin∠CBD10t·sin 120°1∴sin∠BCD＝＝＝.

CD2103t又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，

∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.

∴t＝6 小时≈15分钟．

10∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

反思感悟 解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度、时间等条件转化为三角形的角、边，化为解三角形问题．

跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

解 如图所示．设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中，

BC＝at海里，

AC＝3at海里，

B＝90°＋30°＝120°，

由BCsin∠CAB＝ACsin B，得

3sin∠CAB＝BCsin BAC＝at×sin 120°3at＝23＝12，

∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，

∴∠DAC＝60°－30°＝30°，

∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．

题型二 用两边夹角表示三角形面积

命题角度1 求三角形面积

例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(A．9 B．18 C．93 D．183

答案 C

解析 由正弦定理得ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝6×sin 120°sin 30°＝63.

又∵C＝180°－120°－30°＝30°，

∴S111△ABC＝2AC·BC·sin C＝2×63×6×2＝93.

反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式

) 1(1)×底×高．

2(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半．

选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求．

π→→跟踪训练2 在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为 ．

61答案

6→→→→解析 ∵AB·AC＝|AB||AC|cos A＝tan A，

→→sin A∴|AB||AC|＝2，

cosA1→→∴S△ABC＝|AB||AC|sin A

21sin2A12＝＝tanA

2cos2A21＝.

6命题角度2 涉及三角形面积的条件转化

例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .

1答案

4解析 由sin B＝2sin A及正弦定理，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，

1得acsin B＝a2sin B，即c＝2a，

2a2＋c2－b2a21∴cos B＝＝2＝.

2ac4a4反思感悟 表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角．

1跟踪训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝(a2＋b2－c2)，则4角C为( )

A．135° B．45° C．60° D．120°

答案 B

11解析 ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C．由42余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得sin C＝cos C.

又C∈(0°，180°)，∴C＝45°. 三角形中的建模问题

典例 如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5 千米，AC＝3千米，BC＝4 千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路线是AB，速度为5千米/时，乙的路线是ACB，速度为8千米/时．乙到达B地后原地等待．设t＝t1时乙到达C地．

(1)求t1与f(t1)的值；

(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3.说明理由．

AC3解 (1)由题意可得t1＝＝，

v乙8315设此时甲运动到点M，则AM＝v甲t1＝5×＝，

88∴f(t1)＝MC＝AC2＋AM2－2AC·AM·cos A ＝15215334132＋－2×3××＝.

88587(2)当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

8∴QB＝AC＋CB－8t＝7－8t，PB＝AB－AP＝5－5t，

∴f(t)＝PQ＝QB2＋PB2－2QB·PB·cos B

＝47－8t2＋5－5t2－27－8t5－5t×

5＝25t2－42t＋18，

7当

8∴f(t)＝PB＝AB－AP＝5－5t，

25t－42t＋18，8≤t≤8，∴f(t)＝75－5t，

3341∴当≤t≤1时，f(t)∈0，，

88故f(t)的最大值没有超过3.

[素养评析] 本题是关于对讲机有效通话距离的实际问题．其解决完整经历了数学建模的全过程：在实际情境中提出问题(警员能否在行动过程中保持通话)，分析问题．建立模型725t－42t＋18，3≤t≤，88ft＝75－5t，8

，计算求解．最终解决实际问题．

 1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )

A．3 B．33 C．6 D．63

答案 B

11解析 S△ABC＝absin C＝×4×3×sin 60°＝33.

222.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )

A.32 B. C.3－1 D.2－1

22答案 C ABAC解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，

sin 30°sin 135°∴AC＝1002.

ACCD在△ADC中，＝，

sinθ＋90°sin 15°AC·sin 15°∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝3－1.

CD13．已知三角形的面积为，其外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为( )

41A．1 B．2 C. D．4

2答案 A

1abcabc1解析 设三角形外接圆的半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，∵S△＝absin C＝＝＝，24R44∴abc＝1.

4．某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.

答案 153

解析 设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，

由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，则∠OBA＝30°，

所以由正弦定理，得AB＝153，

即此时船与灯塔的距离是153 km.

1．各种测量问题本质上是把不能或不易直接测量的量转化为用能直接测量的量表示．而在三角形测量中易获得的数据方向角等多以铅垂线、正南正北为始边，需要准确地转化为三角形的元素． 1112．(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公222式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

一、选择题

1．如图已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

A．北偏东10°

C．南偏东10°

答案 B

解析 如题图，因为△ABC为等腰三角形，

1所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，

2B．北偏西10°

D．南偏西10° 60°－50°＝10°.

所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.

2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )

A．α>β

C．α＋β＝90°

答案 B

3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最B．α＝β

D．α＋β＝180°

长，则竹竿与地面所成的角是( )

A．15° B．30° C．45° D．60°

答案 B

解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.

由正弦定理，得2sin 60°＝xsin120°－α，

∴x＝433sin(120°－α)．

∵30°<120°－α<120°，

∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．

即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．

4．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则△ABC的面积是(

A．33 B.332 C．3 D.32

答案 A

解析 ∵cos A＝AB2＋AC2－BC29＋16－132AB·AC＝2×3×4＝12，

)

∴sin A＝3，

2113S△ABC＝bcsin A＝×4×3×＝33.

222π5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC3的面积是( )

9333A.3 B. C. D．33

22答案 C

解析 由题意得c2＝a2＋b2－2ab＋6，

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab，

∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6.

133∴S△ABC＝absin C＝.

22a2＋b2－c26．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，4则C等于( )

ππππA. B. C. D.

2346答案 C

a2＋b2－c22abcos C1解析 ∵S＝absin C＝＝

2441＝abcos C，

2∴sin C＝cos C，即tan C＝1.

π又∵C∈(0，π)，∴C＝.

47.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( ) A．30° B．45° C．60° D．75°

答案 B

解析 依题意可得AD＝2010，AC＝305，

又CD＝50，所以在△ACD中，

AC2＋AD2－CD2由余弦定理得cos∠CAD＝

2AC·AD3052＋20102－5026 0002＝＝＝，

2×305×20106 00022又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

18．若钝角△ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC等于( )

2A．5 B.5 C．2 D．1

答案 B

1解析 ∵钝角△ABC的面积是，

2AB＝c＝1，BC＝a＝2，

112∴S＝acsin B＝，即sin B＝.

222当B为钝角时，cos B＝－1－sin2B＝－2.

2利用余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，即AC＝5；

当B为锐角时，cos B＝1－sin2B＝2，

2利用余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，即AC＝1， 此时AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．

故AC＝5.

二、填空题

9．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积为 ．

答案 23

解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a21π1cos A＝＝，所以A＝，三角形面积S＝bcsin A2bc23213＝×8×＝23.

2210．已知三角形ABC的三边分别为a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝ .

答案

15

17解析 S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccos A＋2bc，

11∵S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A.

22即4－4cos A＝sin A.

平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.

即(17cos A－15)(cos A－1)＝0.

15得cos A＝1(舍)或cos A＝.

1711.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 ．

答案

21

14解析 如题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，

由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，

所以BC＝207，

由正弦定理得

AB21sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，

BC7由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，

27故cos∠ACB＝.

7故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝三、解答题

12．甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？

解 如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇．

21.

14

在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，

∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，

1－， 即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×239128t2－60t－27＝0，∴t＝或t＝－(舍去)，

432∴甲船用34小时能最快追上乙船．

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.

(1)求tan C的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

解 (1)由b2－a2＝1112c2及正弦定理得sin2B－2＝2sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.

由A＝π4，得B＋C＝34π，

则－cos 2B＝－cos32π－2C＝sin 2C

＝2sin Ccos C，

所以sin2C＝2sin Ccos C，又sin C≠0，解得tan C＝2.

(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝2555，cos C＝5.

因为sin B＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，

所以sin B＝31010.

由正弦定理得c＝bsin Csin B＝223b，

又因为A＝π4，12bcsin A＝3，所以bc＝62，故b＝3.

14．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于() A.3 B．53 C．63 D．73

答案 B

解析 连接BD，四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分面积的和，

由余弦定理，得BD＝23，

1S△BCD＝BC×CDsin 120°＝3，

2∠ABD＝120°－30°＝90°，

1∴S△ABD＝AB×BD＝43.

2∴S四边形ABCD＝3＋43＝53.

15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3 千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？

解 如图所示，考点为A，检查开始处为B，

设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，

即公路上C，D两点到考点的距离为1千米．

在△ABC中，AB＝3千米，

AC＝1千米，∠ABC＝30°，

由正弦定理，得sin∠ACB＝sin 30°3×AB＝，

AC2∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，

∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 千米．

在△ACD中，AC＝AD＝1千米，∠ACD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1千米．

∵BC×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．

12∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．

2005年全国各地中考分类解析——解直角三角形

一、选择题:

1．（泰山）一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）

间的关系为s =10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为

A．72 m B．363 m C．36 m D．183 m

2、（大连）

3．(湖北黄石)小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )

A．9米 B．28米 C．73米 D.1423米

4河南）如图，tanA等于 ( )

B

1 A． B．2

1

2 C．5 D．5

5２２０C 2

AA

5．（兰州）如果ｓｉｎα＋ｓｉｎ３０＝１那么锐角α的度数是（ ）

００００ Ａ．１５ Ｂ．３０ Ｃ．４５ Ｄ．６０

6. (厦门) 如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，

则sin∠B＝

3434 A. B. C. D.

5543BC图 1

7．（黑龙江）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为 ( )

(A)60米 (B)40米 (C)30米 (D)25米

二、填空题：

1、（嘉兴）图7是引拉线固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CD33m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是___________m.

2、（四川内江）如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进Sｍ到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为 米。

3．（沈阳）在△ABC中，AB2，AC2，B30º，则 ∠BAC 的度数是 .

4. （四川资阳）如图4，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到

△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.

(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=62，4cos15°=624)

5．（惠安）同一时刻，一竿的高为米，影长为1米，某塔影长为20米，则塔的高为 米．

１４．（兰州）锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝3则∠Ａ＝＿＿＿＿

6、（梅州市）求值：sin230°+cos230°= 。

三、解答下列各题

1．（泰山）ED前有一棵大树AB（如图1）．

（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BCDFAB的高度．（3分）

（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB高度的方案，要求：

①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）

②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．（3分）

E

光线

A

A

1

图2

B

C

D

F

B

解：连结AC、EF

（1）∵太阳光线是平行线∴AC∥EF∴∠ACB=∠EFD

∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC∽△EDF……………………………1分

∴ABBCABEDDF ∴2.412.67.2 ∴……………………2分

………………………………………3分

（2）（方法一）

A

G

如图MG=BN=m

α M

…………………………6分

B

m

h

N

AG=m tanα ∴AB=（m tanα＋h）米 ………………………9分

（方法二）

A

G

α

…………………………6分

B

M

β

E

m

h

∴ AG =m

N

F

∴AB=mcotcotcotcot＋h …………………9分

或AB=mtantanA

tantan＋h

（不加测角仪的高扣2分，其他测量方法，只要正确均可得分）

2．（嘉兴）如图，河对岸有一铁塔C

D

B

（第21题）

图 AB。在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。 ……2分

在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=3AB。 ……2分

设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=3x ……2分

x1683131。即铁塔AB的高为831米。

另解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=ABcot30° ……2分

在 Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=ABcot45° ……2分

∵CD=BC-BD=16，∴ ABcot30°- ABcot45°=16 ……2分

∴AB1616800cot30cot453131

即铁塔AB的高为

831米 ……2分

3. （锦州）

评价要求：此题解法不惟一，只要合理，即可赋分.

解：1小时45分= 在Rt△ABD中，小时.

(海里)，

∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ……2分

∵cos24°15′= ∴ 在Rt△ACE中，sin24°15′=，

(海里). ……4分

，

4．（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角ABC＝65º。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。

（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）

（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）

解：

5．（沈阳）如图8所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：

方案一：EDAB； 方案二：ECBA. 经测量得AB43千米，BC10千米，CE6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°.

已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.

⑴求出河宽AD（结果保留根号）；

⑵求出公路CD的长；

⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.

6．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题．

C 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD

村庄B⊥BC于D(如图)，则sinB=AD，sinC=AD，即AD=csinB，AD=bsinC，cbEbc．

sinBsinCcaab同理有，．

sinCsinAsinAsinBabc 所以………(*)

sinAsinBsinC于是csinB=bsinC，即村庄A图8D 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以

求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：

第一步：由条件a、b、∠A

第二步：由条件 ∠A、∠B． 第三步：由条件．

∠B；

∠C；

c．

(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．

ab, ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，

sinAsinBcabc 或

sinCsinAsinBsinC解：(1)

(2)依题意，可求得∠ABC=65°，

∠A=40°. (5分)

BC=14．2．(6分)

AB≈21．3．

答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)

7．(湖北黄石)初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60º方向，C点在B点北偏东45º方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长。

21.414 (31.732，8. （江苏宿迁）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．

（1）求出树高AB；

（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．

（计算结果23

解：（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°

∵tanC＝AB

AC………2分

∴AB＝AC·tanC ………3分

＝9×3 ………4分

3BD太阳光线 （米） ………5分

（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，30°EACDE⊥AD交AC于E点，（如图） ………7分

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，

∴AE＝2AD ………9分

＝＝（米） ………10分

答：树高AB约为米，树影有最长值，最长值约为米．……11分

9、（南通）如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向,求河的宽度（结果保留根号）.

略解：河宽为603米.

北

10、（河南课改）如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测东

量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的（第22题）

距离是多少？（结果精确到1米。参考数据：sin32°°

解：过点C做CD⊥AB，垂足为D，

∵B点在A点的正东方向上，∴∠ACD＝45°，∠DCB＝32°，

在Rt△BCD中，BC＝100，

∴DBBCsin321000.529952.99（米） ，

CDBCcos321000.848084.80（米）在Rt△ACD中，AD＝CD，

∴ABADCD84.8052.99137.79138（米）。

11．（惠安）如图，在离旗杆40米的A处，用测角仪器测得旗杆顶的仰角为3015，已知测角仪器高AD=1.54

sin30150.5038,cos30150.8638,

解：

12.

（兰州）tanCDECE如图９某海关缉私艇巡逻到达Ａ处时接到情CD报，在Ａ处北偏西６００方向的Ｂ处发现一艘可疑船只正以CECDtanCDE２４海里／时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西４５０的方向快速前进，经过１小时的航行，恰好在Ｃ处截住可疑船只，求该艇的速度（结果保留整数 ，6≈２．４４９，3≈１．７３２2≈１．４１４）

A

60°

D

F

图7

10m

B

9m

E

45°

C

解：如图所示，在ＲｔＡＤＣ中，∠ＤＡＣ＝４５０∴设ＡＤ＝ＤＣ＝ｘ（海里），

则ＡＣ＝ｘ 海里，在ＲｔＡＤＢ中，∠ＡＤＢ＝９００∠ＤＡＢ＝６００

∴∠Ｂ＝３００ ∴ＢＤ＝ＡＤ即２４＋ｘ＝ｘ∴ｘ＝１２＋１

∴ＡＣ＝·１２＋１＝１２＋ ≈４６（海里） ∴Ｖ＝＝４６（海里／时）

答：该艇的速度约为４６海里／时

13．（四川泸洲）随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图7所示，根据图中数据计算坝底CD的宽度（结果保留根号）．

解：在Rt△ADF中，∠D＝60°，cosD ∴DF＝AF·cotD

＝9×cot60°

333……………………………………………………3分

3又在Rt△BEC中

∵∠C＝45°， ∴△BEC为等腰三角形

∴EC＝BE＝9……………………………………………………………6分

在矩形AFEB中，FE＝AB＝10………………………………………7分

DF……………………1分

AF＝9×∴DC＝DF＋FE＋EC

＝33109

＝1933(m)

答：坝底DC的宽为1933m………………………………………8分

14．（浙江台州） 如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则 BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）

tg40解：在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5≈……4分

 在R t△………………5分

∴ DE=BE2DB2 …………………6分

=38.4425=63.44

≈………………………9分

m）

,m.………10分

15．（湖北十堰）

1.6h（1）h2.4……………………2分

11.5……………………3分

16、(梅列区)某中学政教处在九年级进入学业考试总复习前，将一幅激励同学拼搏的标语悬挂在教学楼前。有位学生在与这幢教学楼相距20米的办公楼P处测得标语顶端A点的仰角为15°，底部B的俯角为10°

第34课时：解直角三角形

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余；(2)边的关系:勾股定理；(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：

a b c

10

∠A

30°

∠B

45°

25

215

6

2、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB3，AC=23，则AB= .

2 变式：若已知AB，如何求AC？

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约 m.

0.9,cos650.4,tan652.1）

4、如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1：3，顶宽为3米，路基高为4米，

则坡角= °，腰AD= ,路基的下底CD= ．

5、如图所示，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 m.

C

AB

【解题指导】

A例1 如图所示，在Rt△

ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.

（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的长.

C

例2 如图34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

（2）若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米？

（结果保留整数，参考数据：图 34-1（精确到1m，sin65北B100m西200mA东南C图 34-2DE图 34-3BD32°A居民楼新楼B图 34-4C531065sin32,cos32,tan32）

1001258 1

例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比i1:3，求树高AB.（结果保留整数，参考数据31.7）

B

D

AC

图 34-6

例4 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

E

AB

FDC

图 34-5【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1:3，则坡角是_______度．

2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为 ．

3、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 ．

4、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示,AOC45°

，OC2,则点B的坐标为 ．5、如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 .

y

5米

C

B

B

A

α

O

x

A

图3

图1 图2

6、如图,一巡逻艇航行至海面B处时,得知其正北方向上C处一渔船发生故障.已知港口A处在B处的北偏西37方向上,距B处20海里;C处在A处的北偏东65方向上,求B,C之间的距离(结果精确到0.1海里)

sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin650.91，cos650.42，tan652.14.

北

北

65°

A

37°

C

2

B

【课后作业】 班级 姓名

一、必做题：

1、如图4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为2为__________.

5米,则这个坡面的坡度3、已知如图5,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=10,则AB的长为__ ___.

4、如图6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△ABC，使点B与C重合，连结AB，则tanABC的值为 .

A A′

C

AB

B C(B′) C′

图7

图4 图5 图6

5、如图7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏B

东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（ ）

1310353km (B)

km (C)

52km (D)

53km

33A

6、如图8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得BAD30°，在C测得BCD60°，AC50米，则岛B到公路l的距离为（ ）米．

1003(A)25 (B)253

(C) (D)25253

3(A)

7、如图9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达C

图8

D

l

B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）．

(A)30海里 (B)40海里 (C)50海里 (D)60海里

8、如图10，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（ ）

(A) (B)图9

35443 (C) (D)

534图10

9、如图11，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

lADC3

B图11

10、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD

= 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE

12C

= .(1)求半径OD；(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经13A

过多长时间才能将水排干？

11、如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：

12、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

二、选做题：

13、如图,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行o到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60方向移动,距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.⑴

B处是否会受到台风的影响？请说明理由.⑵ 为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物？

14、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

ADE

D

B

O

P

F

45º

B

E

30º

31.732，21.414）

A

BECP4 （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

13 5