第一单元《勾股定理》教案 (四篇)

揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容 教学札记

第一章《勾股定理》单元备课

教材分析：

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．

单元目标：

知识与能力目标：

对直角三角形的特殊性质全面进行总结。让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用，了解勾股定理的历史。

过程与方法目标：

体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。在回顾与思考的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生要善于思考、善于创新。

情感态度价值观目标：

在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。

单元重点：

1、回顾并思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。

2、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。

单元难点：

1、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。

2、建立本章的知识框架图。

教学中应注意的问题：

1、注意使学生经历探索勾股定理等活动过程；

2、注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用；

3.介绍有关勾股定理的历史，体现勾股定理的文化价值；

4、注意数形结合，化归等数学思想方法的渗透

课时安排：

1、 探索勾股定理 „„ 2课时

2、 一定是直角三角形吗„„ 2课时

3、 勾股定理的应用 „„ 1课时

4、 回顾与思考 „„ 1课时

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 1 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1 .1探索勾股定理（一）

教学内容：P2-4

教学目标：1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理。

2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象。

教学重点：探索和验证勾股定理。

教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。

教学用具准备：几何模型 图片

教学方法：交流—探索—猜想．

教学过程：

一 、情境引入

如图1-1，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面地固定点距离电线杆底部6米，那么需要多长的钢索？

在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系。事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧！（板书课题）

二、探索新知：

探究一：

同桌两人在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。

结果猜想：直角三角形三边：两直角边的平方和等于斜边的平方和。

a2

b2

可能的关系

教学札记

2、观察图形1-2、1-3，回答下列问题：

⑴直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面猜想的数量关系吗？

⑵你是如何计算的？与同伴进行交流。（教师应鼓励学生运用自己的语言进行表达和交流）

⑶如果直角三角形的两直角边分别为4和7.5个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 2 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容 教学札记

归纳总结：

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2．

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）

勾弦股

三、勾股定理的简单应用

想一想：

1、在图1-1的问题中，需要多长的钢索？

2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）

四、随堂练习,巩固质疑：课本第三页，随堂练习1、2。

五、课堂小结：

1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．

六、布置作业：1．教科书习题1.1.

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 3 页 共 17 页

揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1.2探索勾股定理（2）

教学内容：P4-8

教学目标：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.

教学重点：用面积法验证勾股定理。

教学难点：应用勾股定理解决简单的实际问题。

教学用具准备：几何模型 图片

教学方法：交流—探索—猜想．

教学过程：

一、 复习设疑，激趣引入

提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）

（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

二、探索新知

探究一：下面以同桌两人为一学习组，请按下面要求进行探索：

（1） 请在下面小组合作动手制作四个全等的，两直角边不相等的四个直角三角形；

（2） 利用制作的四个直角三角形，小组合作，请拼出以斜边为边长的正方形；（学生独立探索三分钟，再让两位学生利用教师提前准备的四个直角三角形进行黑板的演示）

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

教学札记

图1

图2

思考：（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；

（2）图1，中正方形的面积分别是多少？你们有哪些表示方法？

（3）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2.并得到勾股定理）

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 4 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

探究（二）：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再请一个小组同学上台讲解验证方法二）

三、例题讲解，学以致用：

例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400米侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？（教师分析思路，板书过程。）

练习：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

四、拓展延伸

1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2

引导：在三角形中，不改变两边a，b的长度时，改变了直角，使得变成了上图中的锐角三角形和钝角三角教学札记

_

a_

c_

b_

c_

a_

b形，那么这时候，边c的大小有改变吗？通过数格子，这三边还满足a2+b2=c2？

总结：（1）锐角三角形三边关系：a2+b2>c2

（2）钝角三角形三边关系：a2+b2

五、随堂练习：教材第6页练习

六、课堂小结：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.

七、作业布置：

1．习题1．2 1，2，

2．«导学»

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 5 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1．3一定是直角三角形吗

教学内容：P9-12

教学目标：1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；

3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；

教学重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。

教学难点：理解勾股定理逆定理的具体内容以及应用定理解决实际问题。

教学方法：实验—猜想—归纳—论证

教学过程：

一、情境引入：

问题：1．一个三角形具有怎样的特征就是直角三角形？

2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？

今天这节课我们一起通过探索三角形三边关系是否能作为我们判断直角三角形的条件。（板书课题）

二、探索新知：

探究活动：

做一做：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；④3，4，5；并回答这样两个问题：

222 1．这三组数都满足abc吗？

教学札记

2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小

组，每个小组可以任选其中的一组数。

3、通过探究，你能总结出什么规律吗？

从上面的分组实验很容易得出如下结论：

222如果一个三角形的三边长a,b,c，满足abc，那么这个三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理）

注意：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性。

引出相关概念：

222 满足abc的三个正整数，称为勾股数。如：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17等。

三、例题讲解，学以致用：例：一个零件的形状如图1-9所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-10所示，这个零件符合要求吗？

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 6 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容 教学札记

针对练习：

1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。

①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22

解答：①②

2．如图1，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。

解答：4个直角三角形，它们分别是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF

3．如图2，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？

A

E

D

F

①

④

②

③

⑥

⑤

图1 图2

解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形

4．一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？

解答：由题意画出相应的图形

AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中

B

C

C

北

B

A

AC2AB225022402 =(250+240)(250-240)

=4900=70=BC即22AB2BC2AC2∴△ABC是Rt△

答:船转弯后,是沿正西方向航行的。

四、小结：这节课我们学习了什么？

五、作业布置：（1）课本习题1．3第1，2，4题。

（2）《导学》

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 7 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1.4勾股定理的应用

教学内容：P13-15

教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．

教学重点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题

教学难点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题

教学用具准备：教材、小黑板。

教学方法：引导—探究—归纳

教学过程：

一、情境引入

情景1，提问：从泽全同学到梓洋同学怎样走最近？（两位同学成对角关系尽可能远点）

回顾：两点之间线段最短。

情景2：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

二、探索新知：

探究一：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案。

学生汇总了四种方案：

教学札记

A’

A’

A’

（1） （2） （3） （4）

学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA\'d，

AA\'d2 情形（2）中A→B的路线长为：

情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可。

如图：

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 8 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

（1）中A→B的路线长为：（2）中A→B的路线长为：教学札记

AA\'d．

AA\'A\'B>AB．

（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．

（4）中A→B的路线长为：AB．

师生归纳：两点之间，线段最短。

解：在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得AB2AA2A\'B2，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，222AB12(33),AB15． π取3，则探究二：

做做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

解答：（2）AD2AB23024022500

BD22500

AD2AB2BD2

∴AD和AB垂直．

三、例题讲解：

例：图1-14是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3米，CD=1米，试求滑梯AC的长。

解：设滑道AC的长度为x米，则AB的长度为xm, AE的长度为（x-1）米。

Rt△ACE中，∠AEC=90，有勾股定理得：0AE2CE2AC2,

即x1232x2,解得x5

故滑道AC的长度为5米。

四、巩固练习：

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 9 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1、教材第14页，随堂练习；

教学札记

北

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则:

AB=2×6=12（km）

AC=1×5=5（km）

在Rt△ABC中:

CAB东BC2AC2AB252122169132．

∴BC=13（km）．

即甲乙两人相距13 km．

20B2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

解答：AB232152202625252.

A五、拓展延伸：

1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？

B

B

B

A

C

A

解：如图，在Rt△ABC中:

∵500＞202 .

AB2AC2BC2102202=500．

∴不能在20 s内从A爬到B.

2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 10 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

AD=AB=（x+1）尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即 52+ x2=（x+1）2.

25+x2= x2+2x+1.

2x=24.

∴ x=12，x+1=13．

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．

六、小结：

交流总结：

1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．

2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

七、布置作业

1．课本习题1．4第1，2，3题．

2、《导学》

1.5 复习与回顾

教学内容：P16-19

教学目标：1、让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

2、在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

教学重点：回顾与思考勾股定理及逆定理的获得和验证，总结直角三角形边、角之间存在的关系；以及在其定理与逆定理的应用中，体会各种数学思想方法。

教学难点：利用勾股定理及逆定理的解决实际问题的应用中体会各种数学思想的方法。

教学方法：交流和反思——合作与探究

教学过程：

教学札记

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 11 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

一、 情境引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．

二、知识点复习

本章知识要点及结构：

（第1—6题以抢答形式，由学生独立思考完成，小组代表抢答）

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用斜边，那么__________c．

2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为2教学札记

a,b和c分别表示直角三角形的直角边和a,b,c，则c=_________，b=_________，c=_________．

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a,b,c三边满足___________，则△ABC为___________．

4．勾股数：①满足___________的三个___________，称为勾股数．

②勾股数接龙游戏：3，4，5； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， 。

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？

；2、有两个锐角互补； 7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．从角度分析：1、有一个角是直角：满足三边(a,b,c)关系：a2b2c2从边的关系分析例如：

①在△ABC中，BABC是直角三角形．

A11BC23，由三角形的内角和定理可知，A30，B2A60，75，C15，根据三角形的内角和定理，可得A90，根据定义可判断△②在△ABC中，C3A90，△ABC是直角三角形．

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 12 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

222222③△ABC的三条边分别为a7，b25，c24，而ac72462525b，根据勾股定理的教学札记

逆定理可知△ABC是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角B90．

④在△ABC三条边的比为a:b:c5:12:13，△ABC是直角三角形．

三、拓展与应用 勾股定理中的思想方法

类型之一、分类讨论思想

已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm，求第三边的长．

22343cm4cm解：当和是两条直角边时，则利用勾股定理求得第三条边即斜边是＝5；当3cm是直角边，4cm是斜边时，仍由勾股定理求得另一条直角边是类型之二 转化思想 台阶中的最值问题

42327㎝．

空间图形的距离最短问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求距离最短问题要把“立体图形”转化为“平面图形”，再利用“两点之间线段最短”，以及“勾股定理”等知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。

1、台阶中的最值问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

解：台阶展开成平面如图所示，连接AB

因为BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，

所以蚂蚁爬行的最短路线为１３㎝ 。

B

类型之三 方程思想

3、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺。突然，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，B

A

C

A

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 13 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

解：设水深为x尺，则荷花的长为（x+3）尺，由勾股定理得：

62+ x2= （x+3）2

解得：x=4.5,所以这个湖的水深为4.5尺．

类型之四 数形结合思想

应用勾股定理及其逆用解决有关航海问题的应用题，首先要能从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形的未知边或相关的量。

例如：甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C岛，乙船到达B岛。若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？

解：如图所示，在△ABC中，因为AC=2 × 30=60，

AB=2 × 40=80，BC=100，

所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，

所以△ABC是直角三角形，

且∠BAC=90°.

由于180°－35°－ 90°= 55°，

所以乙船航行的方向是南偏东55 °。

四：交流小结

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

五：布置作业

1．课本《复习题》．

章末习题：

习题（一）

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )

教学札记

35⌒

A

C

B

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 14 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15

2、一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为（ ）

A. 25; B. 7; C. 5; D. 25和7

3、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）

6080A、6厘米 B、8厘米 C、13厘米 D、13厘米

教学札记

4、如图，已知正方形B的面积为144，如果正方形C错误！未找到引用源。的面积为169，那么正方形A错误！未找到引用源。的面积为（ ）

A.313 B.144 C.169 D.25

5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D错误！未找到引用源。的面积之和为___________cm2.

A

C

B

第4题图

6.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.

7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c,已知a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为

8、如图，折叠长方形的一边AD错误！未找到引用源。，使点D错误！未找到引用源。落在BC边上的点F处，BC＝10错误！未找到引用源。 cm，AB＝8错误！未找到引用源。 cm错误！未找到引用源。，求：（1）FC错误！未找到引用源。的长；（2）EF错误！未找到引用源。的长.

习题（二）

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 15 页 共 17 页 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

1、下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（ ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

22a5b3c402、已知a,b,c是三角形的三边长，若,则该三角形是（ ）

教学札记

A．以a为斜边的直角三角形； B．以b为斜边的直角三角形；

C．以c为斜边的直角三角形； D. 不是直角三角形

3如果一个三角形的三边长a,b,c错误！未找到引用源。满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c错误！未找到引用源。，那么这个三角形一定是（ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为________.

5、如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识

(1)求△ABC的面积

(1)判断△ABC是什么形状? 并说明理由.

习题（三）

北

已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方

A

向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方

南

向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

第1题图

东

62、如图，一圆柱高8 cm，底面半径为π cm，一只蚂蚁从点A爬到点

B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）

A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm

3、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，

13年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定：

5m

第 16 页 共 17 页

3题 揭阳市岐山学校教师教学笔记

教 学 内 容

地毯的长度至少需要___________m．

4、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达

建筑物的高度是 米；

5、图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.

教学札记

（图1）

（图2）

年级：八年级 科目：数学 设计者： 审定： 第 17 页 共 17 页

一元二次方程的应用专项训练

1. 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少？

2. 用22厘米长的铁丝，折成一个面积为30平方厘米的长方形，求这个长方形的长和宽。又问：能否折成面积是32平方厘米的长方形呢？为什么？

3. 游行队伍有8行12列，后又增加69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？

4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?

5. 为一副长20CM 宽16CM的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的二分之一，镜框边的宽度应为多少？

6.一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？

7.用一个白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作25个盒身，或制作盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒。现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身和盒底正好配套？

8. 用含30%和75%的两种防腐药水，配置含药50%的防腐药水18kg，两种药水各需取多少？

9. 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间？

10.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？ 11. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 为什么？

12. 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

13. 某种药品两次降价，价格降低了36%，求平均每次降价的百分率。

14. 某厂经过两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番，求平均每年的增长率

15. 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知该商品每降价1元，其销售量就要减少10个，为赚8000元利润，售价应定为多少？这时进货应为多少个？

16. 一拖拉机厂，一月份生产出甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐月递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比为3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。

17. 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

18.用长为100cm的金属丝做一个矩形框.李明做的矩形框的面积为400平方厘米，而王宁做的矩形框的面积为600平方厘米，你知道这是为什么吗？

19. 甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.

20.某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元？

2221.在一块面积为888平方厘米的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理，不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？

22.甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？

23.某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品，2005年底，将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。道2006年底，两年共获得56万元，已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点，求2005和2006年的年获利率各是多少？

24.某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费。

（1）. A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）. 公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由。

25. 某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

26. 在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.

27.某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的30%。若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）。商品计划要赚400元，则需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？ 28.一张桌子的桌面长6米 宽为4米。长方形台布的面积是桌面面积的两倍 。若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）垂下的长度相同，求这块台布的长和宽 。

29. 某种植物的主干长出若干树木的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支共73，每个枝干长出多少小分支？

30.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做四件，乙比甲多用了2天时间，这样甲、乙两人各剩624件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用的时间相同。原来甲乙两人每天各做多少件？没人的全部生产任务是多少?

31. 每件商品的成本是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间的数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可以达到最佳值1600元。请你做营销策划员，m的值应为多少？

每件售价

每日销售

32. 某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费。

（1）. A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）. 公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由。

33. 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

130

70

150

50

165

35

基于地理常量的长度单位

长度单位是用来衡量距离的量度单位。基于地理常量的长度单位是指使用地球上的物理量度来表示距离的单位。以下是一些基于地理常量的长度单位：

1. 米（m）：米是国际单位制中长度单位的基本单位，它定义为光在真空中1/299792458秒内走过的距离。使用米作为长度单位能够方便地进行国际化的交流和计算。

2. 千米（km）：千米是指1000米的距离，通常用于表示较长的距离，比如两个城市之间的距离。

3. 英里（mile）：英里是一种英制长度单位，被广泛使用于英国、美国等国家。一英里等于1609.344米。

4. 海里（nautical mile）：海里是航海中使用的长度单位，它等于1852米，即一分钟的纬度差。

5. 天文单位（AU）：天文单位是用来表示天体之间距离的单位。它定义为地球和太阳之间的平均距离，约为1.496×10^11米。

以上是一些常见的基于地理常量的长度单位，它们被广泛应用于测量、导航、航海等领域。

小学奥数之行程问题练习

1、甲、乙两列火车分别从相距168千米的杭州、宁波两站同时相向开出，1.5小时相遇，甲列火车平均每小时行驶58千米，乙列火车平均每小时行驶多少千米？（用两种方法解答）

2、如图，A、B两地之间有一座600米长的桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时行10千米。那么，乙要和甲在桥上相遇，乙的速度最快是多少，最慢是多少？

3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行42千米。两车在距离中点12千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？

4、A、B两地相距240千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行72千米。甲车出发15分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行48千米。两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？

5、兄弟两人结伴出去秋游，每分钟走60米，出发20分钟时，哥哥返回家取照相机并停留5分钟，然后骑自行车以每分钟285米的速度追赶弟弟，哥哥追到弟弟时离家多少米？

6、甲、乙两人以60米/分的速度同时、同地、同向步行出发，走15分钟后，甲返回原地取东西，而乙继续前进，甲取东西用5分钟的时间，然后改骑自行车以360米/分的速度去追乙。多少分钟后，甲才能追上乙。

7、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲30分钟追上乙；如果两人相向而行，6分钟相遇。已知乙每分钟走50米，则A、B两地相距多少米？

1

8、猎犬发现在离它10米远的前方有只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？

9、一位划船运动员，顺水划船3千米用了6分钟，逆水划船9千米用了30分钟。如果在静水的情况下，他划船10千米要用多少分钟？

10、甲、乙两港间的水路长200千米，一艘货轮从甲港顺水而下开往乙港，4小时到达。若货轮的静水速度为45千米/时，那么货轮从乙港返回甲港需要多少小时？

11、一列火车通过一座长为1000米的大桥需65秒，如果用同样的速度通过一条长730米的隧道则要50秒，则这列火车的长度为多少米？

12、有两列火车，一列长102米，每秒行20米；另一列长83米，每秒行17米。两车在双轨线上相向而行，从两车相遇到车尾离开一共用了多少秒？

13、快车和慢车分别从甲乙两地相向而行，4小时相遇。相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地。慢车的速度是多少？

14、客车、货车两车同时从甲、乙两地出发，相向而行，客车每小时行60千米。相遇后，客车继续行驶3小时到达乙地，货车再行300千米到达甲地。货车每小时行多少千米？

2

15、甲车每小时行50千米，乙车每小时行75千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向而行。两车相遇后4.5小时，甲车到达B地。A、B两地相距多少千米？

16、甲、乙两站相距480千米，快车上午5时从甲站开往乙站，慢车同时从乙站开往甲站，两车在上午11时相遇，下午3时快车到达乙站后，慢车还要继续行驶多少小时才能到达甲站？

17、小明骑车从甲地到乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米/分，下坡速度是450米分，则甲、乙两地相距多少米？

18、甲、乙两地间的公路除了上坡路就是下坡路，没有平路。客车上坡的速度是20千米/时，下坡的速度是30千米/时。客车往返一次共用4小时，甲、乙两地相距多少千米？

19、一架飞机从A地飞到B地，再返回A地，去时每小时飞1500千米，返回时是每小时飞1200千米，来回共用6小时，那么A、B两地相距多少千米？

20、（1）“辽宁号”航空母舰以每小时200海里的速度由西向东航行，歼20战机从航空母舰上起飞以每小时800海里的速度向西执行任务。歼20战机最多可飞行3小时。它飞行多少小时后必须返航？

21、“辽宁号”航空母舰以每小时200海里的速度由西向东航行，歼20战机从航空母舰上起飞以每小时800海里的速度向东执行任务。歼20战机最多可飞行3小时。它飞行多少小时后必须返航？

3