2勾股定理2(经典题型) (三篇)

勾股定理应用综合题汇编

一・解答題（共29小題）

1. 如图所示，缜峑警方在基地B处获知有贩浚分子分别在P2）和行羞品交易后，缉飆立即出矣 已知甲 題沿北偏东60方向以毋小时40海里的速度前逬，乙艇沿南偏东30。方向以野小时30海里的速度前逬，半小时后甲 51 MS.乙到PS.则M S^PS之间的距篦是多少？

2. 小明家有一块三角形菜地，重得两边长分别为80耒，100米，第三边上的高为印米，诸你帮小明计算这块菜地 册面积.

3. 如图.一探险者在某海出探宝，登陆后，先往东走了 8千米，又往北走了 2千米，又向西走了 3千来，再又向 北走了

6千米，往东一拐，仅走了 1千米就找到了宝藏，试冋 他走的是遅近的路吗？如果是，谙求出这个路雄长, 如果不是:，诫在图上画出最近旳路线.并求出眾近的路线长.

丄B

6

3

8

4如图，在笔直的菜公路上有A、B两点相距50km. C^D为两村庄,DAJAB亍点A，CB-1AB于点B，已知DA・30km，

CB=20km.现在蔓在公路的AB段上建一个土特产品收购站E・使得C、D两村到收购站E的距离相等.则收购站 E应建在囱A点多远处？

5. 如图.一艘渔政船从小£ A处出发.向正北方向以每小时20海里的逮废行驶了 1.5小时到达B谢丸行任务.再 向正东方向以相同的速度行驶了 2小时到达C处继续执行任务，然后以相同的速度直播从Cid：i0a A处.

：1）分别求AB、BC的长》

：2）问返回时比出去时节省了多少时间？ 6. 如图.一块草坪的形状为四边形ABCD・亘中Q=90°・ AB=8m. BC=6m，CD=24m，AD=26m・求这块草坪的 面积.

7. 如图.斜坡AC总米./AD=30°・坡顶有一旗杆BC （旗杆与地而AD垂丙）•旗杆顶端B点与A点有一彩带

A3相连.AB=10米.试求旗杆BC的高慶？（结果保留根号）

&如图所示，在3米高的柱子顶端A处有一只老圏 它看到一条蛇从距柱脚9米B处向注脚的蛇涓C游来，老鹰 主眄卜下.如果它们的违度相等.间老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？（设老動直线飞行）

9・如图.为修铁路需凿通随道AC・测得厶=50°・zBXO°，AB=5km. BC=4km.若每天凿隧道0 3km・间几天才 能把随道凿通？

10・如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上飓 到树顶A处.択后利用拉在A处的滑绸AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑封地而B，再由B跑到C・已知两 號子所经过的路程裁是15m，求树高AB・

12.（2008＞义马市）如图.小胡用一块有一个锐角为30°册直角三角板测童树高，已知小朋离树的距离为3米DE 为1.68米，那么这探树大约有多高？（楕确到0.1米，“3汛732）13.（2005•双柏且）如图.有两櫟树.一櫟高10米.另一棵高4米.两树相距8米.一只小鸟从一鮒的树梢飞 鱼另一棵树的树梢，间小乌至少飞行多少米？

1＜已知某开发区有一块四边形的空地ABCD.如图所示二现计划在空地上冲植草皮，经测重如90°. AB«3m.

BA12m，CD-13m，DA-4m，若每平方米草庆需S 200元，间要多少投入°

15.英校把一块形状为直角三角形的陵迪开辟为生物园.如图所示.4CB=90°・ AC割米，BC=60米.若线段CD 是F小渠.且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，间D点在距A点多远处时.水渠的造价聂低？盪底

16.印度数学家什泗逻（1141年-1225年）旨提出过商花T可题”: 平平湖水洁可鉴，面上半尺生红莲\'

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 旌人观看忙向前，花篦康位二尺远： 能算诸君请解•题，湖水如何知深浅” 适用学过的敌学知识回答这个问题.

P.如图，小强在江南岸选定逹這物A.并在江北岸的B处观弱 此时，極绕与江岸BE所成的夫角是30°，小强 沼江岸BE向东走了 500m，到C处，再观麋A，此时视线AC与江岸所戚的夹角4CE・60°・根据小强提供的信息, 你能测出江宽吗？若能.写出求解过程（结果可保留根号几若不能.诵说朗理由.

18.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm. 3cm和lcm. A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可□的良物.请你想一想，这只蚂蚊从A点出矣沿着台阶面爬到B 点.最短线路是多少？

19・甲、乙两人在沙漠逬行探险 某日早舄& 00甲先出发，他以6千米时逋度向东南方向行走，1小时后乙出发, 他以5千米耐速度向西南方向行走.上午2 CD时.甲、乙两人相距多远？

严

S 一 ------------ 东 20.如图 一个长方体盒子，棱长AB-3cm« BF・3cm，BC-4cm・ <1）连授BD，求BD的长；

（2）一根长为6cm的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由.

2：.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m>长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元 谙你 帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

22. 在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发•现有一 C处需要爆破.已知点C与公路上旳停靠站A的距离为300

X.与公路上的另一停軒站B的距离为400米，且CAJCB.如图所示.対了安全起见，爆破点C周围半径250米 •范围内不得进入，间在进行爆舉时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？

23. 如图，小翩秋千，秋千架高2.4米秋千座位商地04米，小红荡起战高时，坐位葛地0 8*・此肘小红荡出 的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的爱高点之间的距藹）

24. 如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在樓场上，旗杆从旗顶到地而的高度为320皿在无风的天气里.彩旗自然下 垂，如图.求彩旗下垂时最低处离地而的最小高度h.彩旗完全展平时的尺于如左图的长方形（单位：an）. 25. 如图，一根竹竿在离地面5米处断裂，竹竽顶部珞在离竹竿底部12米处，间竹竿折断之前有多长?

26・如图，要测一也塘两端A、B的距務请你利用三角形知识设计一个测重方案・ 要求，血述测量方法；

Q®出示意图（原图画），

觀你测童的数据（用宇母表示〉叢示AB.芥说明理由，说明：池塘周围在司一高度，芥且比较平坦.

力.有一块询长为加米的&方牺绿的，如图审示.左绿地旁询R外有傅身器林由干民住在A外的住戻跋曙了绿 地，小明想在A处树立f 标牌少走踏之何忍”，情你计算石帮小明在标牌的■［上适当的数字.

28.如图，是一个长8n宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A （长的四等分点）处有一只壁％ B （宽的三等分 点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距冏犬多少米.答案

1、25 海里

2、 2400 平方米或者 3987.5 平方米

3、10 千米

4、20km

5、（ 1） AB=30 海里 BC=40 海里

6、96 平方米

7、 2

V

3 - 4

8、 4 米

9、 10 天

10、 AB=12m

11、 7 米

12、 3.4 米

13、 10 米

14、 7200 元

15、 480 元

16、 （x+0.5）

A2=xA2+2A2 x=3.75

17、 250V3 米

18、 13cm

19、 13km

20、

（1）BD=5cm （2）

V34cm小于 6cm 不够21、 648 元

22、 240m<250m 没有危险，不需要封锁

23、 1.2 米

24、 170cm

25、 18 米

26、 略

27、 6 米

28、

V

89 米

2）省 1 小时

（

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B)22B．2C．D．22242．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为(C)4334A．B．C．D．5453A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则∠A的锐角三角函数值(C)1A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定24．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是(B)A．7×C．7×sintan2288＝＝B．7D．7÷÷sintan228＝8＝第4题图5．在△ABC中，若第6题图第7题图|1sinA－2|＋(32－tanB)＝0，则∠C的度数为(A)3A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(B)xxA．米B．米C．x·sinα米D．x·cosα米sinαcosα7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为(B)1233A．B．C．D．22238．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯3子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了(C)5A．1米B．1.5米C．2米第8题图D．2.5米第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A)A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时1110．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边4CE在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为(D)AD315A．B．3C．D．222二、填空题(每小题3分，共15分)111．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是____．2第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝3AC，则tanA＝__13．如图，在△ABC中，cosB＝3__，∠B＝__60°__．323，sinC＝，AC＝10，则△ABC的面积为__42__．2514．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C19在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为__(，0)__.34三、解答题(共75分)216．(8分)计算：2cos30°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(3232363－6)－2××＝－＝22222217．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝∠A，∠B的度数．33，AB＝3，利用三角函数知识，求233AC3，AB＝3，∴sinB＝＝.∴∠B＝60°.∴2AB2∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度数分别为30°，60°解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝318．(9分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sin22A＋cosB的值．CD3＝，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，AD26BD4DCBC＝82＋62＝10.∴cosB＝＝.在Rt△ADC中，AC＝42＋62＝213.∴sinA＝＝BC5AC213334＝13.∴sinA＋cosB＝13＋13135解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝19．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)解：由题意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APCPC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝sin40°95≈≈148(海里)，∴B处距离灯塔P约有148海里0.6420．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，AF3由题意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，∴设AF＝3x米，则BF4BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝（3x）2＋（4x）2＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴313x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米15321．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边abc角总满足关系式：＝＝.sinAsinBsinC(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，53若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．14解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵abc6＝＝，∴sinAsinBsinCsin60°b＝，∴b＝26sin45°10ABAC143CD(2)∵＝，∴＝，∴sinB＝，∴∠B＝60°，∴tanB＝＝53sinBsin∠ACBsinB2BD1433222223，∴BD＝CD，∵AC＝CD＋AD，∴196＝CD＋(10－CD)，∴CD＝83或CD＝－33(舍33去)，∴CD的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.3米/秒的速度继续向前匀速飞解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，3＝324(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB的高度为25.6米(2)在Rt△BDM中，BM＝AC＝243米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan∠DBM＝243×连接EB并延长交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝243米，EM＝CM24EM3－CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴BM2433∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.4锐角A三角函数sinAcosAtanA13°0.220.970.2328°0.470.880.5332°0.530.850.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)AF解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88ADAFAF8888＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝≈≈91(cm)(2)AEcos∠EAFcos13°0.97设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DF4747DGA＝，∴FG＝≈≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在RtFGtan32°0.62△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm5

勾股定理

1． 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2b2c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、

AcbBaC

2．勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

12S正方形ABCDabc24ab2

a2b2

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

HG

12S正方形EFGHc2ab4ab2

a2b2

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

(ab)(ab)11S梯形ABCD2abc2

222a2b2c2.

CDacbEcb3．勾股定理的逆定理：

AaB

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即

在ABC中,如果AC2BC2AB2,那么ABC是直角三角形。

4．勾股数：

满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．

常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17。

1 模块一 ：勾股定理

1、下列说法正确的是（ ）

A. 若a，，bc是ABC的三边，则a2b2c2 B. 若a，，bc是RtABC的三边，则a2b2c2

C. 若

a，，bc是RtABC的三边，A90，则a2b2c2

D. 若

a，，bc是RtABC的三边，C90，则a2b2c2

2、若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 ．

3、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为

．

4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

5、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

A. 121 B．120

6、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )

A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.8

7、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍

8、三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；

(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；

(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

9、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

10、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

A C．90 D．不能确定

CB

2

11、如图所示，在三角形ABC中，三边的大小关系是（

）

acbABC

bac

12、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）

A

B

C

D

13、已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

14、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能是 ．

15、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

16、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

3m“路”4m

17、已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，•如果AB8cm，BC10cm，EC的长为 ．

3

18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，则BC的长为 ．

19、一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．

20、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

21、将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为hcm，则h的取值范围为

、22如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ．

4 23、如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为

24、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

24、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．

25、在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．

5 勾股定理的逆定理

1、如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．

2、分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)

3、下列线段不能组成直角三角形的是( )．

A．a＝6，b＝8，c＝10

C．a

4、在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

4、下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）

A．a=3，b4，c5 B．a1，bB．a1,b2,c3

53,b1,c

44D．a2,b3,c6

45，c

33b2，c5 C．

a9，b12，c15 D．a3，

5、已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）

A．30 B．60 C．78 D．不能确定

6、如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

ABCDEF

7、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

（1）若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；

（2）若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；

（3）若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．

6 8、若△ABC中，babac2，则B____________；

9、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．

、10下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．

A．1∶1∶2 B．1∶3∶4 C．9∶25∶26 D．25∶144∶169

11、已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．

A．一定是等边三角形

C．一定是直角三角形

12、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a2、a、a2为边的三角形的面积为______．

13、△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且abc是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

14、如图，△ABC中，C90，AC3，

B30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

AB．一定是等腰三角形

D．形状无法确定

CPB

15、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=2，则AD等于

A．

1 B．3 C．3 D．23

7 16、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．

BADC

17、如图，在Rt△ABC中，已知，ACB90，B15，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD13，则AC的长是 ．

AECDB

18、如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（ ）

CD1A2EB

19、如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

ABDC

20、如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA3:4:5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为（

）cm2．

8 CQAPB

21、如图，在△ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，DB9．

5AD的值；（1） 求CD，（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

CADB

22、已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

23、如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．

DABC

24、如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．

（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；

（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．

DCAEB

25、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．

9 CADB

26、阅读理解题：

1（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且ADBC．求证：BAC90

2（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．

（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之 和为13，求这个三角形的面积．

ABDC

27、已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝⊥FE．

1CB，求证：AF4

28、已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；

10 （2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

MDABNCMDACBN

29、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

勾股定理的应用

11 【巩固1】如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

【巩固2】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高 ．

【巩固3】在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

【巩固4】如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．

【巩固5】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m，那么15m长的梯子可以达到的高度为

．

【巩固6】长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

12

【巩固7】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）

86

【巩固8】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

【巩固9】一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 ．

【巩固10】如图，ON是垂直于地面OM的前面，AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条，当木条端点A沿墙面下滑时，B沿地面向右滑行

⑴设木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点O到P的距离怎样变化？说明理由

⑵木条在什么位置时，ABO的面积最大？最大面积为多少？

NAPHOBM

【巩固11】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD的长为多少？

13 CDBEA

【巩固12】如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

【巩固13】已知直角三角形的周长为2

【巩固14】若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于 ．

【巩固15】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝210求AB的长．

6，斜边为2，则该三角形的面积是 ．

【巩固16】如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

【巩固17】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

14

【巩固18】如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

【巩固19】正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点．若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为 ．

ADFBEC

【巩固20】已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2BF2EF2．

【巩固21】如图，已知△ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

l2，l3之间的距离为2，l2，上，且l1，

【巩固22】如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边 15 作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．

IJGFHDECB

【巩固23】如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．

（1）记正方形ABCD的边长为a11，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，.....an，请求出a2，a3，a4的值；

（2） 根据以上规律写出an的表达式．

IAJGFHDECBA

【巩固24】如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，且AEBC于E，若AB12，BC=10，AC=8，求DE的长.

ABDEC

【巩固25】已知钝角三角形的三边为2、3、4，求该三角形的面积．

A3B2C4

16

提优训练

【巩固1】如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

ADBC

【巩固2】如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．

A0DBEC

17

【巩固3】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

NAMANC图2KMNAMCK图1BBC图3KB

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为（ ），周长为（ ）

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到图2，此时重叠部分的面积为（ ），周长为（ ）．

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

【巩固4】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

AFEBDC

【巩固5】已知：如图，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，BD和CE交于点H，HD=1cm，HE=2cm，求：BD，CE的长及△ABC的面积．

18 AEHBDC

【巩固6】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2求BE的长．

ABCDE

【巩固7】如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）

A．3 B．23 C．33 D．43

ADBCE

【巩固8】将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的

另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边

的长为 ．

30°

19 【巩固9】解答下列各题：

（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；

（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．

AAEFBCDEBCD

【巩固10】如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．

（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；

（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）

QABCPNABCPMQN

【巩固11】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．

ABDC

20

【巩固12】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．

（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；

（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数）

③④⑤②1①1

【巩固13】小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图n1）的一条腰长为_______________________．

b，c，且满足，abc22ab则这个三角形是（ ） 【巩固14】三角形的三边长为a，2A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形

【巩固15】以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

【巩固16】若三角形中两边的垂直平分线的交点正好落在第三条边上，则这个三角形是（ ）

21 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【巩固17】在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【巩固18】三角形的三边长分别为a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）

A．

直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定

2m，m21，m1那么（ ） 【巩固19】如果△ABC的三边分别为m21，A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m21

B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m

C．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定

D．△ABC不是直角三角形

【巩固20】△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：ab14ab220cc2100，试判断△ABC的形状．

【巩固21】已知a，b，c为△ABC的三边，且ac:ab:cb2:7:1，试判断△ABC的形状．

【巩固22】已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

【巩固23】已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

22

【巩固24】已知a、b、c为△ABC的三边，

（1）若a4b2c2a2c2b40，判断△ABC的形状；

（2）若a2b2c2bc，计算

8262102，15282172，242102262，…，你有没有发现其【巩固25】观察下列各式：32+42=52，cb的值．

abac中的规律?请用含n的代数式表示此规律并

23