2024年6月4日发(作者：)
数学史话
宋丽飞
∂f
艾萨克·牛顿（IsaacNewton,1643-1727）是英国著
∂x
名的物理学家、数学家，曾担任英国皇家学会会长.牛
∂f
.
顿在科学上的主要成就有三个：发明微积分、建立经
∂y
典力学体系、提出光的性质的理论.下面简要介绍一下
牛顿是用“无穷小”概念和他发明的二项式定理
牛顿的一些数学成就.
来证明(1)式的.他认为，作非匀速运动的物体在无穷
一、《流数简论》
小时间间隔o中的运动情况，与作匀速运动的物体在
1666年，牛顿在平面直角坐标系中通过速度分量
有限时间间隔中的情况相同.牛顿说：“如果到某一时
f(x,y)=0
来研究切线.他把曲线看作动点的轨迹，动
刻，它们已描绘的线段为
x
和
y
，那么到下一时刻所
点的坐标
x、y
是与时间相关的函数，而曲线
描绘的线段就是
x＋x
0
和
y＋y
0
．”牛顿用
x＋x
0
和
x
·
·
·
i
f(x，y)=0
的切线斜率是
·
，
y＋y
0
代替
f(x,y)=0
中的
x
和
y
，
如图1.由于
x
和
y
是随
于是有
a
ij
(x+x
o)
∑
y
·
j
(y+y
o)
=0
.
时间的变化而变化的“流动速度”，所以牛顿便称它们
··
dy
为流数，实际上就是
x
和
y
对
t
的导数：
x
=
dx
,y=
dtdt
而它们的比就是
y
对
x
的导数.这里顺便指出，这种表
dy
示法是牛顿晚年时才使用的，而符号是莱布尼兹
dx
发明的，我们这里采用它们是为了方便叙述．
项，得
∑
a
ij
(ix
i-1
y
⋅x
o+jx
i
⋅y
j
·
按二项式展开并略去
o
的二次以上(含二次)的
j-1
nn
到(1)式.可把
y=x
写成
f(x，y)=y-x
的形式，由(1)
⋅y
o)=0
.除以
o
后便得
·
式推出
y
x
·
·
牛顿提出一个反面问
=nx
n-1
.在此基础上，
y
·
图1
牛顿首先考虑的问题是：给定
x
和
y
的关系
f(x，
y)=0
，求
y
·
·
程的一端，其和为零.首先，把每一项都乘以
x
，再乘
x
y
以该项所含
x
的次数.然后，把每一项都乘以，再乘
y
以该项所含
y
的次数……令这些乘积的总和等于零.
·
x
j
f(x,y)=
∑
a
ij
x
i
y
，他给出下述解法：“把各项都置于方
·
，即
y
对
x
的导数.对于多项式
x
他在研究这一问题的过程中发现了微积分基本定理，
dA
即：
=y
（2）.其中
A
表示曲线
y=f(x)
以下的面积．
dx
从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重
要定理的：设
y
为曲线
f(x)
下的面积
abc
(图2)，并将
其平行移动，面积
x
和
y
随时间而增加的速度是
be
和
bc
.”显然
be=1
，而
bc=f(x)
.因此，牛顿认为面积
y
随
·
时间的变化率是
f(x)
，而
x
=1
，于是
题：己知流数比
，求
y
（即把
y
表成
x
的代数式)．
y
·
·
x
然等价于(2)式，也就是说函数曲线下面积的变化率等
于曲线的纵坐标.他把求积问题看作求变化率的逆过
程，即把
y
看作
f(x)
的积分(不定积分)．
.这显
=f(x)
（3）
这个方程表示出了速度(流数)之间的关系．若用式子
表示，则为
数
学
篇
58
·
·
æ
ix
iy
ö
i
j
+
÷
a
ij
xy
=0
（1）
∑
ç
ç
xy
÷
èø
它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法
∂f
·
∂f
y
则.实际上，这个式子与
x
+y=0
等价,即
·
=
∂x∂y
x
·
·
图2
数学史话
牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆
关系.如果面积
y=
x
，则由（1）得到
·
=x
n
.反之，取
n+1
x
n+1
·
·
，则而
y=
x
.这就是说，纵坐标为
y
=f(x)=x
n
，
x
=1
n+1
x
n+1
的曲线的切线斜率为
n
，
x
而纵坐标为
x
n
的曲线
n+1
n+1
x
下的面积是.
n+1
在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出
n-1
z
变量代换法，设变量
z=1+x
n
，其流数比为
·
=nx
（4），
x
因为
y=z
，所以
·
=
3
z
（5），由（4）（5）易得
·
=
2
zx
3
2
n+1
y
·
图3
并用
o
去除等式两边，得
⋅x
m-2
⋅
o
2
+…
考虑到
z=ax
m
，
m(m-1)
m-2
y=max
m-1
+a()⋅x⋅o+…
.舍去仍然含
o
的
1⋅2
m-1
项，得
y=max
．这就是相当于面积
z
的纵坐标
y
dz
的表达式，或者说是面积
z
在点的变化率（即）.这
dx
个结果表明，若面积
z=ax
m
给出，那么构成这个面积
m-1m-1
的曲线为
y=max
；反之，若曲线是
y=max
，则它
下面的面积是
z=ax
m
.牛顿不仅给出了求变化率的普
遍方法，而且证明了微积分基本定理.从计算角度来
说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用
mm-1
m
ax
m+1
.
ax
dx=
现代符号表示)
(ax
)′=max
；
∫
m+1
牛顿还给出下面的法则：函数之和的积分等于各
dx+
∫
f
2
(x)dx+…+
∫
f
n
(x)dx
．
y
·
1
2
y
·
根据二项式定理的
z+oy=a(x
m
+mx
m-1
⋅o+
m(m-1)
)
1⋅2
yy
z
=
3
nx
n-1
z
1
2
，即
·
=
3
nx
n-1
1+x
n
.
⋅
··
zx
2
x
2
·
·
·
牛顿利用变量代换法对
y=(f(x))
（其中
f(x)
是
多项式）进行微分，设
z=f(x)
，得到
y
·
m
n
=
m
(f(x))
x
n
·
m
-1
n
⋅
z
x
·
·
.
这便得到了我们熟知的幂函数微分公式，其现在的表
-1
示形式为
y
′=
m
(f(x))
n
⋅f
′(
x).
n
在《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微
m
分法则．设
y=u(x)·v(x)
，则由计算流数之比的基本法
u
v
，则得到
y
=uv+u
v
，所以
·
=
uv
+
即
·
=u⋅
v
+v
··
xxxx
···
y
·
··
y
·
·
n
121
函数的积分的和,即
∫
[f(x)+f(x)＋…+f(x)]dx=
∫
f
(x)
⋅
u
u
⋅v-
v
⋅u
·
u(x)
··
y=
，可用类似的方法得到
y
x
.
x
·
.若
v(x)
=
x
·
v
2
x
·
··
由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明
确提出一般性的微积分算法，特别是微积分基本定
理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观
察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二
本微积分著作中才给出．
二、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析
学》)
在《分析学》中，牛顿假定曲线下的面积为
其中
m
是有理数.他把
x
的无穷小增量叫
x
的
z=ax
m
，
瞬，用
o
表示.由曲线、
x
轴、
y
轴及
x＋o
处纵坐标所
围成的面积用
z＋oy
表示(图3)，其中
oy
是面积的瞬，
于是有
z+oy=a(x＋o)
．
m
在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数逐项积分
2
的方法．例如为了对
y=
a
进行积分，他将
a
2
除以
b+x
a
2
-
a
2
x
+
a
2
x
2
-
a
2
x
3
+…
y=
b+x
，得到
，然后对这个
b
b
2
b
4
b
3
a
2
x
-
a
2
x
2
+
a
2
x
3
-
a
2
x
4
+…
无穷级数逐项积分，得.他
b
2b
2
4b
4
3b
3
说，只要
b
是
x
的倍数，取最初几项就可以了.同样地，
1
为了求
y=
的积分，他利用二项式定理得到
1+x
2
y=1-x
2
＋x
4
-x
6
＋x
8
-…
(1).他注意到，如果令
y=
1
-6-8
-2-4
，则可得到
y=x
-x+x-x+…
(2).他说，当
2
x
+1
x
很小时，应该用(1)式，若
x
较大就必须用(2)式了.可
见，他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有
提出收敛的概念．
牛顿把曲线下的面积看作无穷多个无限小面积
之和，这种观念与现代的观念是比较接近的.为了求某
一个区间的面积，即定积分，牛顿提出如下方法：先求
数
学
篇
59
数学史话
在实际问题中应
∫
f(x)dx=F(b)-F(a)
.有了这个公式，
b
a
出原函数，再将上下限分别代入原函数，并取其差．
这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨
各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表
述为：若
F(x)
是
f(x)
在区间
[a,b]
上的一个原函数，则
用极广的定积分计算问题便可转化为求函数问题，所
以它是十分重要的．
到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理
论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一，
他的无穷小增量
o
是不是0？牛顿认为不是.既然这
样，运算中为什么可以略去含
o
的项呢？牛顿没有给
出合乎逻辑的论证.第二，牛顿虽然提出变化率的概
念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象
成“流动的”速度.牛顿自己也认为，他的工作主要是建
立有效的计算方法，而不是澄清概念.他对这些方法仅
仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度
是实事求是的．
三、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)
《流数法》是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿
在数学方面的代表作.在前两部书的基础上，牛顿提出
了更加完整的理论．
从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟
的阶段.他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函
数称为流量，以字母表的后几个字母
v、x、y、z
来表
示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表示流
量的字母上加点的方法来表示，如
x
,y
.以前用的瞬的
··
至此，牛顿说：“我们已假定
o
是无限微小，它可
以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他
诸项来说等于没有，因此我把它们舍掉，得到
从上式易得
3
x
x
2
-2axx+axy+ay
x-3yy
2
=0
.”
·····
y
x
·
·
=
3x-2ax+ay
.
3y
2
-ax
2
从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致.
··
所不同的是，在《流数简论》中
y和x
只被看作运动速
度，而在这里却表示一般意义的流数《.简论》中求流数
之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义.对于
y=f(x)
型的函数，牛顿用类似方法得出了
y与x
的关
··
系.
例如，假定
y=x
，牛顿首先建立
y+
y
o=(x+xo)
n
,
然后用二项式定理展开右边，消去
y=x
，用
o
除两边
的式子，略去仍含
o
的项，结果为
y
=nx
n-1
x
，即
y
x
·
·
··
n
··
n
在对具体函数微分时，不必采用无穷
=nx
n-1
.当然，
u=φ(x)
，则
∫
f((x))φ
′(
x)dx=
∫
f(u)du
（1）.这个公式表明，
小法，可直接代入公式．
第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分.
牛顿在书中引入了代换积分法（采用现代符号）：设
只要所求的积分可表为（1）左边的形式，则令
u=φ(x)
，即可化为
f(u)
对
u
的积分，积分后再用
φ(x)
代
u
就行了《.流数简论》中，牛顿在具体积分中已经采
用了这种方法，只是到这时才总结出具体的公式．从
《流数简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路
大致如下：
则y=
∫
f(φ(x))φ
′(
x).
设y=
∫
f(φ(x))φ
′(
x)dx,
概念仍然保留，并且仍用
o
表示．
牛顿在提出的“连续”思想以及使一个量小到“比
任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正
是在这种思想的主导下解决了以下两类基本问题．
第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即
已知
y=f(x)
或
f(x,y)=0,
求
y
·
·
（2）
（3）
x
例如书中的问题1：如果流量
x
和
y
之间的关系
33
2
是
x
-ax+axy-y=0
，求它们的流数之比.牛顿设
y
的瞬分别是
x
o,yo
，
x
，用
x+xo
和
y+y
o
分别代替
方程中的
x
和
y
，得
··
·
·
.
由
u=φ(x)得
·
·
u
·
·
x
=φ
′(
x),
u
/x
y
/x
··
··
由(2)(3)得
y
u
数
学
篇
60
(x+x
o)
3
-a(x+x
o)
2
+a(x+x
o)(y+yo)-(y+y
0)
3
=0
.
·
·
·
·
·····
φ
′(
x)dx=
∫
f(u)du
.
由微积分基本定理，得
y=
∫
f(u)du
，所以
∫
f(φ(x))
牛顿还推出不定积分公式，即
∫
uv′dx=uv-
∫
vu′dx
.
=
f(φ(x))=f(u),
ax
2
o+axy+axyo+axy
-3y
2
y
-3yy
2
o-y
3
o
2
=0
把余下的项除以
o
，得
3x
2
x
+3xx
2
o+x
3
o
2
-2axx-
······
·
·
33
2
展开后利用
x
-ax+axy-y=0
这一运算性质再
就可利用不定积分公式求积分．
∫
vu′dx
比较容易时，
其中
u
和
v
都是
x
的函数.若求
∫
uv′dx
有困难而求
至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算
数学史话
法，他当时将其统称为流数法.他充分认识到这种方法
的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它
“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以
用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各
种深奥问题．”《流数法》一书中对微积分的用途作了
详细介绍，下面略举几例．
33
2
例1.求方程
x
－ax＋axy－y
=0
中
x
的最大值．
牛顿先求出
x
和
y
的流数之比，
得
3x
x
2
-2axx+ax
y-3yy
2
+ayx=0.
得
-3y
y
2
+ay
x=0,
·····
法仍是舍去无穷小，因而同《分析学》一样出现了逻辑
问题.他尝试建立没有无穷小的微积分，于是就有了
《曲线求积术》．
四、牛顿的极限理论
牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》(下简
称《求积术》)是最后(1693)写成的，但却是最早(1704)
出版的一部．在书中，牛顿给出了导数概念，而且把
考查对象由两个变量构成的方程转向关于一个变量
的函数.牛顿的流数演算已相当熟练了，他算出许多复
杂图形的面积．
值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必
要用无穷小量的思想求微积分.他在序言中明确指出：
“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连
续的运动来描述的.直线不是一部分一部分地连接的，
而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的：面
是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，
时间段落是由连续的流动生成的.”在这种思想指导
下，他放弃了无穷小的概念，以最初比和最后比的新
nnn-1
动”便成为
x+o
，于是
x
n
变为
(x+o)
=x+nox+
n(n-1)
2
n-2
即
o
和
nox
n-1
+
⋅
o
x
+…
，
x
和
x
n
的增量比，
2
n(n-1)
2
n-2
n(n-1)
等于1和
nx
n-1
+
ox
+…
的比，
⋅ox
n-2
22
+…
的比.牛顿说：“令增量等于0，于是它们的最后比
n
概念代替.为了求函数
y=x
的导数，牛顿将
x
“由流
再令
x
=0,
·
·
·
2
即
3y
=ax
.把上式代入原方程后，就很容易求得
相应的
x
值和
y
值了．
牛顿给出了通过解方程
f′(x)=0
来求
f(x)
极值的
方法.他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流
数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流
数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情
况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等
于0．”他用这种方法解出了九个问题．其他问题，则
需采用上述方法求解.
33
2
例2.已知曲线方程为
x
-ax
＋axyy
=0
，
AB
和
BD
分别为曲线上
D
点的横、纵坐标，求作过
D
点的
切线(图4)．
等于1比
nx
n-1
.所以
x
的流数与
x
n
的流数之比等于1
比
nx
n-1
.”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初
比与最后比的实质是一样的，都表示
y
关于
x
的导
数，或者说是
y
对于
x
的变化率.用现在的符号可写成
y′=nx
n-1
．
实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原
图4
3y
y
2
+ayx=0
.
·
牛顿先求得流数之间的关系
3x
x
2
-2axx+axy-
·
···
理》)一书中，牛顿就明确地定义了极限思想.他说：“严
格地说，消失量的最后比并不是最后量的比，而是这
些量无限减小时它们的比所趋近的极限.它们与这个
极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在
无限缩小之前既不能超过也不能达到它.”在这部最早
发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)
中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之
上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念.牛顿在
《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理
论基础.当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格
的极限定义．
牛顿说：“给定
D
点后，便可得出
DB
和
AB
，即
y
和
x，BT
的长度也就确定了，由此可确定切线
TD
．”
相比较《分析学》，《流数法》在数学思想上有了创
新，而且提供了更加有效的计算方法.但牛顿的基本方
3x
2
-2ax+ay
BD
由此得出
·
==.
2
BT
3y-ax
x
3y
3
-axy
因为
BD=y
，所以
BT=
2
.
3x-2ax+ay
y
·
数
学
篇
61
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