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2023年4月3日发(作者：时差英文)

英文原文：

10TheMarkowitzInvestmentPortfolioSelectionModel

Thefirstninechaptersofthisbookpresentedthebasicprobability

theorywithwhichanystudentofinsuranceandinvestmentsshouldbe

finalchapter,wediscussanimportantapplicationof

thebasictheory:theNobelPrizewinninginvestmentportfolioselection

terialisnotdiscussedinother

probabilitytextsofthislevel;however,itisaniceapplicationofthe

basictheoryanditisveryaccessible.

TheMarkowitzportfolioselectionmodelhasaprofoundeffectonthe

,thepopularityofindexfunds(mutualfunds

thattracktheperformanceofanindexsuchastheS&P500anddonot

attemptto“beatthemarket”)canbetracedtoasurprisingconsequence

oftheMarkowitzmodel:thateveryinvestor,regardlessofrisktolerance,

sulthascalled

intoquestiontheconventionalwisdomthatitispossibletobeatthe

marketwiththe“right”investmentmanagerandinsodoinghas

revolutionizedtheinvestmentindustry.

OurpresentationoftheMarkowitzmodelisorganizedinthefollowing

rtant

exampleofaportfolioofthistypeisoneconsistingofastockmutual

omthisperspective,theportfolio

selectionproblemwithtwosecuritiesisequivalenttotheproblemof

considerportfolios

oftworiskysecuritiesandarisk-freeasset,theprototypebeinga

portfolioofastockmutualfund,abondmutualfund,andamoney-market

y,weconsiderportfolioselectionwhenanunlimitednumber

ofsecuritiesisavailableforinclusionintheportfolio.

Weconcludethischapterbybrieflydiscussinganimportant

consequenceoftheMarkowitzmodel,namely,t古诗词清明 heNobelPrizewinning

M,asitis

referredto,givesaformulaforthefairreturnonariskysecuritywhen

eMarkowitzmodel,theCAPM

hashadaprofoundinfluenceonportfoliomanagementpractice.

10.1PortfoliosofTwoSecurities

Inthissection,weconsiderportfoliosconsistingofonlytwo

securities,

and

.Thesetwosecuritiescouldbeastockmutualfund

andabondmutualfund,inwhichcasetheportfolioselectionproblem

amountstoassetallocation,

objectiveistodeterminethe“bestmix”of

and

intheportfolio.

PortfolioOpportunitySet

Let\'sbeginbydescribingthesetofpossibleportfoliosthatcanbe

constructedfrom

and

.Supposethatthecurrentvalueofour

portfolioisddollarsandlet

and

bethedollaramountsinvested

and

bethesimplereturnson

and

overafuturetimeperiodthatbeginsnowandendsatafixedfuture

pointintimeandletRbethecorrespondingsimplereturnforthe

,ifnochangesaremadetotheportfoliomixduringthe

timeperiodunderconsideration,



2211

111RdRdRd

Hence,thereturnontheportfoliooverthegiventimeperiodis



1RxxRR

where

ddx



isthefractionoftheportfoliocurrentlyinvestedin

.Consequently,byvarying

,wecanchangethereturncharacteristics

oftheportfolio.

Nowif

and

areriskysecurities,aswewillassumethroughout

thissection,then

,ethat

and

areboth正月十五元宵节的意义 normallydistributedandtheirjointdistributionhas

yappeartobeastrongassumption.

However,dataonstockpricereturnssuggestthat,asafirst

approximation,,fromthepropertiesofthe

normaldistribution,itfollowsthatRisnormallydistributedandthat

thedistributionsof

,andRarecompletelycharacterizedby

,sinceRisa

linearcombinationof

and

,thesetofpossibleinvestment

portfoliosconsistingof

and

canbedescribedbyacurveinthe

plane.

Toseethismoreclearly,notethatfromtheidentity

1RxxRR

andthepropertiesofmeansandvariances,wehave



RRR

xx,

2

222

2211

112

RRRRR

xxxx,

whereisthecorrelationbetween

and

,Eliminating

from

thesetwoequationsbysubstituting

212

RRRR

x,whichwe

obtainfromtheequationfor

,intotheequationfor2



,weobtain







2

212

RRRR





























,

whichdescribesacurveinthe

planeasclaimed.

Noticethat

and

changewith

,while









asizethefactthat

and

arevariables,

let’,theprecedingequation

for2



canbewrittenas

2

2A,

whereA,





areparametersdependingonlyon

and

with

0Aand02



.Indeed,



22

2211

RRRR

A













2121

RRRR











0

(theinequalityholdingsince

11),and





2121

222

RRRR













(againsince

11).Further,





2121

12212121

122

RRRR

RRRRRRRR













Consequently,thepossibleportfolioslieonthecurve

2

2A,0，

whichwerecognizeasbeingtherighthalfofahyperbolawithvertexat



,

.(Figure10.1).

Noticethatthehyperbola2

2Adescribesatrade-off

betweenrisk(asmeasuredby



)andreward(asmeasuredby).Indeed,

alongtheupperbranchofthehyperbola,itisclearthattoobtaina

greaterreward,wemustinvestinaportfoliowithgreaterrisk;inother

words,“nopain,nogain.”Theportfoliosonthelowerbranchof

thehyperbola,whiletheoreticallypossible,willneverbeselected

risklevel



,theportfolioontheupperbranchwithstandarddeviation



,higherreward)thanthe

portfolioonthelowerbranchwithstandarddeviation



and,hence,will

uently,

theonlyportfoliosthatneedbeconsideredfurtheraretheonesonthe

ortfoliosarereferredtoasefficientportfolios.

Ingeneral,anefficientportfolioisonethatprovidesthehighestreward

foragivenlevelofrisk.

DeterminingtheOptimalPortfolio

Nowlet’

dothis,weneedtoconsidertheinvestor’

differentinvestorsingeneralhavedifferentrisktolerances,weshould

soon

seethatthisisindeedthecase.

Let’sconsideroneparticularinvestorandlet’ssupposethatthis

investorisabletoassignanumber

toeachpossibleinvestment

returndistribution

withthefollowingproperties:





FIGURE10.1SetofPossiblePortfoliosconsistingof1

and2

1.

FUFUifandonlyiftheinvestorpreferstheinvestmentwith

return

totheinvestmentwithreturn

2.

FUFUifandonlyiftheinvestorisindifferenttochoosing

betweentheinvestmentwithreturn

andtheinvestmentwithreturn

ThefunctionalU,whichmapsdistributionfunctionstotherealnumbers,

atdifferentinvestorsingeneral

havedifferentutilityfunctionals.

plicity,

weassumethateveryinvestorhasautilityfunctionaloftheform

2kFU



where0kisanumberthatmeasurestheinvestor’slevelofrisk

aversionandisuniquetoeachinvestor.(Here,and



representthe

meanandstandarddeviationofthereturndistribution

.)Thereare

goodtheoreticalreasonsforassumingautilityfunctionalofthisform.

However,intheinterestofbrevity,atin

assumingautilityfunctionalofthisform,weareimplicitlyassuming

thatamongportfolioswiththesameexpectedreturn,lessriskis

preferable.

Theportfoliooptimizationproblemforaninvestorwithrisktolerance

levelkcanthenbestatedasfollows:

Maximize:2kU

Subjectto:2

2A.

Thisisasimpleconstrainedoptimizationproblemthatcanbesolvedby

substitutingtheconditionintotheobjectivefunctionandthenusing

standardoptimizationtechniquesfromsinglevariablecalculus.

Alternatively,thisoptimizationproblemcanbesolvedusingtheLagrange

multipliermethodfrommultivariablecalculus.

Graphically,themaximumvalueofUisthenumber

suchthatthe

parabola

uk2

istangenttothehyperbola2

2A.(See

imalportfoliointhisfigureisdenotedbyO.)

Clearly,theoptimalportfoliodependsonthevalueofk,whichspecifies

theinvestor’slevelofriskaversion.

Carryingoutthedetailsoftheoptimization,wefindthatwhen

and





and0





),therisk-reward

coordinatesoftheoptimalportfolioOare

*

kA2

.

Since

xx,itfollowsthattheportionoftheportfoliothat

shouldbeinvestedin





.

CommentWehaveassumedthatshortsellingwithoutmarginposting

,wehaveassumedthat

canassumeanyrealvalue,

includingvaluesoutsidetheinterval[0,1]).Inthemorerealisticcase,

whereshortsellingisrestricted,theoptimalportfoliomaydifferfrom

theonejustdetermined.





FIGURE10.2PortfoliowithGreatestUtility

EXAMPLE1:Thereturnonabondfundhasexpectedvalue5%andstandard

deviation12%,whilethereturnonastockfundhasexpectedvalue10%

andstandarddeviation20%.Thecorrelationbetweenthereturnsis0.60.

Supposethataninvestor’sutilityfunctionalisoftheform

100

U

.Determinetheinvestor’soptimalallocationbetween

stocksandbondsassumingshortsellingwithoutmarginpostingis

possible.

Itiscustomaryinproblemsofthistypetoassumethattheutility

,if

represent

thereturnsonthebondandstockfunds,respectively,then



56.312

100



612

100

102



Notethatsuchacalibrationcanalwaysbeachievedbyproperselection

ofk.

Fromtheformulasthathavebeendeveloped,theexpectedreturnonthe

optimalportfoliois

kA2

,

where

1001k





2121

12212121

122

RRRR

RRRRRRRR















201240.022012

1210201260.0105205







875.21

and





2121

RRRR

A











201240.022012

105







24.10.

Hence,theportionoftheportfoliothatshouldbeinvestedinbondsis







105

107578125.26





3515625.3.

Thus,foraportfolioof$1000,itisoptimaltosellshort$33351.56worth

ofbondsandinvest$4351.56instocks.

■

SpecialCasesofthePortfolioOpportunitySet

Weconcludethissectionbyhighlightingtheformoftheportfolio

hout,weassumethat

and

aresecuritiessuchthat

and

.

(Thesituationwhere

and

isnotinterestingsincethen

isalwayspreferableto

.)Wealsoassumethatnoshortpositions

areallowed.

AssetsArePerfectlyPositivelyCorrelatedSupposethat

1(i.e.

and

areperfectlypositivelycorrelated).Thenthesetofpossible

portfoliosisastraightline,asillustratedinFigure10.3a.

AssetsArePerfectlyNegativelyCorrelatedSupposethat

1(i.e,

and

areperfectlynegativelycorrelated).Thenthesetofpossible

at,inthiscase,

,portfolio

with0).

AssetsAreUncorrelatedSupposethat

0.Thentheportfolio

picture,itisclearthatstartingfromaportfolioconsistingonlyof

thelow-risksecurity

,itispossibletodecreaseriskandincrease

expectedreturnsimultaneouslybyaddingaportionofthehigh-risk

security

,eveninvestorswithalowlevelof

risktoleranceshouldhaveaportionoftheirportfoliosinvestedinthe

high-risksecurity

.(Seealsothediscussiononthestandarddeviation

0p





heAssetsIsRiskFree







FIGURE10.3SpecialCasesofthePortfolioOpportunitySet

1p





1p



ofasumin

8.3.3.)

OneoftheAssetsIsRiskFreeSupposethat

isarisk-freeas瑞雪兆丰年是谚语吗 ,





)andput

r



,r,letS

denote

andwrite





inplaceof





.Thentheefficient

setisgivenby











,0.

Thisisalineinrisk-rewardspacewithslope

SfS

rand

-intercept

r(seeFigure10.3d).

10.2PortfoliosofTwoRiskySecuritiesandaRisk-Free

Asset

Supposenowthatwearetoconstructaportfoliofromtworiskysecurities

rrespondstotheproblemofallocating

assetsamongstocks,bonds,

denotethereturnsontheriskysecuritiesandsupposethat

and

.Further,let

rdenotetherisk-freerate.

TheEfficientSet

Fromourdiscussionin10.1,weknowthattheportfoliosconsistingonly

ofthetworiskysecurities

mustlieonahyperbolaofthetype

illustratedinFigure10.4.

Weclaimthatwhenarisk-freeassetisalsoavailable,theefficientset

consistsoftheportfoliosonthetangentlinethrough(0,

r)(Figure

10.5).Notethat

rinthisfigureisthe-interceptofthetangentline

through





\'









FIGURE10.4PortfolioOpportunitySetforTwoSecurities

FIGURE10.5EfficientSetasaTangentLine

FIGURE10.6PortfoliosContainingtheTangencyPortfolioDominateAllOthers

Toseewhythisisso,consideraportfolioPconsistingonlyof

and

,theportfolio

whichisonboththehyperbolaandthetangentline).Fromourdiscussion

in10.1,weknowthateveryportfolioconsistingoftheriskyportfolio

Pandtherisk-freeassetliesonthestraightlinethroughPand(0,

r),andeveryportfolioconsistingofthetangencyportfolioTandthe

risk-freeassetliesonthetangentlinethroughTand(0,

r)(Figure

10.6).Hence,fromFigure10.6,itisclearthateveryportfolio

consistingofPandtherisk-freeassetisdominatedbyaportfolio

,foranygivenrisklevel



,thereisaportfolioonthelinethroughTand(0,

r)withgreater

thanthecorrespondingportfolioonthelinethroughPand(0,

r).

Hence,givenachoicebetweenholdingPastheriskypartofour

portfolioandholdingTastheriskypart,weshouldalwayschooseT.

Consequently,theefficientportfolioslieonthelinethrough(0,

,inparticular,thattheefficientportfoliosall

havethesameriskypartT;theonlydifferenceamongthemistheportion

rprisingresult,whichprovides

atheoreticaljustificationfortheuseofindexmutualfundsbyevery

investor,ofthis

separationtheorem,theportfolioselectionproblemisreducedto

determiningthefractionofaninvestor’sportfoliothatshouldbe

astraightforwardproblemwhen

theutilityfunctionalhastheform2kU

(Figure10.7).The

investor’s

arelefttothereader.

DeterminingtheTangencyPortfolio

ThetangencyportfolioThasthepropertyofbeingtheportfolioonthe

hyperbolaforwhichtheratio





r

ismaximal.(Convinceyourselfthatthisisso.)Hence,onemethodof

determ送孟浩然之广陵古诗原文 iningthecoordinatesofTistosolvethefollowingoptimization

problem:

Maximize:





f

r



Subjectto:2

2A.

WewilldeterminethecoordinatesofTinaslightlydifferentway,which

ismoreeasilyadaptedwhenthenumberofriskysecuritiesisgreaterthan

two.

Recallthattheefficientportfoliosaretheoneswiththeleastrisk

(i.e.,smallest



)foragivenlevelofexpectedreturn.Hence,the

efficientset,whichwealreadyknowisthelinethrough(0,

r)andT,

canbedeterminedbysolvingthefollowingcollectionofoptimization





FIGURE10.7OptimalPortfolioforaGivenUtilityFunctional

problems(oneforeach):

Minimize:RVar

Subjectto:RE

Let

betheamountsallocatedto

,andtherisk-free

asset,ereturnonsuchaportfoliois

ryRyRyR

32211

,

andso

2

22112

2yyyyRVar

and



32211

yryyRE



where

RE,

RVar2,and

jiji

RRCov,

.NotethatRVar

doesnotcontainanytermsin

!Consequently,theoptimizationproblem

canbewrittenas

Minimize:2

22112

2yyyy

Subjectto:



32211

yryy

321

yyy

Notethattheconditionsintheoptimizationareequivalenttothe

conditions



fff

ryryr

2211

321

yyy

(Substitute

321

yyy

intothefirstcondition.)Sincetheonly

placethat

nowoccursisinthecondition

321

yyy

,thismeans

thatwecansolvethegeneraloptimizationproblembyfirstsolvingthe

simplerproblem

Minimize:

Subjectto:

fff

ryryr

2211

andthendetermining

213

1yyy

.Indeed,willstillbe

minimizedbecausetherequired

willbethesameinboth

optimizationproblems.

ThesimpleroptimizationproblemcanbesolvedusingtheLagrange

ral,wewillhave

gand

0g

where

fff

ryryrg

2211

and



istheLagrange

terisgenerallyreservedininvestmenttheoryfor

thereward-to-variabilityratio2

rand,hence,willnotbeused

mingtherequired

differentiation,weobtain





















































212







orequivalently,









































212





where









NotethattheLagrangemultiplier



willdependingeneralon.

NowthetangencyportfolioTliesontheefficientsetandhasthe

propertythat

y

(i.e.,noportionofthetangencyportfoliois

investedintherisk-freeasset).Hence,thevaluesof

and

forthe

tangencyportfolioaregivenby

1zz





2zz





where(

)istheuniquesolutionoftheprecedingmatrixequation.

Indeed,sinceTliesontheefficientset,wemusthave(



(

),andsince

321

yyy

,wemusthave



12zz.Therisk-rewardcoordinates(





)forthetangency

portfolioarethendeterminedusingtheequations

2211

yy

R怎么挽回一个对你失望的女人

,

21221

22yyyy

,

where

arethefractionsjustcalculated.

中文译文：

第十章：Markowitz投资组合选择模型

这本书前面九个章节提出了保险和投资任一名学生应该熟悉的基本的概率

理论。在最后一章里，我们讨论基本理论的一种重要应用：归功于Harry・

Markowitz的赢取诺贝尔奖的投资组合选择模型。这材料不在其它这个水平的概

率材料讨论；但是，它是基本理论的一种很好的应用并且它是非常容易理解的。

Markowitz组合选择模型已经对投资产业有一个深刻作用。确实，共同基金

的普及（跟踪一个指数的表现譬如S&P500和不试图“击打市场”的共同基金）

可以被跟踪成Markowitz模型的一个惊奇后果：每个投资者，不考虑风险容忍，

应该拿着同样风险保障的组合。这个结果表示了对于传统经验的置疑，用“正确

的”投资管理人击打市场是理性的，并且这样做改革了投资产业。

我们对Markowitz模型的介绍用下面的方法组织。我们从考虑两个保障的组

合开始。这种形式组合的一个重要例子是由一个股票共同基金和一个债券共同基

金组成的组合。从这个观点看到，有二个保障的组合选择问题与股票和证券之间

的资产组合问题是等价的。我们然后考虑二个风险保障和无风险资产的组合，原

型是股票共同基金、债券共同基金和货币市场基金的组合。最后，对于包含在组

合中无穷多个保障可利用时，我们考虑组合选择。

我们由简要地谈论Markowitz模型的一个重要结果，即归功于William

Sharpe的诺贝尔奖赢取资本资产定价模型结束本章。资本定价模型（CAPM），

如所提到的，当整体市场是处于平衡时给对于风险保障公平的回报一个公式。像

Markowitz模型一样，资本定价模型（CAPM）对组合管理实践有着深刻的影响。

10.1两个保障的组合

本节,我们考虑只包括两个保证金

和

的组合。这两保证金可以是一个

股票共同基金和一个债券共同基金,在这种情形组合选择问题相当于资产分配,

或可能是其它别的。我们的目标是要在组合中确定

和

的“最佳匹配”。

组合机会集合

让我们由描述可以被由

和

建立的可能的投资组合集合开始。假设我们

组合的当前值是d美元并且让

和

分别表示投资在

和

的美元数。让

和

表示在

和

上在经历一个现在开始且在未来某固定点及时结束的这一未来

时间段上简单的回报，并让R表示投资组合对应的简单回报。然后，如果在考虑

的这段时期内对投资组合匹配不做变动，那么



2211

111RdRdRd

。

这时，在指定时期内投资组合的回报是



1RxxRR

，

其中

ddx



是当前被投资在

中的组合比例。所以，由变化

，我们能改变组

合的回报特征。

现在如果

和

是风险保障，本节我们都要这样假设，那么

、

，和R

都是随机变量。假设

和

都是正态分布的并且它们的联合分布是二元正态分

布。这也许是一个条件强的假定。但是，关于股票价格回报的数据表明，作为最

初的近似，它不是不合情理的。然后，从正态分布的性质（见6.3.1），可以

得出R是正态分布的并且

、

和R的分布完全由它们各自的均值和标准差所

刻画。因此，由于R是

和

的一个线性组合，由

和

组成的可能的投资组

合集合可以由平面中的曲线所描述。

为了看起来更加明显，从等式

1RxxRR

和均值和方差的性质，我们

有



RRR

xx，

2

222

2211

112

RRRRR

xxxx，

这里是

和

的相关系数，从

的方程中得到

212

RRRR

x，将

它代入2



的方程中，就从这两方程中消去了

，我们得到







2

212

RRRR





























，

它描述的是如前提到的

平面内的一条曲线。

注意到当



，



，



，



，保持不变时，

和

随着

改变。为

了强调

和

是变量，我们从现在开始舍去下标R。则前面关于2



的等式可

以被写为

2

2A，

其中A，



，2



是只依赖

和

的参数，且0A，02



。的确，



22

2211

RRRR

A













2121

RRRR











0(不等式成立是因为

11)

和





2121

222

RRRR











0(同样因为

11)

进一步，





2121

12212121

122

RRRR

RRRRRRRR













。

因此，可能的投资组合位于曲线

2

2A，0，

这是以

,

为顶点的一个双曲线的右边一半（见图10.1）。

注意，双曲线2

2A描述的是在风险（用



测量）和收益（用

测量）之间的交易。的确，沿双曲线的上半支，明显获得一个更加巨大的收益，

我们必须以更大的风险去投资一份组合投资；换句话说，“没有痛苦，没有取得。”

在双曲线的下半分支的组合，虽理论上是可能，但不会在实际中被选择。原因是

对任一个选择的风险水平



，具有标准差为



的上半支的投资组合总比具有标

准差为



的下半支的投资组合有更高的期望回报（即有更高的收益）。所以，将

总是更喜欢在下半支的组合。结果，只需要被进一步考虑的组合就是在上半分支

的那些。这些组合被认为是有效资产组合。一般地，一份有效资产组合是对一个

给定的风险水平能提供最高收益的组合。

确定最优投资组合

现在我们考虑在有效集中哪份组合是最佳的。要做到这点，我们需要考虑投

资者对风险的承受力。因为通常不同的投资者有不同的风险承受力，我们应该期

望每个投资者有一份不同的最优投资组合。我们很快看见这的确是实际情形。

考虑一个特殊投资者，假设这个投资者有能力对每个可能的投资回报分布

去指定一个数

，它具有以下性质：

1.

FUFU当且仅当这个投资者更喜欢以回报

投资，而不是以回报

投资。

2.

FUFU当且仅当这个投资者对选择以回报

投资和以回报

投

资漠不关心。

将分布函数映射到实数的函数U称为效用函数。注意通常不同的投资者有不同的

效用函数。

效用函数有许多不同的形式。简单起见，我们假设每个投资者有以下形式的

效用函数

2kFU



，

其中0k是一个测量投资者风险厌恶水平的值并且它对各个投资者是唯一的。

（这里，和



代表回报概率分布

的平均值和标准差)。对于假设一个这种

形式的效用函数有真正的理论原因。但是，为简单起见，我们略去细节。注意到

在假设一个效用函数具有这种形式时，我们暗含着假设在具有同样风险水平的投

资组合中，您是选择期望收益更大的，而在具有同样期望收益的投资组合中，选

择风险较少的。

对于一个有风险承受力水平k的投资者，投资组合最优化问题可以被如下陈

述：

最大化:2kU

满足:2

2A.

这是一个可求解的简单约束最优化问题，只须将条件代入目标函数，然后由单变

量微积分，使用标准最优化方法求解。或者这个优化问题也可用多元微积分中的

拉格朗日乘子法方法解决。

从图来看，U的最大值是满足抛物线

uk2

是双曲线

2

2A的切线的数

（参见图10.2。最优的投资组合在这个图用O

表示）。清楚地，最优的投资组合依赖于k的值，而k表示这个投资者的风险厌

恶水平。

详细进行最优化，我们发现当

和

都是两个风险保障时（即0





和0





)，

最优投资组合O的风险-收益坐标是

*

，

kA2

。

从

xx，可得出应该在

上投资的投资组合比例是





。

评述我们已经假设，没有保证金的短期销售是可能的（即我们已经假设

可

以是任一个实数值，包括在区间[0,1]之外的值）。在短期销售被限制的更加现

实的条件下，最优的投资组合也许与刚决定的不同。

例1:设债券基金的收益期望值为5%和标准差为12%，股票基金的收益期望值

为10%和标准差为20%。两种收益的相关系数是0.60。假设一个投资者的效用函

数具有形式2

100

U

。假设没有保证金的短期销售是可能的，确定投资者

在股票和债券之间的最优份额。

对这种类型的问题，习惯上假设，效用函数是用百分数度量。因此，如果

，

分别代表在证券和股票基金上的收益，则



56.312

100



，

612

100

102



。

注意，这样的度量也总可由k的适当选择而达到。

由已推出的公式，最优组合的期望收益是

kA2

，

这里

1001k

，





2121

12212121

122

RRRR

RRRRRRRR















201240.022012

1210201260.0105205







875.21

和





2121

RRRR

A











201240.022012

105







24.10。

因此，应该投资在债券中的投资组合的比例是







105

107578125.26





3515625.3。

这样，对一个$1000的投资组合，对卖出空头$3351.56的债券和投资$4351.56

到股票是最优的。

投资组合机会集合的特殊情况

我们用在一些特殊情况下强调投资组合机会集合的形式结束本节。从头到尾，

我们假设

和

是满足

和

的保证金（

且

的

情况不使人感兴趣，因为之后

总是比

好）。我们也假设不允许有空头位置。

资产是完全正相关的假设

1（即

和

完全正相关的）。则可能的投资组

合集合是一条直线，如图10.3.a所示。

资产是完全负相关的假设

1（即

和

完全负相关的）。则可能的投资

组合集合如图10.3.b所示。注意，在这种情形，构造一个完全套期保值资产组

合是可能的（即0的投资组合)。

资产是不相关的假设

0。则投资组合机会集合具有如图10.3.c所示的形式。

从这张图，很明显从只包括低风险保证金

的投资组合开始，利用将高风险保证

金

的一部分加到投资组合来减少风险和同时增加期望回报是可能的。因此，

即使具有低风险承受力水平的投资者也应该让他们投资组合的一部分投资在高

风险保证金

里（也可参见在8.3.3关于一个和的标准差的讨论）。

资产之一是无风险的假设

是无风险资产（即0





），令

r



，无风险

回报率。进一步，让S表示

，并且用



，



代替



，



。则有效集如下

给出











，0。

这是在斜率为

SfS

r和-截断为

r的风险-收益空间里的一条直线（参见

图10.3.d）。

10.2两个风险保证金和一个无风险资产的投资组合

现在假设，我们要从两个风险保证金和一个无风险资产构造一个投资组合。

这与在股票、债券、和短期货币市场保证金中配置资产问题相一致。让

，

表

示在风险保证金的收益并且假设

和

。进一步，让

r表示无风

险率。

有效集

从我们在10.1的讨论，我们知道只包括两个风险保证金

，

的投资组

合一定位于如图10.4所示的双曲线上。

我们主张当无风险资产也可利用时，有效集由过(0,

r)点的切线上的投资组合组

成（图10.5）。注意在这个图中

r是通过T的切线的-截距。

为看清为什么是这样，考虑一份只包括

和

的投资组合P，并且让T是切触

投资组合（既在双曲线上又在切线上的投资组合）。从我们在10.1的讨论，

我们知道，由风险投资组合P和无风险资产组成的每一投资组合位于过P和(0,

r)点的直线上，由切触投资组合T和无风险资产组成的每一投资组合位于过T

和(0,

r)的切线上（图10.6）。因此，从图10.6，很明显由P和无风险资产组

成的每一投资组合被由T和无风险资产的投资组合控制。的确，对任意给定的风

险水平

，在过T和(0,

r)的直线上都有一投资组合比在过P和(0,

r)的切线

上的相应投资组合具有更大的。因此，在将P作为我们投资组合的风险部分还

是将T作为风险部分的选择中，我们应该总是选择T。

因此，如前所述有效资产投资组合位于过(0,

r)和T的直线上。注意，特别地，

有效资产投资组合全部都有同样的风险部分T；在他们之中唯一的区别是被配置

到无风险资产中的比例。这个惊奇的结果，它为每个投资者对指数共同基金的使

用提供了一个理论的辩解，这是著名的共同基金分离定理。按照这个分离定理的

观点，投资组合选择问题被退化为确定一个投资者应该投资在无风险资产上的投

资组合的比例。当效用函数具有形式2kU

时，这是一个直接的问题（图

10.7)。投资者的优选投资组合在这个图上用O表示。细节留给读者。

确定切触投资组合

切触投资组合T具有性质：是双曲线上使比率





r

达最大的投资组合（说

服自己它就是这样的）。因此，确定T的坐标的一个方法是解以下最优化问题：

最大化：





f

r



满足：2

2A。

我们将用一个稍微不同的方式确定T的坐标，当风险保证金的数量大于２的时候

它更容易被采用。

回顾一下有效的投资组合是对于给定期望收益的一个水平，具有最少风险

（即最小的



）的组合。因此，有效集（我们已经知道它是过(0,

r)和T的直线）

可以由解下列最优化问题集族确定（对每一个）：

最小化：RVar

满足：RE

。

让

，

分别是被分配到

，

，和无风险资产的数额。则在这样一个投

资组合上的收益是

ryRyRyR

32211

，

因此

2

22112

2yyyyRVar

和



32211

yryyRE



，

这里

RE，

RVar2，且

jiji

RRCov,

。注意RVar

不含

的任何

项！因此，最优化问题可以被写成

最小化：2

22112

2yyyy好了歌甄士隐的解注 

满足：



32211

yryy

321

yyy

。

注意在这个优化中的条件与以下条件是等价的



fff

ryryr

2211

，

321

yyy

。

（将

321

yyy

代入第一个条件）。因为

唯一出现的位置是在条件

321

yyy

中，这意味着我们能解决一般优化问题，途径是首先解决下面更

加简单的问题

最小化：

满足：

fff

ryryr

2211

然后由

213

1yyy

确定

。事实上，因为在两个优化问题中要求

，

是相

同的，所以仍然能被最小化。

更加简单的优化问题可以运用拉格朗日乘子法解决。一般地，我们将有

g和

0g

，

这里

fff

ryryrg

2211

，



是拉格朗日乘子。字母为收益变

化比率2

r，一般被用在投资理论中，所以在这里将不被用于代表拉格朗

日乘子。进行必要的微分，我们获得





















































212







，

或者等价地，









































212





，

其中





，





。

注意拉格朗日乘子



将一般依赖于。

现在切触投资组合T位于有效集上并且有

y

的性质（即切触投资组合的

任何部份都不被投资在无风险资产上）。因此，对于切触投资组合

和

的值

被

1zz





，

2zz





给出，这里(

)是前面矩阵方程的唯一解。的确，因为T位于有效集上，我

们必须有(



(

)，并且因为

321

yyy

，我们必须有



12zz

。则对于切触投资组合，风险—收益坐标(





)被等式

2211

yy

，

21221

22yyyy

，

决定，这里

，

是刚被计算出来的比例。

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