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2023年4月19日发(所见古诗带拼音版 作者：areyoukidding)《点云-外⽂⽂献翻
译》part2ComputingandRenderingPointSet。。。
《点云-外⽂⽂献翻译》part2 Computing and Rendering Point Set Surfaces-Marc Alexa
Computing and Rendering Point Set Surfaces
Marc Alexa Johannes Behr Daniel Cohen-OrShachar Fleishman David Levin Claudio T. Silva
TU Darmstadt ZGDV DarmstadtTel Aviv UniversityTel Aviv UniversityTel Aviv UniversityAT&T Labs
摘要
我们主张使⽤点集来表⽰形状。 我们从靠近原始表⾯的⼀组点提供平滑歧管表⾯的定义。 定义基于差分⼏何的局部图，其
通过移动最⼩⼆乘法（MLS）的⽅法近似。 表⾯上的点的计算是局部的，这导致可以处理任何点集的核外技术。
我们显⽰近似误差是有界的并且呈现⼯具以增加或减少点的密度，因此，允许调整点之间的间距以控制误差。为了显⽰点集
表⾯，我们引⼊了⼀种新的点渲染技术。 这个想法是根据图像分辨率评估局部地图。 这将产⽣⾼质量的阴影效果和交互式
帧速率下的平滑轮廓。
CR分类：
I.3.3 [计算机图形]：图像/图像⽣成 鲁滨逊漂流记读后感500字 - 显⽰算法;
I.3.5 [计算机图形]：计算⼏何和对象建模 - 曲线，表⾯，实体和对象表⽰;
关键词：
表⾯表⽰和重建，移动最⼩⼆乘法，点样本渲染，3D采集
1 简介
点集作为计算机图形中的模型的表⽰正在受到越来越多的关注。其中⼀个原因是产⽣密集点集的负担得起和准确的扫描设备
的出现，这是物理模型的初始表⽰[34]。另⼀个原因是⾼度详细的表⾯需要⼤量的⼩图元，这在显⽰时有助于⼩于⼀个像
素，使得点成为有效的显⽰原语[41,46]。
基于点的表⽰应当尽可能⼩，同时传达形状，在该点集既不是噪声也不是冗余的意义上。在[1]中，我们提出了调整点的密度
⼯具，以便平滑的表⾯可以很好地重建。
图1显⽰了具有不同密度的点集。我们的⽅法是由微分⼏何的动机，旨在最⼩化近似的⼏何误差。这通过使⽤移动最⼩平⽅
（MLS）⽤多项式局部近似表⾯来完成。在这⾥，我们包括基础数学的证明和解释，详细说明⼀个更鲁棒的⽅法来计算表⾯
上的点，并导出近似误差的界限。
我们理解作为抽样过程的形状表⾯上的点的⽣成。通过上采样或下采样表⽰来调整点的数量。给定点P = {pi}（可能由3D扫
描装置获取）的数据集，我们基于输⼊点定义平滑表⾯SP（MLS表⾯）（表⾯的定义在第3节中给出）。我们建议⽤定义近
似SP的MLS表⾯SR的缩减集R = {ri}替换定义SP的点P.这个⼀般范例在图2中的2D中⽰出：点P，以紫⾊描绘，定义曲线
SP（也以紫⾊）。 SP⽤点ri∈SP（红点）重新采样。这种称为表⽰点的通常较轻的点集现在定义近似Sp的红⾊曲线SR。
与早期版本[1]相⽐，我们给出了关于表⾯定义的（计算）性质的更多和新的细节：
平滑流形：由点集定义的表⾯是2维流形，并且预期为C∞平滑，假定点⾜够接近所表⽰的平滑表⾯。
有限抽样误差：令SR由表⽰点集{ri}真⼦集SP定义。如果d（SP，SR）<，表⽰具有边界误差，其中d（，）是
⊂
Hausdorff距离。
局部计算：⽤于计算表⾯上的点只有⼀个需要该点的局部邻域。这导致⼩的存储器占⽤，其仅取决于预期的特征⼤⼩⽽不是
点数（与其他⼏个隐含表⾯定义相反，例如基于径向基函数的那些）。
除了给出来⾃[1]的渲染⽅法的更多实现细节，我们给出⼀个建⽴在这⾥介绍的误差界限上的理由。这种与有界错误的
连接⽀持了我们的渲染⽅案声明的属性：
⾼质量：由于SR是⼀个光滑的表⾯，适当的重新取样导致平滑的轮廓和法线，导致交互式帧速率的卓越渲染质量。
单步骤程序：重新采样涉及屏幕空间分辨率并保证⾜够的采样，即在后处理步骤中不必填充孔。
图1：代表天使雕像的点集。点的密度以及因此形状表⽰的精度沿着垂直⽅向（有意地）改变。
图2：范例的图⽰：可能的噪声或冗余点集（紫⾊点）定义了⼀个歧管（紫⾊曲线）。该歧管⽤（红⾊）表⽰点采样。 表⽰
点定义不同的歧管（红⾊曲线）。 表⽰点的间隔取决于所期望的近似精
度。
2、相关⼯作
合并（巩固）
最近的技术和算法的进步已经改进了3D模型的⾃动采集的过程。获取对象的⼏何形状始于数据采集，通常使⽤范围扫
描器执⾏。这个原始数据包含错误（例如，视线误差[21,47]），主要是由于所使⽤的传感器固有的噪声及其与所获取的真
实世界对象的相互作⽤。对于⼀个⾮平凡的对象，有必要执⾏多次扫描，每个在⾃⼰的坐标系统，并注册扫描[6]。通常，对
象的区域可能被来⾃从不同位置执⾏的扫描的若⼲样本覆盖。可以认为注册的输出是⼀个厚点集。
⼀种常见的⽅法是在粗点集上⽣成三⾓形表⾯模型。有⼏种有效的三⾓测量技术，如[2,3,5,7,17]。这种⽅法的缺点之
⼀是三⾓模型可能是粗糙的，包含隆起和其他类型的不期望的特征，例如孔和隧道，并且是⾮多元的。进⼀步处理三⾓模
型，如平滑[51,14]或歧管转换[20]，变得必要。突出的困难是点集可能不实际内插⼀个光滑的表⾯。我们称巩固是将点
集“按摩”到表⾯的过程。⼀些技术，如Hoppe等⼈[23]，Curless和Levoy [12]和Wheeler等⼈[55]通过使⽤基于体积
⽹格上定义的距离函数的隐式表⽰来巩固他们的采样数据。在[23]中，距离被作为到局部定义的切线计划的带符号距离。这
种技术需要进⼀步处理[24,22]以产⽣平滑的表⾯。 Curless和Levoy [12]使⽤范围扫描的结构，并且基本上扫描将每个范
围表⾯转换成体积，适当地对多次扫描区域进⾏加权。他们的技术对于噪声是鲁棒的，并且能够考虑样本的相对置信度。
Wheeler等⼈的⼯作[55]计算到通过不同扫描的加权平均定义的⼀致表⾯的有符号距离。体积⽅法的⼀个好的属性是，在某
些条件下可以证明输出是输⼊点的最⼩⼆乘拟合（见[12]）。
上述体积符号距离技术涉及由Kaufman及其同事[26,54,50]开创的计算机图形学中称为体积图形的新领域，其⽬的是
准确地定义如何直接处理体积数据，并回答与在表⾯和体积表⽰之间进⾏转换的正确⽅法。
还可以通过直接对数据点执⾏加权平均来合并点集。在[53]中，⾸先执⾏模型三⾓剖分，然后在重叠的区域中执⾏平
均。在[49]中，⾸先对数据点进⾏平均加权，通过每次测量的置信度，然后三⾓测量。
从数据点定义表⾯的另⼀种⽅法是执⾏某种类型的表⾯拟合[18]，例如对数据拟合多项式[31]或代数表⾯[42]。⼀般
来说，有必要知道数据的内在拓扑并且（有时）在表⾯拟合之前具有参数化。由于这是⼀个⾮平凡的任务，Krishnamurthy
和Levoy [28]提出了⼀种半⾃动技术拟合光滑表⾯到由Curless和Levoy创建的稠密多边形⽹格[12]。另⼀种形式的表⾯拟
合算法耦合某种形式的⾼级模型识别与拟合过程[44]。
在不同的设置中已经研究了采样（或重采样）表⾯的过程。例如，表⾯简化算法[9]以不同的⽅式对表⾯进⾏采样，以
优化渲染性能。与我们的⼯作相关的是使⽤粒⼦的算法表⾯采样系统。 Turk [52]提出了⼀种通过⾸先在三⾓形表⾯上随机
扩展点，然后通过让每个点排斥它们的邻居来优化它们的位置来计算三⾓形表⾯的细节⽔平的技术。他使⽤表⾯曲率的近似
来对应该放置在表⾯的给定区域中的点的数量进⾏加权。相关的⽅法是使⽤基于物理的粒⼦系统来对隐式表⾯进⾏采样
[56,13]。 Crossno和Angel [11]描述了⼀种⽤于对等值⾯进⾏采样的系统，其中它们使⽤曲率来⾃动调节排斥⼒。
Lee [30]使⽤移动最⼩⼆乘法来从⽆组织和噪声点重建曲线。他提出了通过稀疏点集来重建⼆维和三维曲线的解决⽅
案。虽然他的⽅法类似⼀个这⾥使⽤的（并基于[33]中开发的理论），他的投影过程是不同的，需要⼏个迭代收敛到⼀个⼲
净的点集（即，它实际上不是⼀个投影，但更多的收敛平滑步骤）。
Linsen提出了⼀种基于点的建模机制的替代⽅案[36]。他的⼯作是基于通过使⽤⾓度标准（即，邻域应该覆盖全部
360度）将点的k邻域扩展到“扇”。使⽤这个简单⽅案，Linsen提出了点云的各种操作，包括渲染，平滑和⼀些建模操
作。
点样本呈现
在Levoy和Whitting [35]的开创性⼯作之后，⼀些研究⼈员最近提出使⽤“点”作为基本渲染原语，⽽不是传统的渲
染原语，例如三⾓模型。这种趋势的主要原因之⼀是在复杂模型中，三⾓形的⼤⼩正在逐渐减⼩到像素分辨率。这对于作
为“纹理”点云获得的真实世界对象尤其如此[39]。
Grossman和Dally [19]提出了将⼏何模型转换为点采样数据集的技术以及有效地渲染点集的算法。他们的技术解决⼏
个基本问题，包括从三⾓形到点的转换的采样率，以及若⼲渲染问题，包括处理渲染图像中的“间隙”和⾼效的可见性数据
结构。 Pfister等⼈[41]的Surfels技术构建和改进了这个早期的⼯作。他们提出了⽤于三⾓形⽹格的采样的替代技术，包括
可见性测试，
纹理过滤和阴影。
Rusinkiewicz和Levoy [46]介绍了⼀种使⽤不同半径球体的层次结构来模拟⾼分辨率模型的技术。他们的技术使⽤⼩
球体以最⾼分辨率建模顶点，并使⽤⼀组有界球体建模中间⽔平。与每个球形样本⼀起，它们还保存其他相关数据，例如法
线。它们的系统能够进⾏时间关键的渲染，因为它使树遍历的深度适应于渲染给定帧的可⽤时间。在[45]中，他们展⽰了他
们的系统如何⽤于通过⽹络流模型。
Kalaiah和Varshney介绍了⼀种有效的渲染点图元的⽅法，需要计算每个点的主曲率和局部坐标系[25]。他们的⽅法
渲染表⾯作为局部邻域的集合，并且它类似于稍后提出的渲染技术
他们不使⽤系统中的动态细节级别。
所有上述技术说明了局部照明。 Schaufler和Jensen [48]提出通过射线跟踪技术直接对点采样的⼏何计算全局照明
效应。基于表⾯的局部近似计算实际交点，假设表⾯的均匀采样。
基于点的渲染受限于表⽰模型的固定数量的采样点的有限分辨率。在某个距离处，屏幕空间分辨率相对于点样本较
⾼，这导致⽋采样。通过内插图像空间中的表⾯点来解决这个问题是有限的。更好的⽅法是在对象空间中以期望的分辨率再
现样本表⾯，保证采样密度相对于图像空间分辨率是⾜够的。
已经提出了混合多边形点⽅法。 Cohenet al [10]引⼊了⼀种简化技术，它将三⾓形转换为（可能是多个）点以便更快
地渲染。他们的系统使⽤DeFloriani等⼈的多三⾓测量的扩展数据结构[15,16]。类似的系统已经由Chen和Nguyen [8]开
发作为QSplat的扩展。
图3：MLS投影过程：⾸先，⽣成紫⾊点r的局部参考域H. r到H的投影定义其原点q（红点）。然后，计算相对于H上的点pi
的⾼度fi的局部多项式近似g。在这两种情况下，每个pi的权重是到q的距离（红点）的函数。 r到g（蓝点）上的投影是
MLS投影过程的结果。
3 定义表⾯ - 投影
我们的⽅法依赖于给定点集隐含地定义表⾯的想法。我们基于Levin最近的⼯作[33]。主要思想是投影过程的定义，它
将点集附近的任何点投影到表⾯上。然后，MLS表⾯被定义为投射到它们⾃⾝上的点。接下来，我们解释投影过程，证明投
影和歧管属性，激励平滑性猜想，并且详细说明如何有效地计算投影。
3.1 投影过程（程序）
从表⾯S（可能具有测量噪声）采样点p∈R^3，i∈{1，...，N}。⽬标是将接近S的点r∈R投影到接近pi的⼆维表⾯
i
S上。以下过程由微分⼏何形状激励，即表⾯可以由⼀个⽅程来局部近似。
P
1.参考域：找到r的本地参考域（平⾯）（参见图3）。计算局部平⾯H = {x |
0，x∈R^3}，n∈R^3，||n|| = 1，以便使点p到平⾯的平⽅距离的局部加权和最⼩化。附加到p的权重被定义为p《青莲剑歌》全诗 到r在平
iii
⾯H上的投影的距离的函数，⽽不是到r的距离。假设q是r到H的投影，则通过局部最⼩化来找到H.
(i= 1N) (
其中是平滑的单调递减函数，其在整个空间上是正的。通过为⼀些t∈R设置q = r + tn，（1）可以重写为：
(i= 1N)
我们定义算⼦Q（r）= q = r + tn作为⽅程的局部最⼩值。 2具有最⼩的t并且局部切平⾯H相应地在r附近。然后通过
H上的正交坐标系给出局部参考域，使得q是该系统的原点。
2.局部映射：r的参考域⽤于计算局部⼆元多项式近似于r的邻域中的表⾯（参见图3）。令qi为pi在H上的投影，fi为
pi在H上的⾼度，即fi = n（pi-q）。计算多项式近似g的系数，使得加权最⼩⼆乘误差
(i= 1N) (g(xi，yi)-f)^2 ||pi -q||) （3）
i
最⼩化。这⾥（xi，yi）是在H中的局部坐标系中的qi的表⽰。注意，⽤于权重函数的距离同样来⾃r的投影
r到S上的投影P由原点处的多项式值定义，即P(r)= q + g(0,0)n = r +(t + g(0,0))n。
P
3.2 投影过程的特性
在我们的应⽤场景中，投影属性(即P(P(r))= P(r))是⾮常重要的：我们想使⽤上述过程来精确地计算表⾯上的点。使⽤
投影算⼦的含义是，我们投影的点集和我们投影的点的顺序不会改变曲⾯。
从公式从图2可以清楚地看到，如果（t，n）是r的最⼩值，那么（s，n）是r +（s-t）n的最⼩值。假设最⼩化在邻域
U∈R3中是全局的，则Q是U中的投影运算，因为对（0，n）是r-tn = q的最⼩化。进⼀步，也是q + g（0,0）n = r +（t
+ g（0,0））n是最⼩化因⼦，
我们想强调的是，投影属性是使⽤距离q⽽不是r的结果。如果取决于r，则该过程将不是投影，因为的值将沿着法
线⽅向改变。
表⾯S形式上被定义为R^3中投射到其⾃⾝上的所有点的⼦集。⼀个简单的计数参数显⽰，这个⼦集是⼀个双参数
P
族，因此，S是⼀个⼆维流形。等式2基本上具有6个⾃由度：对于r为3，n为2，t为1。另⼀⽅⾯，存在4个独⽴的必要条
P
件：对于局部最⼩值，法线和t的偏导数必须为零，并且对于r在表⾯上t = 0是必要的。这为表⾯留下6 - 4 = 2个⾃由参
数。从简单的例⼦清楚的是琵琶行白居易原全文 ，参数族包括不能被表⽰为R^2上的函数的流形。
这种表⾯定义的特殊的魅⼒是它避免了分段参数化。没有在平⾯件上参数化表⾯的⼦集，但是每个单个点都具有其⾃⼰
的⽀撑平⾯。这避免了对于形状的分段参数化的常见问题，例如。参数化依赖性，参数化中的失真以及沿着⽚段边界的连续
性问题。
然⽽，在这种⽅法中，我们具有证明表⾯上的任何点的连续性的问题，因为它的邻居通常具有不同的⽀撑平⾯。当
然，S∈C∞的直觉是（1）解释为函数R^6→R是C∞，从⽽其梯度的特定核是C∞。
P
单点的近似主要由径向权重函数决定。 [33]中提出的权重函数是⾼斯函数
（d）= e（-d ^ 2 / h ^ 2） (4)
其中h是反映相邻点之间的预期间隔的固定参数。 通过改变h，可以调整表⾯以平滑出S中的⼤⼩
地，h的⼩值使得⾼斯衰减得更快，并且近似更局部。 相反，h的⼤值导致更全局的近似，平滑表⾯的尖锐或振荡特征。 图
4⽰出了不同h值的效果。
图4：不同值对参数h的影响。 代表阿芙罗狄蒂雕像的点集定义了MLS表⾯。 左侧⽰出了由⼩值导致的MLS表⾯，
并且揭⽰了表⾯微结构。 右侧显⽰h的较⼤值，平滑⼩特征或噪声。
3.3 计算投影
我们解释如何有效地计算投影和什么值应该选择多项式度和h。此外，我们讨论精度和速度之间的折衷。
投影过程的步骤1是⾮线性优化问题。通常， 2将有多个本地最⼩值。根据定义，必须选择具有最⼩t的局部
最⼩值，这意味着平⾯应该接近r。为了最⼩化（2），我们必须使⽤⼀些迭代⽅案，下降到下⼀个局部最⼩值。
没有任何附加信息，我们从t = 0开始，⾸先近似法线。注意，在这种情况下，权重=(||pr||)是固定的。
ii -
令B = {b}，B∈R^(33)，定义加权协⽅差矩阵
jk
b =(i)i( pij - rj)(pik - rk)
jk李清照宋词
然后，最⼩化问题（2）可以重写为双线性形式
min (|| n || = 1 ) n^T Bn （5）
并且最⼩化问题的解作为对应于最⼩特征值的B的特征向量给出。
如果计算（或预先知道）法线是固定的，并且相对于t使函数最⼩化。这是⼀维中的⾮线性最⼩化问题。⼀般来
说，使⽤确定性数值⽅法是不可解的，因为最⼩值的数量仅受点p i的数量N限制。然⽽，在所有实际情况下，我们发
现对于t∈[-h / 2，h / 2]，只有⼀个局部最⼩值。这直观地清楚，因为h连接到特征尺⼨，并且⼩于h的特征被平滑，即
具有⼩于h的距离的特征不提供⼏个最⼩值。因此，我们假设要投影的任何点r距离其投影最多h / 2。在所有我们的实
际应⽤中，这⾃然是令⼈满意的。
使⽤这些先决条件，局部最⼩值⽤h / 2括起来。偏导数
可以⽅便地与函数本⾝⼀起评估。该导数在⼀个简单的迭代最⼩化⽅案中被利⽤，如[43，Chapter 10.3]中所述。
⼀旦t ! = 0，固定t和相对于法线⽅向的最⼩化也是⾮线性问题，因为q = r + t n改变，因此权重也改变。搜索空间
可以被可视化为具有中⼼点r和半径t的球⾯的切⾯。然⽽，在实践中，我们已经发现正常（或q）仅稍微改变，使得我
们在r + tn的当前值周围近似球体作为当前平⾯定义的t和n。在该平⾯上，使⽤共轭梯度⽅案[43]在平⾯上的所有q中
最⼩化。主要思想是固定⼀个⽤于最⼩化的⼦空间，其中n不能消失，从⽽总是满⾜约束knk = 1。使⽤简单的线性⼦
空间使得偏导数的计算有效，因此，共轭梯度⽅法可应⽤。显然，这个搜索空间有效地改变t导致理论上更差的收敛
⾏为。在实践中，球和平⾯之间的差对于感兴趣的区域是⼩的，并且效果不明显。
使⽤这些块计算⽀持平⾯的整体实现如下：
点中的初始正态估计：点中的法线可以作为输⼊的⼀部分（例如，从距离图像的估计）给出，或者可以在细化点
集表⾯（例如，从已处理的点集中的近点）时计算。如果没有正态可⽤，则使⽤加权协⽅差矩阵B的特征向量来计算。
迭代⾮线性最⼩化：只要任何参数改变超过预定义的，就重复以下两个步骤：
1.沿t最⼩化，其中最⼩值最初被括号括起来为t =h / 2。
2.使⽤共轭梯度将当前平⾯H：（t，n）上的q最⼩化。 q = r + tn的新值导致对（t，n）的新值。
最后⼀对（t，n）定义了所得到的⽀撑平⾯H。
投影过程的第⼆步是标准线性最⼩⼆乘问题：⼀旦计算平⾯H，权重i=（kpi-qk）是已知的。
在多项式（3）的未知系数上的梯度导致⼤⼩等于系数数⽬的线性⽅程组，例如， 10为三阶多项式。
通过实验，我们发现⾼次多项式很可能振荡。结果证明3⾄4阶的多项式是⾮常有⽤的，因为它们对邻域能够
产⽣良好的拟合，不振荡，并且快速计算。
3.4 数据结构和权衡
计算点r的投影的最耗时的步骤是从每个pi收集系数（即计算总和）。实施天真地，该过程需要O（N）时间，其
中N是点的数量。我们利⽤的效果快速下降的重量函数有两种：
1.在距离r⼀定距离处，权重函数实际上为零。我们称之为忽略距离dn，它只取决于h。单元格⼤⼩为2dn的规则⽹格
⽤于分割点集。对于每个投影操作，需要最多8个单元。这导致⾮常⼩的存储器脚印并且产⽣简单和有效的核外实现，
这使得该⽅法的存储需求独⽴于点集的总⼤⼩。
2.仅使⽤选定的单元格，使⽤从N体问题的解决⽅案启发的分层⽅法收集术语[4]。基本的观察是，远离r的点簇可以组
合成⼀个点。为了利⽤这个想法，每个单元被组织为⼋叉树。叶节点包含pi;内部节点包含关于⼦树中点的数量及其质
⼼的信息。然后，从⼋叉树的节点收集项。如果节点的维度远⼩于其到r的距离，则使⽤质⼼来计算系数;否则遍历⼦树
。此外，如果它们到r的距离⼤于dn，整个节点可以被忽略。
通过使⽤紧凑⽀持的加权函数，忽略点的想法也可以独⽴于数值问题。然⽽，权重函数必须是平滑的。这种替代⽅
案的⽰例是（x）= 2x3-32 + 1。交易速度精度的简单⽅法是假设平⾯H穿过要投影的点。这个假设对于期望接近其定
义的表⾯（例如已经平滑的输⼊）的输⼊点是合理的。这种简化节省了迭代最⼩化⽅案的成本。
3.5 结果
投影过程的实际时间很⼤程度上取决于特征尺⼨h。在标准的奔腾PC上，兔⼦的点以每秒1500-3500点的速度投射。
这意味着兔⼦的36K点被投影到他们在10-30秒内定义的表⾯上。更⼩的h值导致更快的投影，因为邻域和因此考虑的点
的数量更⼩。
如前所述，存储器要求主要取决于局部特征尺⼨h。只要h相对于模型的总直径较⼩，则投影过程的主存储器的使⽤是
可忽略的。
4 近似误差
再次考虑图2中描绘的设置。输⼊点{pi}定义表⾯SP，其然后由⼀组点{ri}∈SP表⽰。然⽽，集合{ri}定义近似SP的表⾯
SR。⾃然地，我们希望具有SR和SP之间的距离的上限。
从微分⼏何，我们知道光滑表⾯可以局部表⽰为局部坐标系统上的函数。我们还知道，在通过总度m的多项式g近似
⼆元函数f时，近似误差为||g-f||≤Mhm + 1 [32]。常数M涉及f的（m + 1）个导数，即M∈O（||f^（m + 1）||）。在表
近似的情况下，由于SP是⽆限平滑的，存在包括SP的（m + 1）个导数的常数M m + 1，使得
|| SP-SR || ≤Mm+ 1h ^ m + 1 （7）
其中使⽤m次多项式来计算SR。
注意，该误差界限适⽤于MLS表⾯SR，其通过应⽤于数据集R的投影过程使⽤与SP相同的参数h获得。此外，相同
类型的近似顺序适⽤于分段近似：假设每个点ri定义⽀撑平⾯，使得SP是在平⾯上围绕ri的补⽚[-h，h] 2上的函数，并且
此外， ri}在表⾯上没有留出半径⼤于h的孔。然后，上述⾃变量保持，并且围绕点ri的局部，不⼀致的多项式补⽚Gi的并
集的近似误差近似为SP
|| SP-UGi || ≤Mm+ 1h ^ m + 1. （8）
这⾥，Gi是由针对点ri的MLS多项式gi定义的多项式平⽅，其中相应的参考平⾯Hi具有正常ni，对应的正交系统{ui，vi，ni}
和原点qi。
Gi = {qi + xui + yvi + gi（x，y）ni | （x，y）∈[-h，h] 2}. （9）
这些误差界限很好地解释了为什么曲率（参见例如[17]）是分段线性近似（⽹格）的重要标准：分段线性函数的误差线
性地依赖于⼆阶导数和点的间隔。这意味着，曲率较⾼时需要更多的点。
然⽽，当⽤更⾼阶多项式近似表⾯时，曲率与近似误差⽆关。使⽤三次多项式，近似误差取决于表⾯的四阶导数。注
意，我们的视觉系统不能检测超过⼆阶的平滑性[38]。从这个⾓度来看，采样密度局部地取决于“不可见”标准。我们发现⾜
以固定SP上的点ri的间距h。较⼩的h将导致误差较⼩。然⽽，使⽤较⾼阶多项式近似SP导致当h减⼩时误差较快地减⼩。
5 ⽣成表⽰点集
给定的点集合可能具有错误的点位置（即，噪声），可能包含太多的点（即，冗余的）或不⾜够的点（即，⽋采样）。
通过将点投影到它们定义的MLS表⾯上来处理噪声问题。 投影过程的结果是薄点集。 通过抽取点集来避免冗余，注意它仍
然是⼀个很好的近似由原点集定义的MLS表⾯。 在⽋采样的情况下，输⼊点集合需要被上采样。 在以下部分中，我们将显⽰删
除和添加点的技巧。
图5说明了在佛像的例⼦中重采样的想法。 使⽤下⾯给出的技术，可以重新采样⼏何形状以在表⾯上均匀采样。
(a) (b) (c)
图5：距离扫描装置或来⾃加⼯⽹格的顶点获得的点通常在表⾯（a）上具有不均匀的采样密度。 这⾥讨论的采样技术允许
均匀地重新采样对象（b），以确保⾜够的密度⽤于进⼀步的处理步骤，例如渲染（c）。
5.1 下采样
给定点集，抽取过程重复地去除对形状贡献最⼩量的信息的点。⼀个点对采样的形状或误差的贡献由形状的定义决定。
如果点集通过三⾓形重建，则来⾃特定的标准三⾓测量算法应该控制重采样。标准包括表⾯[23]上的点的距离，曲率[17]或
距形状[2]的中轴的距离。对于在屏幕上设置的点的直接显⽰，需要在表⾯上点的均匀分布[19,41]。在这⾥，我们推导出⼀
个由我们的表⾯定义激发的标准。
可以通过将SP与SP- {pi}进⾏⽐较来估计投影点p1对表⾯SP的贡献。计算两个表⾯之间的Hausdorff distance(豪斯
多夫距离)是昂贵的，并且不适合于迭代地去除⼤点集的点。相反，我们通过其从其投影到表⾯SP- {pi}的距离来近似pi的贡
献。因此，我们通过将pi投影到SP- {pi}（假设它不是P的⼀部分）期间估计SP和SP- {pi}的差异。
所有点的贡献值被插⼊到优先级队列中。在抽取过程的每个步骤，从点集和从优先级队列中去除具有最有板有眼的意思 ⼩误差的点。
在移除点之后，必须重新计算附近点的误差值，因为它们可能已被去除影响。重复该过程，直到达到期望数量的点或者所有
点的贡献超过某个预先指定的界限。
图6说明了我们对（a）中描述的红点集合应⽤的抽取过程。⾸先，红点被投影在MLS表⾯上以产⽣蓝点。在⼀部分点
上的特写视图⽰出了输⼊（红⾊）点和投影点之间的关系。在（b）中，我们显⽰抽取过程的三个快照，其中点根据其误差
值着⾊;蓝⾊表⽰低误差，红⾊表⽰⾼误差。请注意，在最稀疏的集合中，所有点都有很⾼的错误，也就是说，它们的删除会
导致很⼤的错误。随着抽取的进⾏，更少的点保留并且它们的重要性增加，并且与它们相关联的误差更⼤。图7⽰出了利⽤
点集的相应渲染的3D抽取过程。
图6：噪声输⼊点（绿⾊点）投影到其平滑的MLS曲线（橙⾊点）。 （a）中的数字表⽰点集和特写视图。 抽取过程如
（b）所⽰。 点的颜⾊编码如图7所⽰。
(a) (b) (c) (d) (e)
图7：代表阿芙罗狄蒂雕像的点集投影到平滑的MLS表⾯上。 删除冗余点后，⼀组37K个点表⽰雕像（a）。 相应的渲染如
（b）所⽰。 使⽤点移除来抽取点集。 还原过程的中间阶段如（c）所⽰。 注意，这些点相对于它们的重要性是彩⾊编码
的。 蓝点对形状的贡献不⼤，可能会被移除; 红点对于形状的定义很重要。 在（e）中设置的最终点包含20K个点。 相应的
渲染在（d）中⽰出，并且在视觉上接近（b）中的⼀个。
图8：上采样过程：在Voronoi图的顶点处添加点。 在每个步骤中，选择具有最⼤空⼼圆的顶点。 重复该过程，直到最
⼤圆的半径⼩于指定界限。 波浪圈原来由800点组成的环⾯上采样到20K点。
5.2 上采样
在⼀些情况下，点集的密度可能不⾜以⽤于预期使⽤（例如直接点渲染或分段重建）。受第4节中出现的误差界限的
影响，我们尝试减少点之间的间距。附加点应该放置（然后投影到MLS表⾯），其中点之间的间距⼤于指定的界限。
我们的⽅法的基本思想是在MLS表⾯上计算Voronoi图并在该图的顶点添加点。注意，Voronoi图的顶点正好是表⾯上
与⼏个现有点具有最⼤距离的那些点。这个想法是与Lloyd(劳埃德)的⽅法[37]，即使⽤Voronoi图实现⼀定的点分布的技
术[40]。
然⽽，计算MLS表⾯上的Voronoi图是过度的，⽽是使⽤局部近似。更具体地说，我们的技术⼯作如下：在每个步骤
中，随机选择现有点之⼀。构建局部线性近似，并且将附近的点投影到该平⾯上。计算这些点的Voronoi图。每个Voronoi
顶点是接触三个或更多个点⽽不包括任何点的圆的中⼼。选择具有最⼤半径的圆，并将其中⼼投影到MLS表⾯。该过程被
迭代地重复，直到最⼤圆的半径⼩于⽤户指定的阈值。 （参见图8）。在该过程结束时，点的密度在表⾯上局部接近均匀。
图8显⽰了包含800点的原始稀疏点集，以及在其MLS表⾯上添加20K点之后的相同对象。
6 渲染
我们的交互点渲染⽅法的挑战是使⽤表⽰点和（在必要时）通过以⾜以符合屏幕空间分辨率的分辨率对隐式定义的表⾯
进⾏采样来创建新的点（参见图9以说明该⽅法） 。
图9：可以使⽤向上采样在表⾯上⽣成⾜够的点以符合要渲染的图像的分辨率。 右图显⽰了⽤splats渲染的特写。
通常，表⽰点不⾜以在屏幕空间中呈酒字组词语 现对象。在⼀些区域中，不必渲染所有点，因为它们被遮挡，背⾯或具有⽐所需的
更⾼的密度。然⽽，通常，点不够密，不能直接投影为单个像素，需要更多的点通过对象空间中的插值⽣成。
6.1 剔除和视图依赖
我们的渲染系统的结构类似于QSplat [46]。输⼊点被布置成边界球体层次。对于每个节点，我们存储位置，半径，法线
覆盖和可选的颜⾊。叶节点还存储⽀持平⾯的⽅向和相关联的多项式的系数。层次结构⽤于剔除具有视⾓平截头体的节点，
并应⽤分级背景剔除[29]。注意，剔除对于我们的⽅法是重要的，因为渲染叶节点（评估多项式）的成本与较简单的原语相
⽐相对较⾼。此外，如果遍历到达具有投影到⼩于像素的⼤⼩的范围的节点，则该节点简单地投影到帧缓冲器⽽不遍历其⼦
树。当遍历到达叶节点并且其边界球的范围在屏幕空间中投影到多于⼀个像素时，附加点必须⽣成。
叶节点中的边界球的半径被简单地设置为预期特征尺⼨h。内节点的边界球⾃然地束缚了其所有⼦树的边界球。为了计
算像素空间中的边界球体的尺⼨，通过模型视图变换来缩放半径，然后除以z⽅向上的中⼼和眼点的距离以适应投影变换。
6.2 抽取其他点
基本思想是⽣成⾜以覆盖叶节点范围的点⽹格。然⽽，使⽤第3节中描述的⽅法投影⽹格点在交互式应⽤中太慢。我们的
交互式渲染⽅法的主要思想是对与表⽰点相关联的多项式进⾏采样，⽽不是真正投影点。
显然，这些多项式补⽚的并集不是连续表⾯。然⽽，这种近似的Hausdorff误差不⽐通过使⽤算⼦P投影每个点计算的表
⾯的误差（见第4节）更差。由于对象空间中的Hausdorff误差限制了屏幕空间误差，误差界限可以⽤于使近似误差在所得到
的图像中不可见。
然⽽，为了符合第4节中提出的要求，点集和相关的多边形要求在表⾯上接近均匀。可能有必要⾸先使⽤在中提出的上
采样⽅法处理给定的点集这样，我们确保局部的，⾮⼀致的（即重叠或相交的）多项式是围绕点的块[-h，h] ^2内的表⾯的良
好近似，因此，所得到的图像⽰出光滑的表⾯。然⽽，最密集的点集可以容易地显⽰与这⾥介绍的⽅法。例如，图11显⽰了
原始斯坦福兔⼦数据的⼏种绘制。
正确地定义⽀持平⾯上的多项式补丁的范围是⾄关重要的，以使得相邻补⽚被保证重叠（以避免空洞），但不会超过
必要的重叠。由于没有可⽤的点间连接性信息，不清楚哪些点是⼀个给定点的直接邻居表⾯。
为了计算与⽀撑平⾯H上的点pi相关联的多项式补⽚的范围，收集围绕投影q = Q（pi）的半径为h的球内的所有点。这
些点投影到⽀撑平⾯H，这导致每个投影点的局部（u，v）坐标。该范围由包围所有投影点的围绕q的圆定义。更具体地，
假设q具有局部坐标（0,0），圆的半径由投影点的所有局部（u，v）坐标的最⼤2-范数给出。由于点的间隔预期⼩于h，
因此相邻点的斑点被保证重叠。
注意，使⽤恒定范围（例如在⽀撑平⾯上的半径为h的盘）可能导致误差，因为H上的多项式g可能留下半径为h的球，
其中期望点集的良好近似。图10⽰出了块⼤⼩（patch size）的计算。
图10：多项式的块⼤⼩(patch size)：围绕红点r的半径为h的球内的点被投影到红点的⽀撑平⾯上。块⼤⼩(patch size)定
义为投影的边界圆盘（在局部坐标中）。 注意，使⽤半径为h的盘将在⼀些情况下产⽣不好的效果，因为多项式可能远
离半径为h的球。
⽹格间距d应当被计算为使得相邻点具有⼩于像素的屏幕空间距离。因此，⽹格间隔取决于多点贴⽚相对于屏幕的
取向。由于每个多边形补丁上的法线发⽣变化，我们宁可使⽤简单的启发式来保守估计d：计算⽹格间距d，使得垂直于
观察⽅向的⽹格在图像空间中被充分采样。
如果⽹格确实垂直于观察⽅向，则对多项式的采样也是正确的。如果⽹格不垂直于观察⽅向，则取决于⽀撑平⾯的取
向和多边形的导数，投影区域可能被过采样或⽋采样。然⽽，注意，如果导数⼩于1，则保证⾜够的采样。在实践中，
我们很少遇到更⾼的导数，因此我们决定不评估所有多项式补⽚的最⼤导数。然⽽，这可以在预处理中完成，并且密度
可以相应地调整。
在取决于视图的⽹格间距d的情况下，多项式通过前向差分⽅法来评估，其中多项式在其局部u，v参数空间中跨越其
范围进⾏扫描。仿射图从⽀持平⾯坐标转换到世界
坐标被考虑到多项式求值中，因此，在世界坐标中产⽣点。这些点然后被馈送到图形管线中以被投影到屏幕。
令⼈惊讶的是，我们发现四分之⼀⽹格的当前图形硬件⽐⼀组点更快地处理。为此，我们使⽤四边形⽹格来表⽰多
项式补丁。这具有额外的优点，即在懒惰评估（见下⽂）中没有出现空洞。
6.3 ⽹格⾦字塔
时间关键因素是多项式上的点的视图相关评估。最佳地，每当投影屏幕空间⼤⼩改变时，重新计算这些。为了加速
渲染过程，我们存储具有每个表⽰点的各种分辨率的⽹格⾦字塔。最初，创建⾦字塔级别，但没有
⽹格实际上是评估。当需要特定⽹格分辨率时，系统创建并存储对于特定分辨率略微过采样多项式的⽔平，使得观看
位置的⼩变化不导致新的评估。
为了增强我们的⽅法的交互性，我们在旋转或缩放期间使⽤惰性求值。⼀旦观察者停⽌移动，从⾦字塔中选择适当
的⽹格。
6.4 结果
我们已经测试了我们对各种点集的⽅法。图11显⽰了斯坦福兔⼦的效果图。在（a）中，⽰出了原始点集。 Splatting
（b）没有导致好的结果，因为模型不够密集地采样。 （c）和（g）中的传统Gouraud阴影⽹格与我们的⽅法进⾏⽐较
在（d）和（h）中。注意亮点的准确性。不相符的局部多项式区块在（e）和（f）中显⽰为彩⾊编码。在图12中给出了
⽤于展⽰正常连续性的环境映射的⽰例。注意，轮廓和法线是平滑的，这导致在边界和反射上较少的失真。
(a) (b) (c) (d)
(d) (f) (g) (h)
图11：斯坦福兔⼦：定义兔⼦的点在（a）中描述（⼀些点被剔除）。 在（b）中分割点以满⾜屏幕空间分辨率。 注
意分段线性⽹格在点（c）和特写（g）与不合格多项式块(polynomial patches)（d）和（h）的渲染之间的差异。 块
(patches)在（e）和（f）中进⾏颜⾊编码。
图12：⽹格渲染与我们的技术与环境映射的⽐较。 左列显⽰了由1000个顶点组成的⽹格的渲染。 右列显⽰了我们
使⽤顶点作为输⼊点的技术。 环境映射强调改进的法向和边界连续性。
我们实现的帧速率主要由可见表⽰点的数量（即图遍历时间）和要填充的像素数量决定。本⽂中描述的所有模型在
5122屏幕窗⼝中以超过5帧/秒的速度显⽰（有关详细信息惠灵顿 ，请参阅随附的视频）。表⽰点的数量范围从1000（对于环
⾯）到900K（对于天使雕像）。测试在具有GeForce2图形板的PC上执⾏。
7 结论
在微分⼏何中，光滑表⾯的特征在于在任何点处存在平滑局部图。在这项⼯作中，我们使⽤它作为⼀个框架来近似由
⼀组点定义的光滑表⾯，我们引⼊了新的技术来重新取样表⾯以⽣成表⾯的适当表⽰。
为了渲染这样的表⾯，表⾯被有限数量的尽可能⼩的不⼀致的，重叠的多项式补⽚覆盖。我们表明这些近似的误差是
有界的，并取决于点之间的间距。因此，可以提供符合a的点集表⽰指定公差。
我们的表⽰表⾯的范例主张使⽤点集（⽆连接）作为形状的表⽰。该表⽰在从图形表⽰的⽣命周期的开始（即获取）
到结束（即，呈现）使⽤的意义上是通⽤的。此外，我们认为这项⼯作是向着⾼阶多项式呈现的⼀个步骤。注意，我们
已经使⽤了简单的原语（点）来实现这个⽬标。这承认了当前将⾼质量渲染功能集成到图形硬件中的趋势。
将我们的⽅法与诸如Amenta等⼈的组合⽅法[2]相结合将是有趣的。这将拓扑保证与⾼阶近似的附加精度以及平滑噪
声或⼩特征的可能性结合。
使⽤h的不同值，可以容易地从⼀个点集⽣成更平滑或更详细的表⾯版本（例如，参见图4）。⼀组不同的版本可以
⽤作平滑到详细的层次结构，并允许多分辨率建模[27]。当然，h不⼀定是全局参数并且可以适应于局部特征尺⼨。变化
h在处理点集中具有⼏个含义和效⽤（参见[30]对⼆维问题的良好介绍），例如在采集过程中适当地考虑采样率和噪声⽔
平的差异。此外，⾮径向函数可能是必要的，以适当地考虑到模型中的尖锐特征。
致谢
我们衷⼼感谢Markus Gross，Jorg Peters，Ulrich Reif和⼏位匿名审稿⼈的有益评论。 - 这项⼯作得到了以⾊列科
学部的资助，GIF（德国以⾊列基⾦会）的拨款和赠款从以⾊列科学院（英才中⼼）。兔⼦模型由斯坦福计算机图形实
验室提供。图1中的天使雕像由Peter Neugebauer在德国达姆施塔特的Fraunhofer IGD使⽤结构化光扫描器和QTSculptor
系统扫描。
边际消费倾向的英文费倾向翻译费倾向英语怎-药家鑫注射死刑
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