高中数学应用题难度要素探析-精品文档

2024年1月6日发(作者：考研数学试卷结构分布图高清)

高中数学应用题难度要素探析

数学应用题亦是一种数学问题，通常把来源于客观世界的实际且具有实际意义或实际背景的、要求通过数学建模方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题称为数学应用题.

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“要有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力”.与此相适应地，高中数学课标教材明显加重了数学应用份量，数学应用越来越广泛，应用题考查的重要性愈显突出.但现状表明，“数学应用题问题”仍是长期困扰学生和教师的难题.基于此，笔者认为，为加强学生的数学应用意识，为培养学生对数学的兴趣，对高考数学应用题难度要素的研究尤为重要.

1 影响数学应用题难度的因素

应用题的命制是高考命题的一大难点，若命制成功，则极易成为整卷的亮点；毋庸置疑，若命制的质量较为一般，则起不到应有的考查功能.试题难度是试卷参数中的一个重要指标，代表了试题对学生知识和能力水平的适合程度.对难度的调控就是正确实现考核要求的有效手段.在高考数学应用题中，对难度的影响主要体现在以下几个方面：

1.1 应用题的背景

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》

中提出了“优先发展、育人为本、改革创新、促进公平、提高质量”.把促进公平作为国家基本教育政策.教育公平是社会公平的重要基础，教育公平的关键是机会公平.高考承担着教育筛选和社会筛选的双重功能，所以高考数学应用题的背景的公平性至关重要.挑选的情景材料对于所有学生来说均熟悉，方能保障考试的公平性.要考虑试题中情景材料对学生的影响，消除城乡差别、地区差别、性别差别、贫富差别等对答题的影响.

例1 （1999年高考全国大纲卷·理22）下图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对冷轧棍组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

本题在生活中有较多的实例题目，涉及到球和圆柱构成的组合体的表面积和体积，贴近学生的学习实际，背景公平，难度适中，无任何牵强附会之嫌.由于教材中也出现了多个以体积为平台，考查导数应用的实际问题，因此该问题的设计充分体现了“源于教材而高于教材”的理念，对中学教学将起到积极的引导作用.该题的设计，符合实际情景，考查了导数的应用与分类整合的思想，以及建模能力和应用意识.该题背景和数学知识相得益彰，体现了命题者对中学数学教学实际的充分把握和自身的较高的数学素养，也是于平淡处挖掘新意的典范.

1.2 应用题的阅读量

数学应用题的文字量对试题难度的影响较大，很多学生遇到

文字比较长的应用题不知道怎样去分析和寻找题中的数量关系，不知道怎样把实际问题化成一个数学问题，建立数学模型.所以，应适当控制数学应用题的文字量.

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？

本题背景公平、新颖，时代性强，与国家的政策相吻合，数学应用味道浓，但题干文字稍多，考生理解较费时；同时数量关系较复杂，建模难度大，得分情况自然就不理想.

例4 （2009年高考宁夏海南卷·理17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

本题言简意赅，是课本习题的改编题，重视建模，淡化计算，不失为一道好题.考生对该题背景熟悉，对题干的理解较容易，便于建模，较好地考查了学生的应用意识，得到了一致好评.

1.3 应用题的设问方式

应用题设问是问题的呈现方式，也是常常影响到试题难度的一个因素，在对应用题进行考查时，对于问题的不同设问方式也常常对试题难度有着影响.在考查相同的内容知识时，试题不同的设问方式、编排对试题难度的控制也起着非常重要的作用.

例5 （2010年高考重庆卷·文17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……，6），

（Ⅰ）求甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

例6 （2010年高考重庆卷·理17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……6），求：

（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.

从上面的例子可以看出，两个题目的题干皆相同，但可根据文理科的差异等，采取不同的设问方式，试题的难度就截然不同.

2 数学应用题难度调控方法

试题的难度是根据不同层次的数学考试要求而确定的.试题太难，则好生与差生都做不出，试题过于简单，则好生与差生都能做，这样就降低了信度，不利于选拔人才.数学命题必须有适当的难度，当然，对于不同程度、不同层次的数学考试，其命题的难度也是不同的，命题者需根据参加考试的考生水平来确定试题的难度.

调控数学应用题难度的主要方法有以下几种：

2.1精选应用题的背景

传统应用题是为了巩固数学知识，拉大了与现实生活之间的距离，造成这些问题离学生太远，学生欠缺这方面的生活经验，甚至有些应用题的情境是人为编造，学生面对这些问题时就会感到枯燥乏味.因此设计应用题时，不妨选用学生喜欢的充满乐趣的生活中的数学问题，必要时可对教材中应用题的选材做适当的改编.在教学中，不妨以例题为基本内容，做些生活化的加工，拉近数学与生活的距离.数学应用题应源于生活，背景可取自于生活实际或教材.

2.2调控应用题的阅读量

有一种美叫做简洁.数学应用题不应有太多的文字语言，才能体现自身的美.过多的文字叙述只能增加应用题的难度，让考生过多的时间花在对题目的阅读上，使考生反感；反之，则更能激发他们的潜能，增加他们解题的信心，从而真正达到考查学生应用能力的目的.

2.3 合理设计应用题的设问

可以通过试题的设问方式来控制试题的难度.根据应用题在试卷中的不同位置、考生的实际情况等，设计不同的设问方式.若题目靠前或考生水平较低，则可通过建立简单的数学模型即可解决为宜；若题目靠后或考生的水平较高，则可增加适当的分类讨论、开放性、探索性的设问，试题的难度也就加大了.

当然影响高考数学应用题的难度的因素还有许多，以上只是笔者从多年的数学应用题的命制中得到的一些肤浅的体会.应用题设计时，问题情境应贴近生活，扩大开放性，可以给学生提供既能激发兴趣，又能创造广阔的思维空间的学习材料.这有利于培养学生的创新思维能力，提高数学应用意识和能力，培养良好的数学情感，从而强化学生对数学学习的兴趣.