七年级数学竞赛题:新概念命题

2024年3月10日发(作者：九年级数学试卷图片)

七年级数学竞赛题：新概念命题

随着时代的进步，科学的发展对数学的需求，提出了层出不穷的新概念和新问题，在解

决问题的过程中又产生了许多新方法，近年各级数学竞赛大量涌现了着意考查创新意识、创

造精神的新概念命题，主要有以下类型：

1．定义一类新数；

2．定义一种新运算；

将数或表示数的字母用加、减、乘、除、乘方、开方这几种运算符号结合在一起组成的式

子叫代数式，在代数式中某些相同的结构或某种特定的操作也可以用特定算符来表示，这样

就形成一种新的运算．

3．给定一定要求或规则，然后按上述要求规则解题．

解按规则要求操作的问题，或写出具体操作步骤，或指出按要求规则不能实现的理由．

解新概念命题时，需要尽快接受新事物、适应新情况，充分运用所学的知识方法去创造

性地思考、探究解决问题．

例1一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，

比如16=5

2

一3

2

，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”

是 ．

(北京市竞赛题)

解题思路 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数哪些是“智慧数”入手．

例2 如果运算x※y定义为x※y=(x+1)(y+1)－1，下列各命I题中( )是错误的．

(第33届美国数学竞赛题)

(A)x※y=y※x

(B)x※(y+x)=(x※y)+(x※x)

(C)(x—1)※(x+1)=(x※x)一1

(D)x※0=x

(E)x※(y※x)=(x※y)※x

解题思路 根据新运算的定义，逐一验证即可，注意要找出错误的命题．

例3 对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等

式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，1△3=l×1+2×3＋3×1×3—16，

现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有二个不为零的数d使得对任意有

理数x△d=x，求以a、b、c、d的值．

(安徽省竞赛题)

解题思路 设法建立关于a、b、c、d的方程组，解题的关键是对条件x△d=x的理解、

转化与运用．

例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001

号和9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运

券”．例如：号码0734，因0+7=3+4，所以，这个号码的购物券是幸运券，证明：这个商场

所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除．

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

解题思路 由题意知“幸运券”总是成对出现的，它们的和是一个定值，这是解本例的

突破口.

例5 下面给出表甲和表乙

O l 5 4

3 2 6 7

8 4 5 5

2 0 4 6

表甲 表乙

若将表甲中相邻的两个小方格(指有公共边的两个小方格)中的数都加上或减去同一个

数，称作一次操作，问经过若干次操作之后，能否将表甲变成表乙?若能，请写出一种操作

过程；若不能，请说明理由．

(北京市竞赛题)

解题思路 按规定操作有无数种情形，不可能一一验证，在操作变化的过程中，有许多

量在变化，而有些量是不变的，这是解本例的关键．

1．图形 表示运算a一b+c，图形表示运算x+z－y－w,则

(北京市竞赛题)

2．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定

取值范围是 ．

3．定义运算△为：a△b=

ab

cd

=ad—bc，如果

2x2

11

＜8,则x的

ab1

2

，并且3△m=一，那么m△m的值是 ．

ba5

4．我们把形如

abba

的四位数称为“对称数”，如1991、2002等．在1000~10000之间

有 个“对称数”．

(第十七届江苏省竞赛题)

5．定义：a∨b表示以、b两个数中取较大的一个，a∧b表示两个数中取较小的一个，

则(1996∨1998) ∧(1997∨1999)=( )．

(1998年重庆市竞赛题)

(A)1996 (B)1997 (C)1998 (D)1999

6．a、b是两个正数，定义a△b=ab+1，这种新运算( )．

(A)满足交换律不满足结合律

(B)满足结合律不满足交换律

(C)既满足交换律又满足结合律

(D)既不满足交换律又不满足结合律

7．设

2

kk

表示1+2+…+n(n为自然数)，那么



表示( )．

k1k1

nn