2023年12月20日发(作者：新人教版高考数学试卷)
期末复习(二) 全等三角形
各个击破
命题点1 全等三角形的性质与判定
【例1】 (大连中考)如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.
【方法归纳】 要证明两条线段或两个角相等，关键就是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等．
1．(北京中考)如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.
2．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
命题点2 角平分线的性质与判定
【例2】 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.
【思路点拨】 根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据“HL”判定两个三角形全等，再根据全等三角形的性质即可证明．
【方法归纳】 如果题目中有角平分线上的点，且含有过该点向角的两边作的垂线段(即“垂直”的条件)，就能得到线段相等．即使没有垂线段，也可以过角平分线上的点向角的两边作垂线段，从而证得线段相等．
3．(遂宁中考)如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是( )
A．3
B．4
C．6
D．5
4．如图，C是∠AOB角平分线上的一点，CA⊥OA，CB⊥OB(A，B为垂足)，D是OC上
任意一点，求证：AD＝BD.
整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中正确的个数有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23 cm，BC＝4 cm，则△DEF的各边长只可能为( )
A．4 cm B．9.5 cm
C．4 cm或9.5 cm D．13.5 cm
3．满足下列条件，能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝( )
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AC＝6，则AB的长是( )
A．8 B．10 C．12 D．不能确定
8．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A．50
B．62
C．65
D．68
9．(淄博中考)已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( )
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
B．两个角是β，它们的夹边为4
C．三条边长分别是4，5，5
D．两条边长是5，一个角是β
10．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )
A．AD＋BC＝AB
B．∠AOB＝90°
C．与∠CBO互余的角有两个
D．点O是CD的中点
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(绥化中考)如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是________________(填出一个即可)．
12．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝________．
13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.
14．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝________．
15．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中成立的有________(填写正确的序号)．
①PA＝PB；②AB垂直平分OP；③OA＝OB；④PO平分∠APB.
16．如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为________________．
三、解答题(共52分)
17．(12分)如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的四个条件(请从其中选择一个)：①AB＝ED；②∠A＝∠D＝90°；③∠ACB＝∠DFE；④∠A＝∠D.
18．(14分)(菏泽中考)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
19．(14分)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.
(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
(2)求证：CF＝EF.
20．(14分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB.
(2)AB＝AF＋2EB.
参考答案
【例1】 证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD.∵CE∥DF，
∴∠D＝∠ACE.∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∠A＝∠FBD，在△ACE和△BDF中，AC＝BD，
∠ACE＝∠D，∴△ACE≌△BDF(ASA)．
∴AE＝BF.
【例2】 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
BD＝CD，∴DE＝DF.在Rt△DBE和Rt△DCF中，
DE＝DF.∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．
∴BE＝CF.
题组训练
1．证明：∵BC∥DE，
AB＝ED，∴∠ABC＝∠BDE.在△ABC与△EDB中，∠ABC＝∠EDB，
BC＝DB，∴△ABC≌△EDB(SAS)．
∴∠A＝∠E.
2．三个小石凳在一条直线上．
理由：连接EM，MF.∵M为BC的中点，
∴BM＝MC.
又∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FCM.
BE＝CF，在△BEM和△CFM中，∠EBM＝∠FCM，
BM＝CM，∴△BEM≌△CFM(SAS)．
∴∠BME＝∠CMF.又∠BMF＋∠CMF＝180°，
∴∠BMF＋∠BME＝180°.
∴点E，M，F在一条直线上．
3.A
4.证明：∵C是∠AOB角平分线上的一点，CA⊥OA，CB⊥OB，
AC＝BC，∴AC＝BC.在Rt△AOC和Rt△BOC中，
OC＝OC，∴Rt△AOC≌Rt△BOC(HL)．
AC＝BC，∴∠OCA＝∠OCB.在△ACD和△BCD中，∠DCA＝∠DCB，
CD＝CD，∴△ACD≌△BCD(SAS)．
∴AD＝BD.
整合集训
1．C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.答案不唯一，如：AB＝CD
12.35° 13.6 14.30° 15.①③④
16．(3，4)或(3，－4)或(0，－4)
17.不能．选择条件①AB＝ED.证明：∵FB＝CE，
AB＝DE，∴FB＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，BC＝EF，
AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．
∴∠B＝∠E，
∴AB∥ED.
18.(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°.
AB＝CB，在△ABE和△CBD中，∠ABE＝∠CBD，
EB＝DB，∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，
∴∠BEA＝∠ECA＋∠EAC＝45°＋30°＝75°.
由(1)知△ABE≌△CBD，
∴∠BDC＝∠BEA.
∴∠BDC＝75°. 19.(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)证明：连接AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°.
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF.
∴BF＝DF.
又∵BC＝DE，
∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.
20.证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
DF＝DB，∴DE＝DC.∵在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DC＝DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF＝EB.
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
CD＝ED，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)．
∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
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