2024年3月11日发(作者：小学数学试卷命制竞赛)
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为了加快中学数学青年教师培养的步伐，夯实教学基本功，陕西省咸阳市教育教学研究窒、咸阳市教育学
会中学数学教学研究会于２００５年１１月在全市中学数学青年教师中开展了基本功技能大赛．
此次大赛的内容为数学解题技能．参赛对象为年龄在３５周岁以下的现任初中和高中数学教师．参赛先由
各校集体报名，再由主办单位向学校分配名额．比赛采用了闭卷笔试的形式（初中试题见本文附录）．比赛分高
中组和初中组．高中赛题以高考题和全国高中联赛试题为主要题型；初中赛题以中考试题和全国初中数学联赛
试题为主要题型，其中高考（中考）题与联赛题型的比例为７：３．
大赛设一、二、三等奖，大赛结束后，主办单位向获奖者颁发了荣誉证书，并将此次获奖作为青年教师的职
称评定、评优树模的重要依据．
附录：
等的三角形有（ ）．
Ａ．５对 Ｂ．６对 Ｃ．７对Ｄ．８对
２００５年咸阳市初中数学青年教师
解题技能大赛试题
Ａ Ｂ
一
、
选择题（每小题４分，共４Ｏ分）
】＿计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二
图３
进制即“如（１１０１） 表示二进制数，将它转化为十进制
是１×２ ＋ｌ Ｘ ２ ＋０ Ｘ ２ ＋１—１３”，那么将二进制的
７．二次函数．），一０，３；２＋６ ＋ｆ（“≠Ｏ）的图象如图
数（１１ｌ１）。转化为十进制形式的数是（ ）．
３所示，下列结论：①ｆ＜Ｏ，②６＞Ｏ，③４ａ＋２６＋ｆ＞０，
Ａ．８ Ｂ．１５ Ｃ．２０ Ｄ．３０
④（“＋ｆ） ＜６，其中正确的有（ ）．
２．计算：（Ｏ．０４） Ｘ［（５） 。］ 得（ ）．
Ａ．】个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
．
Ａ．１ Ｂ．一１ Ｃ． Ｄ．一赤
３．计算： ÷ ？Ｘ２ ３￣ ３＋ｘ＋３２，其结果
是（ ）．
Ｂ。ｘ—－－ｔ－ｚ Ｃ
．
。
Ｄ。厕
４．如图ｌ，有一矩形纸片ＡＢＣＤ，ＡＢ一１０，ＡＤ一
ｃ．詈＋ Ｄ． ４＋－ ８
６，将纸片折叠，使ＡＤ边落在ＡＢ边上，折痕为ＡＥ，
９．要使二次三项式ｚ 一５ｘ￣Ｐ在实数范围内能
再将△ＡＤＥ以ＤＥ为折痕向右折叠，ＡＥ与ＢＣ交于
进行因式分解，那么整数Ｐ的取值可有（ ）．
点Ｆ，则△ＣＥＦ的面积为（ ）．
Ａ．２个 Ｂ．４个
Ｃ．６个Ｄ．无数多个
口ｃＢＡ
ｌｏ．如图５，在Ｒｔ ＡＡＢＣ中，
ＡＦ是斜边ＢＣ上的高线，ＢＤ—ＤＣ
—
ＦＣ一１，则ＡＣ的长为（ ）． Ｂ
图ｌ
．
Ｂ
Ｆ
圈５
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ 【）．１０
Ｃ 托Ｄ
５．下列一组按规律排列的数：１，２，４，８，１６，…，第
二、填空题（每小题４分，共４Ｏ分）
２ ００５个数是（ ）．
１１．分解因式：ｔ２。＋口。一２一 ．
Ａ．２ 。。 Ｂ．２ ∞。一ｌ Ｃ．２ 。。 Ｄ．２。。。。
１２．点Ａ，Ｂ在数轴上分别表示实数ｔ２，ｂ，Ａ，Ｂ两
６．如图２，ＡＢ／／ＣＤ，ＡＤ／／ＢＣ，ＡＣ与ＢＤ交于点
点之间的距离为ＩＡＢｌ—Ｉ ｎ ｂＩ．
０，ＡＥ ＢＤ，ＣＦ上ＢＤ，垂足分别为Ｅ、Ｆ，那么图中全
（１）数轴上表示 和一１的两点Ａ和Ｂ之间的距
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离是 ，当Ｉ ＡＢ ｌ一２时，ｚ为 ；
（２）当代数式ｌ 一２ ｌ＋ｌ ＋１ ｌ取最小值时，相应
ｂ）（Ⅱ＋３ｂ）一Ⅱ ＋４ａｂ＋３ｂ ；
的 的取值范围是 ．
１３．如图６，一个六边形ＡＢＣ—
Ｉ）ＥＦ的六个内角都是１２０。，连续四Ｆ
边的长依次是１，３，３，２，则六边形的
Ｇ
Ｊ 长为 ．
１４．计算：２ ００４×２００ ５２０ ０５２
图６
Ｏ０５—２ Ｏ０５Ｘ ２００ ４２０ ０４２ Ｏ０４＝
ｌ ５．如图７，在△ＡＢＣ中，
ＢＡＣ一９０。， Ｂ一２ Ｃ，ＡＤ平
分 ＢＡＣ交ＢＣ于Ｄ，若ＡＢ＝１，一
则ＢＤ的长为 ． 一
Ｄ
ｌ６．观察下列算式：２ 一２，２
图７
一
４，２。－＝８，２ 一１６，２ ＝３２，２ 一６４，２ 一１２８，…，通过
观察，用你发现的规律写出２ 的末尾数是
ｌ７．如图８，在６×６方格纸中，每一
个小力‘格是边长为１的正方形， ，Ｂ两
点在小方格的顶点上，位置如图８所
示，请你在小方格的顶点上标出满足题
虑的所有点Ｃ，使△ＡＢＣ的面积为２个
半方单位，顺次连接各Ｃ点得一多边 图８
肜，则一蚂蚁爬行在这张方格纸上，停留在这个多边
形Ｅ的概率是 ．
】８．设√１９¨＿８￣／ 的整数部分为 小数部分为
，
则 卜 ＋
的值是
ｙ
１９．某班有学生５０人，选举２人出席学生代表
会，结果有４２人赞成甲同学，有３６人赞成乙同学，若
刈甲、乙两同学都不赞成的人数恰好是对甲、乙两同
学鄙赞成的人数的 １
，
则对甲、乙两同学都赞成和都
／Ｉ 赞成的人数各是 ．
２（）．在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／
一（、，ＢＤ—ＢＣ，ＡＢ—ＡＣ，ＢＡ上ＣＡ
十Ａ，ＡＣ与ＢＤ交于点ｏ，则图９
ｌ１Ｉ有 对相似三角形． Ｂ 图
Ｃ
９
三、解答题（２１、２２、２３每题１０
分．２４题１２分，２５、２６每题１４分，共计７０分）
２１．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平
力‘公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还
彳『一 代数式也可以用这种形式表示，例如：（２ａ十６）
（“卜 ）－：＝２ｄ ＋３ａｂ＋６ 就可以用图１０（１）或图１０（２）
等罔形的面积表示．
（１）请写出图１０（３）所表示的代数恒等式；
（２）试画一个几何图形，使它的面积能表示：（ ＋
口圈
（２）
图１０
（３）请仿照上述方法另写一个含有“，ｂ的代数恒
等式，并画出与之相应的几何图形．
２２．如图１１，ＯＯ 与（三）
相交于Ａ，Ｂ两点，过点Ａ作
Ｆ
④０２的切线ＣＦ交④Ｏ 于Ｃ，
直线ＣＢ交④０２于Ｄ，直线
ＤＡ交、（三）Ｏ 于Ｅ，连结ＣＥ．
求证：（１）ＡＣＡＥ是等腰 图１ １
三角形；
（２）ＤＡ．ＤＥ ＣＤ２～ＣＥｚ．
２３．设抛物线．ｙ—ｚ ＋（２ｎ＋１） ＋２ｎ＋｝的顶点
在 轴上，（１）试求ｎ的值；（２）求ｎ。一３ａ ＋ｎ＋５的
值．
２４．如图１２，点Ｐ是正方形ｄ
Ｄ
ＡＢＣＤ内的一点，若ＰＡ—ｎ，ＰＢ一
２＆，ＰＣ：３ａ（ａ＞０）。
求：（１） ＡＰＢ的度数；（２）正方
形的边长． Ｂ
２５．如图１３，在直角梯形ＡＢＣＤ 图１２
中，ＡＤ∥ＢＣ， Ｂ一９０。，ＡＢ一８ ｃｍ，ＡＤ一２４ ｃｍ，ＢＣ
＝２６ ｃｍ，ＡＢ是④Ｏ的直径，动点Ｐ从Ａ点开始沿
ＡＤ边向点Ｄ以１厘米／秒的速度运动，动点Ｑ从Ｃ
点开始沿ＣＢ边向点Ｂ以３厘米／秒的速度运动，Ｐ，Ｑ
分别从点Ａ，ｃ同时出发，当其中一点到端点时，另一
点也随之停止运动，设运动时间为ｔ秒．
Ａ Ｐ Ｄ Ａ ｐ Ｄ
Ｂ Ｑ ｃ Ｂ Ｑ ｃ
图１３
（１）求ｔ分别为何值时，四边形ＰＱＣＤ为平行四
边形、等腰梯形？
（２）求ｔ分别为何值时，直线ＰＱ与④Ｏ相切、相
交、相离？
２６．能否将１，２，３，…，１２，这１２个正整数分成两
组，使其中第一组有３个数，第二组有９个数，并且第
一
组３个数的积恰好等于第二组中９个数之和？若
能，请给出所有的分组方法；若不能，请说明理由：
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参考答案
一
、
选择题
１．Ｂ；２．Ａ；３．Ａ；４．Ｃ；５．Ｃ；６．Ｂ；７．Ｃ；８．Ｂ；９．Ｄ；
１０．Ａ．
二、填空题
ｌ１．（ｎ—１）（ａ ＋２ａ＋２）；１２．（１）Ｉ ＡＢ Ｉ—ｌ ＋１ Ｉ，
ｌ或一３；（２）一１≤ｚ≤２；１３．１５；１４．０；１５．√３一ｌ；
Ａ
ｌ６．２；１７． ；１８．６；１９．３２，４；２０．４．
三、解答题
２１．（１）（ａ＋２ｂ）（２ａ＋ｂ）一２ａ。十２６ ＋５ａｂ；
（２）如图（１）．（３）（ａ＋２ｂ）（ａ＋３ｂ）一ａ。＋５ａｂ＋
６ ．如图（２）．
“ｂ ｂ。 ｂ ｂ。
ＩⅡｂ ｂ。Ｉ ｂ ｂ
０ ０ ｂ ｒＩ南 ０ ｂ
『 ｂＩｌ 。 。ｌ ｂ
０ ｂ ｂ？ ｂ ｂ：
（１） （２）
图１４
２２．（１）连接ＡＢ．
．
ＣＡ是④（）２的切线， ＦＡＤ一 ＡＢＤ，又‘．‘
ＡＢＤ一 Ｅ，．’． Ｅ＝＝＝ ＦＡＤ＝ ＥＡＣ．
。
．．
△ＣＡＥ是等腰三角形．
（２）。．。ＣＡ２一ＣＢ・ＣＤ，ＤＡ・ＤＥ＝ＢＤ・ＤＣ．
。
．．
ＣＡ。＋ＤＡ・ＤＥ—ＣＢ・ＣＤ＋ＢＤ・ＤＣ＝ＣＤ ．
又’．’（ Ａ—ＣＥ，．’．ＤＡ・ＤＥ—ＣＤ。一ＣＥ。．
２３．（１）因为抛物线的顶点在 轴上，所以对应的
一
元二次方程．ｒ ＋（２ｘ＋１）－ｒ＋２ａ＋÷一０有等根，
‘士
［
即（２ａ＋１）。一４（２ａ＋÷）＝＝＝０，ｎ。一ｎ一１—０，口一
‘±
１±√
丁’
（２）ａ。一３ａ ＋ａ十５＝（ａ一２）（ａ 一ａ一１）＋３—３．
２４．（１）将△Ａ Ｂ绕Ｂ点旋转９Ｏ。得△ＣＱＢ，连
ＰＱ，ＡＣ，则△ＣＱＢ ／ＸＡＰＢ．
因为 ＰＢＱ一９０。，ＰＢ＝ＱＢ一２ｎ，
所以 ＰＱＢ＝ ＢＰＱ＝４５。，ＰＱ＝２√２ｎ，
在△ＰＱＣ中，ＣＰ＝３ａ，ＣＱ＝ＡＰ＝ａ，ＰＱ＝２√２“，
所以ＰＣ 一ＣＱ ＋ＰＱ。，所以 ＰＱＣ＝９０。．
所以 ＡＰＢ一 ＣＱＢ一 ＰＱＢ＋ ＰＱＣ＝１３５。．
（２）由（１）得 ＡＰＢ＋ ＢＰＱ ｌ３５。＋４５。：＝＝ｌ８Ｏ。．
‘
．．
Ａ，Ｐ，Ｑ三点共线，．。．ＡＰ＝ＡＰ＋ＰＱ—ｎ＋２、／／２ｎ．
． ．
Ｒｔ△ＡＣＱ 中，ＡＣ一 ￣／ＡＱ ＋ＣＱ。一
ｒ———————————————————————————一，——————————————一
√（１＋２√２）。ａ ＋“。一“￣／ｌＯ＋４４５．
・
．．
ＡＢ一 一
４２
而．
２５．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，动点Ｐ，Ｑ在运动过程中，
四边形ＰＱＣＤ出现具体特征即为平行四边形时，则有
ＱＣ＝ＰＤ，即３ｔ＝＝＝２４一ｔ，故ｔ一６秒时，四边形ＰＱＣＤ
为平行四边形．
同理，四边形ＰＱＣＤ为等腰梯形Ｅｆ寸‘，由其性质
ＰＱ ＣＤ，ＰＤ≠ＱＣ，易知ＥＦ＝ＰＤ，ＱＥ—ＦＣ＝２，
１
。
．．
２＝＿去＿［３ 一（２４一 ） ．
故ｔ ７秒时，四边形ＰＱＣＤ为等腰梯形．
（２）设运动ｔ秒时，直线ＰＱ与④ｏ相切于点（；，过
Ｐ作ＰＨｊ－ＢＣ，垂足为Ｈ，则ＰＨ—ＡＢ，ＢＨ＝＝＝ＡＰ，即
ＰＨ＝８，ＨＱ一２６ ４ｔ，ＰＱ＝２６—２ｔ，。．。ＰＱ： 一ＰＨ２＋
ｏ
Ｈ ，即（２６—２ｔ）。一８＋（２６—４ ）。，解得ｔｌ一÷，ｔ２—８．
故当ｔ一 秒或ｔ一８秒时，直线ＰＱ与④０相切．
０
通过动点Ｐ，Ｑ运动特点及规律，有ｔ＝０秒时，直
线ＰＱ与④０相交； 一８ 秒时，Ｑ点运动到Ｂ点，
Ｐ点尚未运动到Ｄ点，但也停止运动，此时ＰＱ与０ｏ
ｏ ９
相交；故当ｏ≤ ＜ 或８＜ｔ≤８ 时，直线ＰＱ与④０
０ ０
，）
相交；当 ＜ ＜８时，直线ＰＱ与④Ｏ相离．
２６．设第一组的３个数为ｎ，ｂ，ｃ（ｎ＜６＜ｃ），则第
二组中９个数的和为去×１
厶
２×１３一（ｎ＋ｂ＋ｃ）一７８一
（口＋ｂ＋ｆ）．
‘
．
．ａｂｃ＋ａ＋ｂ＋ｆ＝＝＝７８． ①
由ａ＜ｂ＜ｃ及①得
ａ ＋３ａ＜７８，解得Ｏ＜ａ＜４．
当ａ—ｌ时，由①得
６（ ＋６＋ｃ＋１一（６＋１）（ ＋１）一７８—６×ｌ３．
解得ａ一１，６—５，ｃ一１２．
当ａ＝＝：２时，由①得
２ｂｃ＋６＋ｃ＋２＝７８，即（２ｂ＋１）（２ｃ＋１）一９×ｌ７．
解得ａ一２，ｂ一４，ｆ一８．
当ａ一３时，由①得
３ｂｃ＋ｂ＋ ＋３—７８．即（３ｂ＋１）（３ｃ＋１）＝＝＝２２６．无
解．
综上所述，共有两种分组方法：
第一种：第一组的３个数为ｌ，５，ｌ２，第二组的９
个数为２，３，４，６，７，８，９，１０，ｌｌ；
第二种：第一组的３个数为２，４，８。第二组的９个
数为１，３，５，６，７，９，１０，１１，ｌ２．
（供稿咸阳市数学教学研究会 刘聪胜 吕建恒
侯京周 安振平）
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