2023年12月2日发(作者：数学试卷免费下载网站)

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题 号

得 分

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

总 分

得分

评阅人

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1．

由曲线r2cos所围成的图形的面积是。

2．

设由方程xy22所确定的隐函数为yy(x)，则dy2ydx2x。

1443．

函数ysinx的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为xxo(x)。

324．

1x1x20dx1。

5．

函数yx2cosx在区间0，上的最大值为263。

nnlim6．

n2222n1n2

n=n2n24。

得分

评阅人

二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）

1cosxxsin,x01. 设f(x)，则x0是f(x)的 D

。

xx21,x0A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．振荡间断点 D．连续点

2. 设f(x)2x3x2，则当x0时，下列结论正确的是 B 。

A．f(x)与x是等价无穷小 B．f(x)与x同阶但非等价无穷小

C．f(x)是比x高阶的无穷小 D．f(x)是比x低阶的无穷小

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13.

dxxx12 C 。

A．不存在 B．0 C． D．

2

f(x)1，则下列叙述正确4. 设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)0，limx0的是 A 。

A．f(0)是f(x)的极大值 B．f(0)是f(x)的极小值

C．f(0)不是f(x)的极值 D．f(0)是f(x)的最小值

5.曲线ycostdt的全长为 D 。

2xA．1 B．2 C．3 D．4

6. 当a,b为何值时，点( 1, 3 )为曲线yaxbx的拐点？ A 。

A．a323939，b B.

a，b

22223939，b D.

a，b

2222xC．a7. 曲线yx2的凸区间为 D 。

A.(,

得分

11.

limcos

xxx22222) B.(,) C.(,) D.(,)

ln2ln2ln2ln2三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分）

评阅人

1解：令t,x原式limcostt

21t0et0et0limlimlncostt2(0型)0

（3分）

sint2tcost

e

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12

（6分）

2 —

xln(1t2)d2y所确定,求2。 2.

设函数yy(x)由参数方程dxytarctant解：dyd(tarctant)dxd[ln(1t2)]111t2t，

（3分）

2t21t2dytdd()2111dxd2y1t2．

（6分）

22tdx2dtdxdx4t21tdt

xex3.

xdx．

2(e1)解：原式xd(1ex1) （2分）

x1=xxdx

e1e1x11=x(xx)dex

e1ee1xex=xlnxC （6分）

e1e1

4. 求40x1xdx

2解：令xt(t0)，则xt，dx2tdt （2分）

22t2t1dx2tdt2dt2(t1)dt01x01t01t0t1 （6分）

4x2t22[tln1t]2ln320

5. 设曲线f(x)xn在(1, 1) 处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求lim(xn)n。

n2解：欢迎下载

f(1)nxn1x1n，所以f(x)在点(1,1)处的切线方程为：

3 —

yn(x1)1 ……..

(*)

(2分)

由题意知切线(*)与x轴的交点为(xn,0)，

10n(x1)1x1即

(5分)

nnn从而可得：

1lim(xn)nlim(1)n＝e1．

(6分)

nnn

6. 设连续函数f(x)满足f(x)f(x)sin2x，求积分I22f(x)sin2xdx．

积分到，得：

222解：方程两端同乘sinx并从222f(x)sinxdx2224f(x)sin2xdx(*)

(3分)

sinxdx2sinxdx2I42420又22f(x)sin2xdx令tx2222f(t)sin(t)(dt)2f(t)sin2tdt（5分）

由(*)得：12If(x)sin2xdx2I412313．

(8分)

22422216

7. 设f(x)连续，F(x)f(tx)dt，且lim0x01f(x)A（A为常数），xdF(x)求x。

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4 —

解：由limf(x)A 知：f(0)0。

x0xdut:01duxdtdt则，，

令utxxu:0x1x00于是F(x)f(tx)dtf(u)du1xxx0f(u)du(x0)

1xf(u)du,x0可见：F(x)x0

(4分)

x00,1当x0时，F(x)2xx0xf(x)f(u)du10f(u)duf(x)；

(6分)

2xxx当x0时，F(0)limF(x)F(0)

x0x1limxx0x0f(u)du0xlimx0f(u)du

(x)2f(x)1limA,x02x2x0xf(x)xf(u)du0,x0．

(8分)

2所以：F(x)xA,x02得分

评阅人

四、应用题（共1小题，每小题9分，共9分）

2设直线yax(0a1)与抛物线yx所围成的图形为D1，它们与直线x1所围成的图形为D2，若D1、D2同时绕x轴旋转一周得到一旋转体，试确定a的值，使该旋转体的体积最小．

ax10xa解：∵

D1:2，

D2:

2axyxxyaxyyx2D2yaxV1V2(ax)(x)a02(x2)2dx122a(ax)2xaxxdx

aO1dxxaxdx

a22401422aD1欢迎下载

5 —

a0∴

V(a)V1V2a2xxdx5a241ax4a2x2dx

312xxx2xaa

35530a452aa ……………..(5分)

153535

由dV(a)da4421aa，令dV(a)0得：a3． ………….(7分)

332da1a322d又由

V(a)da2161261632a0

13a3233332可见： 当a

1时， 该旋转体的体积最小． ………………..(9分)

32得分

评阅人

五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）

设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f(x)0，试证存在,(a,b)，使得f()ebeae

f()baxg(x)e证明：设，则

f(b)f(a)f()f(b)f(a)f(). ………………..，即（3分）

g(b)g(a)g()ebeae又因为存在(a,b),使得

f(b)f(a)(ba)f(), ……………………..（4分）

所以

(ba)f()f()，即结论成立. ………………..（6分）

baeee欢迎下载

6


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