高考真题理科数学全国Ⅲ卷

2024年3月13日发(作者：广州中考数学试卷构成解读)

高考真题理科数学全国

Ⅲ卷

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

2019

年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）

22

1

．已知集合

A



(x,y)xy1



，

B



(x,y)yx



，则

AB

中元素的个数为（）

A

．

3 B

．

2 C

．

1

D

．

0

【答案】

B

【解析】

A

表示圆

x

2

y

2

1

上所有点的集合，

B

表示直线

yx

上所有点的集合，

故

AB

表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为

2

，即

AB

元素的

个数为

2

，故选

B.

2

．设复数

z

满足

(1i)z2i

，则

z

（）

A

．

【答案】

C

1

2

D

．

2

B

．

2

2

C

．

2

【解析】由题，

z

2i



1i



2i2i2

i1

，则

z1

2

1

2

2

，故选

C.

1i



1i



1i



2

3

．某城市为了解游客人数的变化规律，提升旅游服务质量，收集并整理了

2019

年

1

月至

2019

年

12

月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线

图．

2019

年

2019

年

2019

年

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A

．月接待游客量逐月增加

B

．年接待游客量逐年增加

C

．各年的月接待游客量高峰期大致在

7

，

8

月

D

．各年

1

月至

6

月的月接待游客量相对于

7

月至

12

月，波动性更小，变化比较平

稳

【答案】

A

【解析】由题图可知，

2019

年

8

月到

9

月的月接待游客量在减少，则

A

选项错误，故

选

A.

4

．

(xy)(2xy)

5

的展开式中

x

3

y

3

的系数为（）

A

．



B

．



C

．

40

D

．

80

【答案】

C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含

x

3

y

3

的项为

2332

233

33

xC

5



2x



y



yC

3

5



2x



y



40xy

，则

xy

的系数为

40

，故选

C.

x

2

y

2

5

5

．已知双曲线

C：

2



2

1

（

a0

，

b0

）的一条渐近线方程为

yx

，且与椭圆

ab

2

x

2

y

2

1

有公共焦点．则

C

的方程为（）

123

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

A

．

1

B

．

1

C

．

1

D

．

1

810455443

【答案】

B

【解析】

∵

双曲线的一条渐近线方程为

y

5b5

①

x

，则



a2

2

x

2

y

2

又

∵

椭圆

1

与双曲线有公共焦点，易知

c3

，则

a

2

b

2

c

2

9

②

123

x

2

y

2

由

①②

解得

a2,b5

，则双曲线

C

的方程为

1

，故选

B.

45

π

6

．设函数

f(x)cos(x)

，则下列结论错误的是（）

3

A

．

f(x)

的一个周期为

2π

B

．

yf(x)

的图像关于直线

8π

x

对称

3

ππ

C

．

f(x



)

的一个零点为

x

D

．

f(x)

在

(,π)

单调递减

62

【答案】

D

π



π

【解析】函数

f



x



cos



的图象可由向左平移个单位得到，

x

ycosx





3



π

3



如图可知，

f



x



在



,π



上先递减后递增，

D

选项错误，故选

D.

2



7

．执行右图的程序框图，为使输出

S

的值小于

91

，则输入的正整数

N

的最小值为

（）

A

．

5

B

．

4

C

．

3

D

．

2

【答案】

D

【解析】程序运行过程如下表所示：

0 100

初始状态

1

10

100

第

1

次循环结束

2

90 1

第

2

次循环结束

3

此时

S9091

首次满足条件，程序需在

t3

时跳出循

环，即

N2

为满足条件的最小值，故选

D.

8

．已知圆柱的高为

1

，它的两个底面的圆周在直径为

2

的同一个球的球面上，则该圆

柱的体积为（）

A

．

π

D

．

π

4

B

．

3π

4

C

．

π

２

【答案】

B

1



3



【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径

r1



，



2



2



3π

则圆柱体体积

V

π

r

2

h

，故选

B.

4

9

．等差数列



a

n



的首项为

1

，公差不为

0

．若

a

2

，

a

3

，

a

6

成等比数列，则



a

n



前

6

项

2

2

的和为（）

A

．

24

B

．

3

D

．

8

【答案】

A

【解析】

∵



a

n



为等差数列，且

a

2

,a

3

,a

6

成等比数列，设公差为

.

2

则

a

3

2

a

2

a

6

，即



a

1

2d







a

1

d



a

1

5d



又

∵

a

1

1

，代入上式可得

d

2

2d0

又

∵

d0

，则

d2

∴

S

6

6a

1



6565

d16



2



24

，故选

A.

22

C

．

3

x

2

y

2

10

．已知椭圆

C:

2



2

1

（

ab0

）的左、右顶点分别为

A

1

，

A

2

，且以线段

A

1

A

2

ab

为直径的圆与直线

bxay2ab0

相切，则

C

的离心率为（）

A

．

6

3

3

3

1

D

．

3

B

．

C

．

2

３

【答案】

A

【解析】

∵

以

A

1

A

2

为直径为圆与直线

bxay2ab0

相切，∴圆心到直线距离等于半

径，

ab

又

∵

a0,b0

，则上式可化简为

a

2

3b

2

c

2

2

222

222

∵

bac

，可得

a3ac

，即

2



a3

c6

∴

e

，故选

A

a3

11

．已知函数

f(x)x

2

2xa(e

x1

e

x1

)

有唯一零点，则

a

（）

11

A

．



B

．

２

3

∴

d

2ab

22

a



C

．

1

2

D

．

1

【答案】

C

【解析】由条件，

f(x)x

2

2xa(e

x1

e

x1

)

，得：

∴

f(2x)f(x)

，即

x1

为

f(x)

的对称轴，

由题意，

f(x)

有唯一零点，

∴

f(x)

的零点只能为

x1

，

即

f(1)1

2

21a(e

11

e

11

)0

，

1

2

12

．在矩形

ABCD

中，

AB1

，

AD2

，动点

P

在以点

C

为圆心且与

BD

相切的圆

解得

a

．

上．若

AP



AB



AD

，则







的最大值为（）

A

．

3 B

．

22

D

．

2

【答案】

A

【解析】由题意，画出右图

．

设

BD

与

C

切于点

E

，连接

CE

．

以

A

为原点，

AD

为轴正半轴，

AB

为轴正半轴建立直角坐标系，

则

C

点坐标为

(2,1)

．

∵

|CD|1

，

|BC|2

．

∴

BD1

2

2

2

5

．

∵

BD

切

C

于点

E

．

∴

CE

⊥

BD

．

∴

CE

是

Rt△BCD

中斜边

BD

上的高

．

即

C

的半径为

2

5

．

5

C

．

5

∵

P

在

C

上．

∴

P

点的轨迹方程为

4

(x2)

2

(y1)

2



5

．

y

P

B

E

C

设

P

点坐标

(x

0

,y

0

)

，能够设出

P

点坐标

A(O)

满足的参数方程如下：

而

AP(x

0

,y

0

)

，

AB(0,1)

，

AD(2,0)

．

∵

AP



AB



AD



(0,1)



(2,0)(2



,



)

∴



x

0

1

两式相加得：

525

)

，

cos





55

π

当且仅当



2kπ



，

kZ

时，







取得最大值

3

．

2

1

2

2

5

5sin



．

cos



，



y

0

1

5

5

D

x

(

其中

sin





二、填空题：（本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）



xy≥0,



13

．若

x

，

y

满足约束条件



xy2≤0,

则

z3x4y

的最小值为

________

．



y≥0,



【答案】

1

【解析】由题，画出可行域如图：

z

4

由图可知：在

A



1,1



处取最小值，故

z

min

31411

．

目标函数为

z3x4y

，则直线

yx

纵截距越大，值越小．

14

．设等比数列



a

n



满足

a

1

a

2

1

，

a

1

a

3

3

，则

a

4



________

．

【答案】

8

【解析】



a

n



为等比数列，设公比为．



a

1

a

1

q1①



a

1

a

2

1





，即



，

2

aa3

aaq3②





13



11

显然

q1

，

a

1

0

，

3

4

②

得

1q3

，即

q2

，代入

①

式可得

a

1

1

，

①

a

4

a

1

q

3

1



2



8

．

3

15

．设函数

f(x)





【答案】



,





1



4



x1,x≤0,

x



2,x0,

则满足

f(x)f(x)1

的

x

的取值范围是

________

．

1

2



x1,x≤0

1



1



fx



【解析】，

f



x



f



x



1

，即

f



x



1f



x





x

2



2





2 ,x0

1



由图象变换可画出

yf



x



与

y1f



x



的图象如下：

2



1



1



由图可知，满足

f



x



1f



x



的解为



,



.

2



4



16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形

ABC

的直角边

AC

所在直线与

，都垂直，斜边

AB

以直线

AC

为旋转轴旋转，有下

列结论：

①当直线

AB

与成

60

角时，

AB

与成

30

角；

②当直线

AB

与成

60

角时，

AB

与成

60

角；

③直线

AB

与所成角的最小值为

45

；

④直线

AB

与所成角的最大值为

60

．

其中准确的是

________

（填写所有准确结论的编号）

【答案】

②③

【解析】由题意知，

a、b、AC

三条直线两两相互垂直，画出图形如图

．

不妨设图中所示正方体边长为

1

，

故

|AC|1

，

AB2

，

斜边

AB

以直线

AC

为旋转轴旋转，则

A

点保持不变，

B

点的运动轨迹是以

C

为圆心，

1

为半径的圆

．

以

C

为坐标原点，以

CD

为轴正方向，

CB

为轴正方向，

CA

为轴正方向建立空间直角坐标系

．

则

D(1,0,0)

，

A(0,0,1)

，

直线的方向单位向量

a(0,1,0)

，

|a|1

．