2023年12月24日发(作者：数学试卷取得的成绩)

2021年全国大学生数学竞赛网络挑战赛（第一场非数学类）竞赛试题考生注意：考试时间150分钟说明：1.答题时间为2.5小时，7月17日9:00-11:30，网上交卷截止时间12:00；2.请同学们把竞赛答案写在干净的答题纸上，答题时请写清楚题号，不需要摘抄题目，并将答题纸拍照（可拍多张照片，按顺序答题，标清题号，方便老师评阅），最后将图片放到word中，再用word转成PDF，上传PDF格式文件。3.添加助教老师微信HiMathor，获得视频讲解课程，如有问题及时沟通。4.答题完成在赛氪报名系统（/vse/44125）上传答卷，本次答卷请对应上传到“第一场轮非数学类竞赛答卷”一栏，其他的附件上传位置留空。5.如果无法在赛氪系统中提交，可以发送试题答案至备用邮箱math@（邮件标题：参赛编号+数学类/非数类；附件文档命名规则，参赛编号+数学类/非数类.pdf），超过指定时间提交答卷不予判分。试卷总分100分一、填空题（每题6分，共30分）x2n1ax2x1．已知函数f(x)lim为连续函数，则a2nnx1．ba)，则n2．已知f(x)是[a,b]上恒正的可积函数，设finf(ailimnf1nf2nfnnn．．3．级数1n的收敛区间是n0(n1)x4．设uf(x,y,z)有连续的一阶导数，函数yy(x)及zz(x)分别由exyxy2和exxz0sintdudt确定，则tdx．3tx1t35．曲线的渐近线方程是__________．23ty1t3二、（10分）设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)0,f(1)2，证明x1,x2(0,1)，且x1x2，使得111．f(x1)f(x2)1

三、（10分）设an0tanxdx．（1）求4nanan2的值；（2）试证：对任何nn1an常数0，级数收敛．n1n四、（10分）函数列ynyn(x)(0x1)(n1,2,3,)满足y1,yn2yn1(n2,3,)，求limyn．n2x2x2五、（10分）计算二重积分x2y21|xy2x2y2|dxdy．2

六、（10分）设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，af(x)dx1，k为任意实数，试证明：(af(x)coskxdx)2(af(x)sinkxdx)21．bbb七、（10分）设函数f(x)在[0,a]上可导，且f(0)0，f(x)单调增加，证明：a02aaxf(x)dxf(x)dx．30八、（10分）设N0,0,1是球面S:x2y2z21的北极点．Aa1,a2,0、Bb1,b2,0、Cc1,c2,0为xOy平面上不同的三点．设连接N与A、B、C的三直线依次交球面于点A1、B1和C1．（1）求连接N与A两点的直线方程；（2）求点A1、B1和C1的坐标；（3）给定点A1,1,0、B1,1,0、C1,1,0，求四面体NA1B1C1的体积．3


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