2023年12月31日发(作者：临沂市河东区数学试卷下册)

厦门大学《微积分I》课程期末试卷

试卷类型：（理工类A卷） 考试日期 2015.1.21

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）

1p2pnp(p0)。 1．求极限limp1nn

2．求f(x)

3．求由曲线yx3，x1，x2，y0所围成的图形面积。

4．计算广义积分

1

0x2cosxetdt的导数。

x2exdx。

5．计算定积分xsinx211dx。

02x213

6．求方程dy2xydx的通解。

7．求不定积分x(x1)(x21)dx。

2

8．求方程y

9．已知y11，y21x，y31x2都是微分方程x2y2xy2y2的解，求此方程的通解。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）

1． 求极限lim

3

1yx的通解。

xx0sinxe(xt)dtx22x0。

xsinx32. 计算cosxcosxdx。

2cosx22

3．设函数yy(x)由方程etdt3cost2dt1决定，求0xy220dy。

dx

4. 求微分方程y2y3满足初始条件y|x01,y|x01的特解。

4

5．求曲线f(x)

6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度v(t)t2(米/秒)，其受到与运动方向相反的阻力F(t)5v(（牛顿）t)，求物体在时间间隔0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。

x0sintdt相应于0x的一段弧的长度。

三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）

dy1．求微分方程x(xy)x3(xy)21的通解。

dx

5

2．设a0，求直线y体积。

yy3. 设二阶常系数线性微分方程ysin的x一个特解为x1与x轴，y轴所围三角形绕直线xa旋转一周所得旋转体的a3a231yex2e2xcosxsinx,试确定,,，并求出该方程的通解。

55

6

4.设f(x)为(,)上的连续函数， 且当x0时满足函数方程：

f(x)x20x1tf()dttf(t)dtx(1f(x))dx， 求f(x)。

00x

四、证明题：（每小题5分，共10分；其中第2题和第3题任选一题）

1．设f(x)可导，f(1)2f(x)dx，证明：

(0,1)，使得f()0。

7

120

2. 证明：22ln(sinx)dx2ln(sin2x)ln2dx，并利用此等式计算2ln(sinx)dx。

000

3．设f(x)和g(x)均在[a,b]上单调不减的连续函数（ab），证明：

baf(x)dxg(x)dx(ba)f(x)g(x)dx。

aabb

8


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