17高考数学试题

2024年3月13日发(作者：实验中学数学试卷模拟)

17高考数学试题

【题目一】

如图，在⊙O的直径AB上取动点M，以BM为边作三角形BMC

（∠BMC＝45°），交⊙O于点C，交于点T.（图示省略）

（1）当∠AOM＝60°时，求证：OC＝AC.

（2）当OC＝AC时，求∠AOM的大小。（结果用最简形式表示）

【解题思路】

首先，我们可以利用角度的性质来证明OC=AC。

然后，我们可以根据已知条件来求解∠AOM的大小。

【证明OC=AC】

由于∠BMC=45°，则∠CAB=90°-45°=45°。

由于∠AOM=60°，所以∠OAB=90°-60°=30°。

根据正弦定理，在△ABM中，有

sin∠A=BM/AB

sin30°=BM/AB

1/2=BM/AB

BM=AB/2

根据勾股定理，在△ABO中，有

AB^2=AO^2+BO^2

(2BM)^2=AO^2+BO^2

4BM^2=AO^2+BO^2

由于AO=BO（O点在AB的垂直平分线上），所以

4BM^2=2AO^2

BM^2=AO^2/2

由于BM=AB/2，所以

(AB/2)^2=AO^2/2

AB^2/4=AO^2/2

AB^2=2AO^2

根据勾股定理，在△ACO中，有

OC^2=AO^2+AC^2

根据已知条件OC=AC，所以

OC^2=AO^2+OC^2

2OC^2=2AO^2

OC^2=AO^2

所以OC=AC。

【求解∠AOM】