数学建模复习题

2024年3月26日发(作者：天津高考2021数学试卷)

1、一房地产公司有50套公寓要出租。当租金为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金

每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。

试问房租定为多少可获得最大收入？

解：

设月租金定为180+10x元，那么有x套公寓租不出去，则收入为

（180+10x）（50-x）-（50-x）*20

=9000+320x-10x^2-1000+20x

=8000+340x-10x^2

=-10（x^2-34x-800）

=-10（x^2-34x+289-1089）

=-10（x-17）^2+10890

即x=17时，收入为最高为 10890元

180+10x=350 元

答：当月租定为350元时，收入最高，最高为10890元

2、设某种新产品要推向市场，t时刻产品销售增长率与销售量x（t）成正比，

设市场容量为N，试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，

每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率

时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明

潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有

dx

与x(t)成正比，同

dt

dx

与尚未购买该产品的

dt

dx

=kx(N=x)， (10

dt

其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得

x(t)=

方程(10

辑斯谛曲线．

由

dx

CN

2

ke

kNt

=

kNt

2

dt

1Ce

43)

N

(10

kNt

1Ce

44)

44)也称为逻43)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10



以及

d

2

x

CN

3

k

2

e

kNt

(Ce

kNt

1)

=，

2

3

kNt

dt

1Ce



dx

当x(t*)＜N时，则有＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)

dt

d

2

x

N

时，

2

dt

2

0;

d

2

xd

2

x

NN

当x(t*)＞时，

2

＜0；当x(t*)＜时，

2

＞0．即当销量达到最大需求

dtdt

22

量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当

销量超过一半时，销售速度逐渐减小．

国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)

的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初

期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，

产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经

济效益．

3、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A元，银行的年利率为r，且

可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？

解：（1）设月利率为r，按月按复利进行计算，

第一个月存款所得的复利终值为

F

1

=

100(1r)

60

;

第二个月存款所得的复利终值为

F

2

=

100(1r)

59

；

第三个月存款所得的复利终值为

F

3

=

100(1r)

58

；

·

第五年的最后一个月存款所得的复利终值为

F

60

=

100(1r)

。

五年后，养老金为

F=

F

1

+

F

2

+·+

F

60

=

100[(1

r

)

60



(1

r

)

59



``````



(1

r

)]