吉林省长春市九台市师范高级中学2024届高三高考测试(一)数学试题理试题

2024年4月11日发(作者：初一基础题数学试卷推荐)

吉林省长春市九台市师范高级中学2024届高三高考测试（一）数学试题理试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设

k1

，则关于

x,y

的方程



1k



xyk1

所表示的曲线是（

）

222

A

．长轴在

y

轴上的椭圆

C

．实轴在

y

轴上的双曲线

B

．长轴在

x

轴上的椭圆

D

．实轴在

x

轴上的双曲线

2．已知

i

为虚数单位，复数

z



1i



2i



，则其共轭复数

z

（

）

A

．

13i

B

．

13i

C

．

13i

D

．

13i

3．函数

f



x



cos2x

2cos2x

的图象大致是（ ）

x

21

A

．

B

．

C

．

D

．

4．已知复数

z

满足

i

•

z

＝

2+

i

，则

z

的共轭复数是（）

A

．﹣

1

﹣

2

i

B

．﹣

1+2

i

C

．

1

﹣

2

i

D

．

1+2

i

5．如图，平面四边形

ACBD

中，

ABBC

，

AB3

，

BC2

，

△ABD

为等边三角形，现将

△ABD

沿

AB

翻

折，使点

D

移动至点

P

，且

PBBC

，则三棱锥

PABC

的外接球的表面积为（

）

A

．

8



B

．

6



C

．

4



D

．

82



3

6．一个封闭的棱长为

2

的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（

）

A

．

1

B

．

2

C

．

3

D

．

22

7．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）

A

．

240

8．中，如果

B

．

264 C

．

274

，则

D

．

282

的形状是（

）

D

．等腰直角三角形

A

．等边三角形

B

．直角三角形

C

．等腰三角形

9．已知函数

f(x)3sin



xcos



x(



0)

，

yf(x)

的图象与直线

y2

的两个相邻交点的距离等于



，则

f(x)

的一条对称轴是（

）

A

．

x



12

B

．

x



12

C

．

x



3

D

．

x



3

10．函数

f



x





ln



x

2

1



x

3

的大致图象是

A

．

B

．

C

．

D

．



2

x

x,x0,

11．已知函数

f(x)



2

，则

f(f(1))

（

）



x1,x0,

A

．

2 B

．

3 C

．

4 D

．

5

12．已知四棱锥

PABCD

中，

PA

平面

ABCD

，底面

ABCD

是边长为

2

的正方形，

PA

则异面直线

BE

与

PD

所成角的余弦值为（

）

5

，

E

为

PC

的中点，

A

．



13

39

B

．

13

39

C

．



15

5

D

．

15

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知

sin





3









,







,





，则

tan











_____

。

54



2



a

2

a

5

的值为

_____

．

a

8

14．设

S

n

是等比数列



a

n



的前

n

项的和，

S

3

,S

9

,S

6

成等差数列，则

15．

x(x2)

的展开式中的常数项为

______.

36

16．已知数列



a

n



的首项

a

1

1

，函数

f



x



ea

n1





2a

n

1



cosx

在

R

上有唯一零点，则数列

|



a

n



的前

n

项和

x

S

n



__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）根据国家统计局数据，

1978

年至

2018

年我国

GDP

总量从

0.37

万亿元跃升至

90

万亿元，实际增长了

242

倍多，综合国力大幅提升

.

将年份

1978

，

1988

，

1998

，

2008

，

2018

分别用

1

，

2

，

3

，

4

，

5

代替，并表示为

t

；

y

表示全国

GDP

总量，表中

1

5

z

i

lny

i



i1,2,3,4,5



，

z



z

i

.

5

i1

t

3

y

z





t

i1

5

i

t



2





t

i1

5

i

t



yy







tt



zz



i

ii

i1

5

26.474 1.903 10

dt

209.76 14.05

为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国

ˆ

bta

与

y

ˆ

ce

（其中

e2.718

（

1

）根据数据及统计图表，判断

y

GDP

总量

y

关于

t

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出

y

关于

t

的回归方程

.

（

2

）使用参考数据，估计

2020

年的全国

GDP

总量

.

ˆ

a

ˆ

bx

ˆ

中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

线性回归方程

y

ˆ

b





xx



yy



ii

i1

n





xx



i

i1

n

2

ˆ

.

ˆ

ybx

，

a

参考数据：

n

e

n

的近似值

4

55

5

148

6

403

7

1097

8

2981

18．（12分）已知

ABC

中，角

A,B,C

所对边的长分别为

a,b,c

，且

acosB

（

1

）求角

A

的大小；

（

2

）求

sin

2

Bsin

2

CsinBsinC

的值

.

1

bc.

2



x22cos



xOy

19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线

C

的参数方程为



（



为参数）

.

以坐标原点

O

为极点，

x



y2sin



轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为



sin







（

1

）求曲线

C

的普通方程和直线

l

的直角坐标方程；

（

2

）设点

M



0,1



，若直线

l

与曲线

C

相交于

A

、

B

两点，求

MAMB

的值

20．（12分）如图，在四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AA

1



平面

ABCD

，底面

ABCD

满足

AD

∥

BC

，且









2

.





4



2

ABADAA

1

2，BDDC22.

(Ⅰ)

求证

:

AB

平面

ADD

1

A

1

;

(Ⅱ)

求直线

AB

与平面

B

1

CD

1

所成角的正弦值

.

21．（12分）已知

ABC

中，

BC2

，

B45

，

D

是

AB

上一点．

（

1

）若

S

△BCD

1

，求

CD

的长；

（

2

）若

A30

，

BD3AD

，求

sinACD

的值．

sinDCB

22．（10分）武汉有

“

九省通衢

”

之称，也称为

“

江城

”

，是国家历史文化名城

.

其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖

风景区等等

.

（

1

）为了解

“

五

·

一

”

劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在

22

岁到

52

岁的游客中随机抽取了

1000

人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在



42,52



内的游客中，采用分层抽样的方法抽取

10

人，再从抽取的

10

人中随机抽取

4

人，记

4

人中年龄

在



47,52



内的人数为



，求

P





3



；

（

2

）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在

2020

年劳动节当日投入至少

1

艘至多

3

艘

A

型

游船供游客乘坐观光

.

由

2010

到

2019

这

10

年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量

X

（单位：万人）都大于

1.

将

每年劳动节当日客流量数据分成

3

个区间整理得表：

劳动节当日客流量

X

频数（年）

1X3

2

3X5

4

X5

4

以这

10

年的数据资料记录的

3

个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量

相互独立

.

该游船中心希望投入的

A

型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日

A

型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客

流量

X

（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：

劳动节当日客流量

X

1X3

1

3X5

2

X5

3

A

型游船最多使用量

若某艘

A

型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润

3

万元；若某艘

A

型游船劳动节当日被投

入却不被使用，则游船中心当日亏损

0.5

万元

.

记

Y

（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，

Y

的

数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在

2020

年劳动节当日应投入多少艘

A

型游船

才能使其当日获得的总利润最大？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

C

【解题分析】

y

2

x

2

根据条件，方程



1k



xyk1

．即

2

1

，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．

k1k1

222

【题目详解】

解：∵

k

＞

1

，∴

1+

k

>0

，

k

2

-1

＞

0

，

y

2

x

2

方程



1k



xyk1

，即

2

1

，表示实轴在

y

轴上的双曲线，

k1k1

222

故选

C

．

【题目点拨】

y

2

x

2

本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为

2

1

是关键．

k1k1

2．

B

【解题分析】

先根据复数的乘法计算出

z

，然后再根据共轭复数的概念直接写出

z

即可

.

【题目详解】

由

z



1i



2i



13i

，所以其共轭复数

z13i

.

故选：

B.

【题目点拨】

本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易

.

3．

C

【解题分析】

根据函数奇偶性可排除

AB

选项；结合特殊值，即可排除

D

选项

.

【题目详解】

2cos2x2

x

1

∵

f



x



cos2x

x

cos2x

，

x

2121

2

x

12

x

1

f



x





x

cos



2x





x

cos2xf



x



，

2121

∴函数

f



x



为奇函数，

∴排除选项

A

，

B

；

又∵当

x



0，



时，

f



x



0

，









4



故选：

C

.

【题目点拨】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题

.

4．

D

【解题分析】

两边同乘

-

i

，化简即可得出答案．

【题目详解】

i

•

z

＝

2+

i

两边同乘

-

i

得

z=1-2

i

,

共轭复数为

1+2

i

，

选

D.

【题目点拨】

zabi(a,bR)

的共轭复数为

zabi

5．

A

【解题分析】

将三棱锥

PABC

补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心

O

应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在

RtOBE

中，计算半径

OB

即可

.

【题目详解】

由

ABBC

，

PBBC

，可知

BC⊥

平面

PAB

．

将三棱锥

PABC

补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．

由此易知外接球球心

O

应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记

△ABP

的外心为

E

，由

△ABD

为等边三角形，

可得

BE1

．又

OE

BC

1

，故在

RtOBE

中，

OB2

，

2

此即为外接球半径，从而外接球表面积为

8



．

故选：

A

【题目点拨】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题

.

6．

B

【解题分析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．

【题目详解】

正方体的面对角线长为

22

，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为

2

，故选

B.

【题目点拨】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

7．

B

【解题分析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案

.

【题目详解】

由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，

延长

BE

交

DF

于

A

点，

其中

ABADDD

1

6

，

AE3

，

AF4

，

所以表面积

S



36536





故选

B

项

.

34

24630264

.

2

【题目点拨】

本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题

8．

B

【解题分析】

化简得

lg

cos

A

＝

lg

C

，

B

，进而可判断

.

【题目详解】

由

∵

故选：

B

【题目点拨】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．

9．

D

【解题分析】

由题，得

f(x)3sin



xcos



x2sin





x

，∴，

，可得

lg

cos

A

＝

，∴

sin

C

＝

sin

B

＝

＝﹣

lg

2

，∴

＝

，

，∴

tanC

＝，

C

＝，

B

＝

.

＝﹣

lg

2

，即，结合，

可求，得代入

sinC

＝

sinB

，从而可求











，由

yf(x)

的图象与直线

y2

的两个相邻交点的距离等于

6





，可得最小正周期

T



，从而求得



，得到函数的解析式，又因为当

x

答案

.

【题目详解】

由题，得

f(x)3sin



xcos



x2sin





x



3

时，

2x

ππ



，由此即可得到本题

62











，

6



因为

yf(x)

的图象与直线

y2

的两个相邻交点的距离等于



，

所以函数

yf(x)

的最小正周期

T



，则





2



2

，

T





f(x)2sin2x

所以



，

6



当

x



3

时，

2x

ππ



，

62





所以

x



3

是函数

f(x)2sin



2x







的一条对称轴，

6



故选：

D

【题目点拨】

本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性

.

10．

A

【解题分析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断

.

【题目详解】

由题意可知函数

f



x



为奇函数，可排除

B

选项；

当

x0

时，

f



x



＜0

，可排除

D

选项；

当

x1

时，

f



1



ln2

，当

x3

时，

f(3)

ln10ln10

,ln2

，

2727

f



3



，可排除

C

选项，

即

f



1



＞?

故选：

A

【题目点拨】

本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．

11．

A

【解题分析】

根据分段函数直接计算得到答案

.

【题目详解】



2

x

x,x0,

2

因为

f(x)



2

所以

f(f(1))f(2)222

.



x1,x0,

故选：

A

.

【题目点拨】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力

.