2024年3月11日发(作者：汤阴去年小升初数学试卷)

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重构“权”的意义和“加权平均数公式”，更好的解决教学

难点

我结合教学实践,认真地进行了反思,发现利用加权平均数解决丰富多样的实际问题，这

对“那些基础不太好的同学来讲”的确是一个教学难点;同时,我也主动思考了解决这一问题

的方法。

一、加权平均数在中考中也是一个重要的知识点，它也是学生学习的难点，表现在以下

几个方面：

1．对概念中“权”的意义的理解比较困难。

2．对公式内在意义的理解是难点。

3．学生往往机械地套用公式解决实际问题，对公式本身内在的实际意义不求深入地理

解。

二、解决这一问题的方法如下：

1．平均数与加权平均数是一般与特殊的关系，解决实际问题时要紧扣平均数这一原始

概念。

2．以具体的实际问题为背景，加深理解加权平均数的两个公式和“权”的概念，这是

解决这一难点最有效的方法之一。

3．数学建模与题型教学相结合，解决难点。每一个具体的实际问题的解决就是在建立

一个相应的数学模型；对多个数学模型的提炼、概括，就是题型的分类教学；通过这一过程

的反复训练，提高对加权平均数的认识，解决难点。

4．通过对“权”的意义和加权平均数意义的再度重构，突破难点。

三、下面我们结合几个具体例子来,更加深入地探究解决“加权平均数”这一教学难点

的具体方法。

1．甲、乙、丙三个班参加数学竞赛，已知三个班总平均成绩为72。5分,又知参赛人数

为30人的甲班的平均成绩为75分,参赛人数为25人的乙班平均成绩为80分,丙班有40人

参赛,则丙班的平均成绩是多少?

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2．某中学规定学期总评成绩评定标准为：平时30％，期中30％，期末40％，小明平

时成绩为95分，期中成绩为85分，期末成绩为95分，则小明的学期总评成绩为多少分？

3．八年级举行“长征胜利七十周年”演讲比赛，评委从演讲内容、演讲能力和演讲效

果三个方面为选手打分，成绩依百分制，权数分别以5：4：1确定，进入决赛的前两名选手

是张明和王丽，张明得分依次为85，95，95，王丽得分依次为95，85，95，请你帮助决出

第一名是谁？

指导学生先自主学习后合作探究，共同解决以上三个问题，对不同学生适时给以引导。

上面实际问题我们建立了三个不同的数学模型，我们能不能把它们归纳为同一类题型？

怎样更好地归纳和理解呢？

四、适时引导学生归纳认识以下问题：

1．实际是第一、三两个题目也具有和第二个题目相同的数学结构，因此第一、三两个

题目我们就可以借助第二题的形式来理解其相应的数学意义;它们的共同结构如下：Q=

ax+by+cz；(公式中的a、b、c分别相当于第二题中的30％，30％，40％，Q相当于小明的

学期总评成绩,x、y、z分别相当于小明三个学段的成绩95、85和95)

2．结合以上问题,逐渐深入地对“权”的意义进行探究和重构

（1）“你能指出上边第一、二、三题每个题目中相应的‘权’是什么吗？”师生共同解

决以上问题并组织学生交流。

（2）通过三个题目的归纳，你能依据实际问题的共同模型Q= ax+by+cz，给“权”下

一个新的定义吗？同时又不影响实际问题的解决。

如需要，则适时引导使学生充分认识到，由于同一个问题中，各个权重都分别除以共同

的分母后，相互间的大小关系不会发生变化，所以各“权”在实际问题中的作用也不会发生

变化，我们又找到了新的形式的“权”，我们的同学又发现了一个新定义：既Q= ax+by+cz

中的a、b、c,所以我们也可以这样定义“权”。

3．请同学们想一下，第一题中的30人也就是75分出现30次，这一问题的解决又相当

于是课本上的第二个加权平均数的公式的应用，课本上为什么又给出第二个加权平均数的公

式呢？

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引导同学们认识到最后这一个公式与前一个公式实质还是同一个数学模型，第二个公式

是第一个公式的特例，是为解决“统计中常见的一组数据中多次出现重复的数据这一问题”

的方便才这样做的。

当然，学生利用加权平均数解决丰富多样的实际问题，这还需要结合今后逐步的锻炼来

提高。

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