2024年1月21日发(作者：2021全国丙卷数学试卷)

2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析

一、选择题

1.当x0时，若xtanx与x是同阶无穷小，则k

A.1.

C.3.

.B.2.

D.4.

kxsinx2cosx（0x2）的拐点

B.0,2

,

22C.,2

3.下列反常积分收敛的是（）

A.C.D.33,22

0xexdx B.D.0xexdx

20arctanxdx

1x20xdx1x2

4.已知yaybycex的通解为y(C1C2x)e-xex,则a,b,c

的值为（ ）

A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4

5.已知积I2sinD分区域D（|xy，I1Dx2y2dxdyx,y）2x2y2dxdy，I31cosx2y2)dxdy，试比较I1,I2,I3的大小

DB.I1I2I3

D.I2I3I1

，A.I3I2I1

C.I2I1I3

6.已知f(x)g(x)是二阶可导且在xa处连续，请问f(x)g(x)相切于a且曲率相等是limxaf(x)g(x)0的什么条件？

(xa)2B.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

*A.充分非必要条件

C.必要非充分条件

A是A的伴随矩阵，7.设A是四阶矩阵，若线性方程组Ax0的基础解系中只有2个向量，则A的秩是

*

A.0

C.2

B.1

D.3

2T8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若AA2E，且A4，则二次型xAx的规范形为

A.y2221y2y3 B.y2221y2y3

C.y2y22D.y22212y3

1y2y3

二、填空题

(xxxx2)

10.曲线xtsint在y1costt32对应点处切线在y轴上的截距为

11.设函数f(u)可导，zyf(y2zzx)，则2xxyy

12. 设函数ylncos（x0x6）的弧长为

13. 已知函数f(x)xxsint2tdt，则1t0f(x)dx

110014.已知矩阵A2111221，Aij表示A中(i,j)元的代数余子式，30034A11A12

三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

已知函数x)x2xf(x0xex1x，求f\'(x)并求f(x)的极值

016.（本题满分10分）

求不定积分3x6(x1)2(x2x1)dx.

17.（本题满分10分）

yy(x)x2是微分方程y\'xy122xe满足条件y(1)e的特解.

则

由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)

（1）求y(x)

（2）设平面区域Dx,y）（1x2,0yy(x)，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

18.（本题满分10分）

已知平面区域D满足x,y|x2y2y4，求D3xydxdy.

22xy19.（本题满分10分）

nN,Sn是f(x)exsinx的图像与x轴所谓图形的面积，求Sn，并求limSn.

n20.（本题满分11分）

2u2uuu已知函数u(x,y)满足222330,求a,b的值，使得在变2xyxy换u(x,y)v(x,y)eaxby下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.

21.（本题满分11分）

已知函数f(x,y)在0,1上具有二阶导数，且f(0)0,f(1)1,（1）存在(0,1)，使得f\'()0；

（2）存在(0,1)，使得f\'\'()2.

22.（本题满分11分）

10f(x)dx1，证明：

1112，

已知向量组（Ⅰ）11，20，32a3441011，2，3，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，（Ⅱ）1232a31aa3求a的取值，并将用1,2,3线性表示.

23.（本题满分11分）

221210A2x2与B010已知矩阵相似

000y02（1）求x,y，

（2）求可逆矩阵P,使得PAPB

1

由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题解析（数学二）

1.C

9.

10.

11.

12.

13.

2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C

4e2

32

2z

1ln3

21(cos11)

44 14.

15.解：

当x0时，fxx2xe2xlnxe2xlnx2lnx2=x2x2lnx2.

当x0时，fxxex1exxex1xex.

当x=0时，f01，

x2x1e2xlnx12xlnxf0limlimlim，

x0x0x0xxxxex11xf0limlime1.

x0x0x2xx2lnx2 x0故fx=.

x1xex0令fx=0，得x1e1,x21.

（1）当x0,e1,fx0,fx单调递减，

当xe1，+,fx0,fx单调递增，

故fe11=为极小值.

e2e0,fx0,fx单调递增， （2）当x-1，当x0,e1,fx0,fx单调递减，



故f0=1为极大值.

（3）当x,1,fx0,fx单调递减，

0,fx0,fx单调递增， 当x-1，故f1=e1为极小值.

116.

17.

18.

由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)

34I=d4sin20rsin1313544rdrsindsin4dcosr242432131241cosdcos412cos2cos4dcos

2424432120

19.

20.解：ux,yvx,yeaxby

uvaxbyeaveaxbyxxuvaxbyebveaxbyyy2u2vaxbyvaxbyvaxby2axbyeaeaeavex2x2xx2u2vaxbyvaxbyvaxbyebebeb2veaxby22yyyy，

3a4a304. 带入得，解得34b0b3421.

22.解：

由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)

1101111021231,2,3,1,2,32244a+3a31aa+3

1101110110222200a1a11aa1（1）当a10，即a1时，r1,2,33,r1,2,33，此时两个向量组2必然等价，且3=12+3.

111101（2）当a=1时，1,2,3,1,2,3011022

000000此时两个向量组等价，3=2k31k22+k3.

111101（3）当a=1时，1,2,3,1,2,3011022.

000220此时两个向量组不等价.

23.（1）A与B相似，则tr(A)tr(B)，AB，即（2）A的特征值与对应的特征向量分别为

x4y1x3，解得

4xy822y121；=2，.

；=1，1=2，1===12322320042.

1所以存在P11=1,2,3，使得P1AP12B的特征值与对应的特征向量分别为

101；=2，.

；=1，1=2，1==3=0322300102. 所以存在P2=1,2,3，使得P21AP212

1111所以P，即BPP1AP

2AP2P1APP2=P121AP1111.

1其中PPP21212004


更多推荐

矩阵,已知,导数,全国,考试