一类新离散混沌系统的前馈控制方法

2024年1月1日发(作者：合肥小学生国际数学试卷)

一类新离散混沌系统的前馈控制方法

李战国;徐伟

【摘 要】用离散混沌系统状态变量的前向演化偏差设计了一个新控制器,对混沌吸引子中不稳定低周期轨道进行闭环稳定化控制.用非线性系统稳定性理论,证明了受控系统在原系统不稳定不动点处的稳定性系数的绝对值小于1.通过对一类新离散混沌系统的数值仿真,证实了本文提出的闭环前馈控制方法的有效性与鲁棒性.%A

new controller is designed based on the forward-evolution deviation of the

state variables in discrete chaotic systems. The aim is to stabilize the

unstable lower-period orbits embedded in chaotic attractors in a closed-loop way. On the basis of the stability theorems of nonlinear systems, it is

proved that the absolute value of stability coefficient at the unstable fixed

point of the original system is less than 1 under the new controller.

Numerical simulations on a new discrete chaotic system are depicted to

verify the effectiveness and robustness of the closed-loop feedforward

control procedure proposed in this paper.

【期刊名称】《工程数学学报》

【年(卷),期】2011(028)004

【总页数】8页(P427-434)

【关键词】控制器；前馈控制；新离散混沌系统；随机扰动

【作 者】李战国;徐伟

【作者单位】西北工业大学理学院应用数学系，西安710072;西北工业大学理学院应用数学系，西安710072

【正文语种】中 文

【中图分类】O415.5

1 引言

自1990年Ott等的开创性工作以来[1]，混沌系统的控制、同步及利用成为非线性科学研究的热点领域之一[2-14].混沌理论与技术在保密通信、图像加密、数字水印、电厂灾害治理等诸多方面展现出广阔的潜在应用前景[3,4].国内外学者提出了许多混沌系统的控制与同步方法，如：参数微扰控制，变量反馈控制，脉冲控制，主动控制，滑模控制，鲁棒控制，最优控制等[5-14]，并研究了随机力对混沌系统控制与同步的影响[12-14].其中，1992年Pyragas提出的变量延迟反馈控制方法因其实用性强而被广泛使用[5].与Pyragas延迟反馈控制方法不同，本文利用离散混沌系统状态变量的前向演化偏差，尝试构造前馈控制器，从而对混沌吸引子中的不稳定低周期轨道实施稳定化控制.

2 前馈控制方法

一维非线性离散映射的一般形式可表示为

这里p为参数，xk∈R(k=1,2,3,···)为状态变量，f(x,p)为关于x的连续可微非线性函数.由非线性理论知，当参数p在一定范围内变动时，系统(1)的状态演化会出现混沌行为，其混沌吸引子中嵌有无穷多不稳定周期轨道.记fm(·)表示f(·)的m次复合函数.若存在x∗使得fm(x∗,p)=x∗，且当k=1,2,···,m − 1时，fk(x∗,p)≠x∗，则称x∗为系统(1)的周期m点，其稳定性系数

由稳定性理论知，周期m点x∗ 在|η|<1时稳定，在|η|>1时不稳定.记=,=f(,p),···,=f(−1,p)，显然，,,···, 均为系统 (1)的周期 m 点，且具有相同的稳定性，它们构成系统(1)的一条周期m轨道.由复合函数链式求导法则知，系统(1)周期m点x∗的稳定性系数η=f′x(x∗1,p)·f′x(x∗2,p)···f′x(x∗m,p).

稳定混沌系统到其不稳定周期m点(或不稳定周期m轨道)是混沌控制理论研究的重要内容之一.混沌系统的“蝴蝶效应”表明，对状态变量当前值的微扰会对其长期行为产生巨大影响.这为依据状态变量前向演化偏差构造控制器对状态变量的当前值进行扰动以达到混沌控制目标提供了可能.设x∗为混沌系统(1)的一个不稳定周期m点，前馈控制器取如下形式

这里g(·)为关于变量x的连续可微函数，且满足g(0)=0,g′(0)≠0.满足该条件的函数有多种类型，如g(x)=x,g(x)=sin(x)等.δ为增益强度，且满足

这里η为混沌系统(1)不稳定周期m点x∗的稳定性系数，ϵ为常数且满足|ϵ|<1.从而，混沌系统(1)的受控模型方程可表示为

定理1 混沌系统(1)的不稳定周期m点是其受控系统(4)的稳定周期m点.

证明 设x∗是混沌系统(1)的周期m点，即fm(x∗,p)=x∗，从而有fn·m(x∗,p)=x∗，这里n=1,2,···，于是

这表明x∗ 也是系统(4)的周期m点.记=,=f(,p),···,=f(,p)，显然，,,···,均为系统(1)的周期m点，它们构成系统(1)的一条周期m轨道.由上文分析知,,···,也均为系统(4)的周期m点，它们也构成系统(4)的一条周期m轨道.

设x∗是混沌系统(1)的不稳定周期m点，则其稳定性系数

且有|η|>1.显然，x∗也是系统(4)的周期m点.其稳定性系数

利用η的表达式可知

这里i=1,2,···,m.利用(3)式可知，系统(4)在其周期m点x∗处的稳定性系数β满足

故由稳定性理论知，x∗是系统(4)的稳定周期m点.证毕

定理1表明，在控制器(2)式与增益强度(3)式作用下，系统(4)能够被稳定到混沌系统(1)的不稳定周期m轨道.由于该轨道为系统(1)的固有周期轨道，因而，在控制目标实现后，系统变量的前向演化偏差f(n+1)m+1(x∗,p)−fn·m+1(x∗,p)=0，控制力变为0.由于控制过程采用的是闭环控制方法，因而，一旦系统受到短时随机力干扰而偏离其固有周期m轨道，系统变量的前向演化偏差能够即刻激活控制器，使得控制器在随机干扰消除后能自动把混沌系统(1)稳定到其原固有周期m轨道.这表明设计的控制器具有一定的鲁棒性.此外，取g(x)=x时，控制器(2)为线性控制器，取g(x)=sin(x)等其它函数形式时，控制器(2)为本质非线性控制器.

3 模型与仿真

2004年，Lu等在进化算法研究中提出了一个新的离散混沌系统，其模型方程为[15]

其映射函数可写为

由文献[15]知，参数p∈[−p0,p0],p0≈ 0.990，系统变量x∈[−10.0025,10.0025]，

且对任意p有

即f(x)为区间[−10.0025,10.0025]上的自映射函数.函数f(x)的图像见图1.由图1知，对于参数p的不同取值，f(x)均为单峰映射函数.系统(5)关于参数p的分岔图及最大Lyapunov指数曲线图见图2.由图2知，随着参数p的递增，系统(5)经历了由倍周期分岔通向混沌的过程，以及通过逆倍周期分岔机制由混沌态转化为周期态的变化过程.最大Lyapunov指数在参数p的分岔点处近似等于0，在系统(5)处于周期态(混沌态)时小于(大于)0.由图2可以看出，用分岔图或最大Lyapunov指数曲线图判断系统(5)运动状态可以得到完全一致的结论.图2中分岔图的局部放大图见图3.由图2及图3可见，系统(5)随参数p变化会出现比Logistic映射更复杂的动力学行为[15].由图2及计算结果知，p=0.3时系统(5)的最大Lyapunov指数为λ=0.3557，系统(5)处于混沌运动状态.在参数p=0.3时，函数fm(x)的图像见图4，系统(5)的时间历程图见图5，系统(5)的低周期轨道及其稳定性系数见表1(结果保留4位小数).图4中，系统(5)的周期m点位于fm(x)曲线与分角线的交点上.图5中时间历程图呈不规则变化，这也表明系统(5)在参数p=0.3时处于混乱状态.表1表明，系统(5)有1个不稳定不动点，1条不稳定周期2轨道，1条不稳定周期4轨道，及4条不稳定周期6轨道.

在对系统(5)不稳定周期轨道进行稳定化控制时，先让系统(5)自由演化100次以达到充分混沌状态，然后打开控制器开关，则系统(5)的受控模型方程可写为

这里取g(x)=sin(x)，并利用(2)式和(3)式，控制器uk可表示为

取初值x0=1，参数p=0.3,η= −2.6026,m=1,n=1,ϵ=0.3，系统(7)仿真结果见图6.由图6知，打开控制器开关后，经过很短的控制时间，系统(7)即被稳定到不动

点0.8799，且控制过程中控制力uk的变化幅值很小，控制到不动点后控制力变为0.

取初值x0=1，参数p=0.3,η=−2.4880,m=2,n=2,ϵ=0.3，系统(7)仿真结果见图7.由图7知，打开控制器开关后，经过很短的控制时间，系统(7)即被稳定到周期2轨道−0.5794,2.4691.控制力uk的变化幅值很小，稳定到周期2轨道后控制力uk变为0.

取初值x0=1，参数p=0.3,η=−6.7877,m=4,n=1,ϵ=0.3，类似的仿真结果见图8.由图8知，控制时间较短，控制力uk的变化幅值很小，系统(7)被稳定到周期4轨道后，控制力uk变为0.

取初值x0=1，参数p=0.3,η=17.6823,m=6,n=1,ϵ=0.3，系统(7)仿真结果见图9.由图9知，在控制器(8)作用下，系统(7)被稳定到系统(5)的一条周期6轨道.对于参数p,η,m,n,ϵ的其它3组取值，系统(7)可分别被稳定到系统(5)的另外3条周期6轨道，见表1.篇幅所限，其它3组周期6控制的仿真图形略.

上文仿真结果表明，在控制器(8)作用下，系统(7)可稳定到系统(5)的固有低周期轨道，且控制目标实现后，不需要控制力作用就可持续沿着其固有周期轨道运动下去.然而，实际系统难免会受到短时随机力的干扰.不妨用ξk表示区间[0,1]上服从均匀分布的随机数，若系统(7)在500530时撤去随机力ξk，则系统(7)的周期2仿真控制结果如图10所示.由图10可以明显看出，在给定的参数条件下，即使有短时随机力ξk的干扰，系统(7)仍能在随机干扰消除后自动稳定到其原周期2轨道，且控制过程中控制力uk的幅值很小，控制到目标轨道后，控制力变为0.

表1: 系统(5)在p=0.3时的低周期轨道及其稳定性系数轨道数 轨道值 稳定性系数周期1轨道 0.8799-2.6026周期2轨道 1 -0.5794 2.4691 -2.4880周期4轨道 1

-1.0692 1.1252 0.3945 3.7938 -6.7887周期6轨道 4 -1.2001 1.0093 0.5911

2.0476 -0.3813 4.1892 17.6823-2.6836 0.9420 0.7301 1.3606 0.1044 8.9866

9.3122-2.7962 0.9651 0.6799 1.5744 -0.0845 9.3586 -6.9201-1.3638 0.9193

0.7822 1.1702 0.3294 4.6965 -22.3511

图1: 函数f(x)曲线图

图2: 系统(5)分岔图及最大Lyapunov指数曲线

图3: 分岔图的局部放大图

图4: 函数fm(x)在p=0.3时的曲线(m=1,2,4,6)

图5: 系统(5)时间历程图(p=0.3)

图6: 系统(7)被稳定到周期1(p=0.3,η= −2.6026,m=1,n=1,ϵ=0.3)

图7: 系统(7)被稳定到周期2(p=0.3,η= −2.4880,m=2,n=2,ϵ=0.3)

图8: 系统(7)被稳定到周期4(p=0.3,η=−6.7887,m=4,n=1,ϵ=0.3)

图9: 系统(7)被稳定到周期6(p=0.3,η=17.6823,m=6,n=1,ϵ=0.3)

图10: 随机干扰下系统(7)周期2控制(p=0.3,η=−2.4880,m=2,n=1,ϵ=0.3)

4 结论

本文利用计算机的快速计算能力，通过计算离散混沌系统状态变量的前向演化偏差，提出了一种离散混沌系统的前馈控制方案.设计了前馈控制器及其增益强度的一般表达式，并从理论上证明了所设计的控制器能够把离散混沌系统控制到其内在不稳定低周期轨道.闭环控制方式使得设计的前馈控制器具有一定的鲁棒性，在系统受到短时随机力干扰后，能迅速将其稳定到原不稳定周期轨道，设计的控制器的可行性与有效性通过对一类新离散混沌系统的数值仿真得到证实.

参考文献：

【相关文献】

[1]Ott E,Grebogi C,Yorke J lling chaos[J].Physical Review Letters,1990,64:1196-1199

[2]徐伟，都琳，许勇.非线性随机动力系统研究的若干进展[J].工程数学学报，2006,23(6):951-960

Xu W,Du L,Xu recent developments of nonlinear stochastic dynamics[J].Chinese

Journal of Engineering Mathematics,2006,23(6):951-960

[3]Gao T G,Chen Z Q.A new image encryption algorithm based on hyper-chaos[J].Physics

Letters A,2008,372:394-400

[4]Lu W,Lu H T,Chung F digital image watermarking based on

subsampling[J].Applied Mathematics and Computation,2006,181:886-893

[5]Pyragas uous control of chaos by self-controlling feedback[J].Physics Letters

A,1992,170:421-428

[6]雒志学，李沐春.具有扩散和年龄结构种群动力系统的最优控制[J].工程数学学报，2006,23(4):641-646 Luo Z X,Li M l control for linear population dynamics with

age-dependence spatial structure and diffusion[J].Chinese Journal of Engineering

Mathematics,2006,23(4):641-646

[7]Tian L X,Dong G ard-response control of sudden occurrence of

chaos[J].Physics Letters A,2008,372:4241-4246

[8]赵立英，刘坤，刘贺平.不确定多重时滞中立系统的时滞相关鲁棒H∞控制[J].工程数学学报，2009,26(4):593-600 Zhao L Y,Liu K,Liu H -dependent robust H∞control for

uncertain neutral systems with multiple time delays[J].Chinese Journal of Engineering

Mathematics,2009,26(4):593-600

[9]杨俊萍，马红艳，贾新春.带有饱和执行器的T-S模糊时滞系统的模糊控制[J].工程数学学报，2009,26(3):475-479 Yang J P,Ma H Y,Jia X control for T-S fuzzy time-delay systems

with actuator saturation[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2009,26(3):475-479

[10]Xu W,et is for the stabilization of impulsive control Liu’s

system[J].Chaos,Solitons&Fractals,2009,42(2):1143-1148

[11]Salarieh H,et izing unstable fixed points of discrete chaotic systems via quasi-sliding mode method[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical

Simulation,2009,14:839-849

[12]李战国，徐伟.不确定混沌系统自适应改进投影同步于参数估计[J].工程数学学报，2010,27(1):30-36 Li Z G,Xu ve modified projective synchronization and

parameter estimation for chaotic systems with uncertain parameters[J].Chinese Journal of

Engineering Mathematics,2010,27(1):30-36

[13]Lei Y M,et control by harmonic excitation with proper random

phase[J].Chaos,Solitons&Fractals,2004,21(5):1175-1181

[14]Li Z G,Xu W,Zhang X is of chaotic behavior in the extended duffing vander

polsystem subject to additive non-symmetry biharmonical excitation[J].Applied

Mathematics and Computation,2006,183:858-871

[15]Lu J A,et al.A new discrete chaotic system with rational fraction and its dynamical

behaviors[J].Chaos,Solitons&Fractals,2004,22(2):311-319