2024年3月20日发(作者：高中数学试卷卷面整洁吗)
全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，
B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入
题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若
a
是最大的负整数，
b
是绝对值最小的有理数，
c
是倒数等于它本身的自然数，
则
a
2013
2014bc
2015
的值为
【 】
（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0
【答】D．
解：最大的负整数是－1，∴
a
=－1；
绝对值最小的有理数是0，∴
b
=0；
倒数等于它本身的自然数是1，∴
c
=1.
2013
∴
a
2013
2014bc
2015
=
（1）201401
2015
=0.
xyz5，
2. 已知实数
x,y,z
满足
则代数式
4x4z1
的值是【 】
4xy2z2.
（A）
3
（B）3 （C）
7
（D）7
【答】A．
解：两式相减得
3x-3z-3，则4x4z13.
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1
中的线段MN在图2中的对应线段是【 】
（A）
a
（B）
b
（C）
c
（D）
d
d
a
M
N
图1
图2
b
c
（第3题图）
【答】C．
解：将图1中的平面图折成
正方体，MN和线段c重合.不妨
设图1中完整的正方形为完整面，
△AMN和△ABM所在的面为组
A
合面，则△AMN和△ABM所在的
面为两个相邻的组合面，比较图
B
A
a
d
M
c
b
N
B
M
N
图1
图2
2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
4. 已知二次函数
yax
2
bxc
的图象如图所示，则下列7个代数式
ab
，
ac
，
bc
，
b
2
4ac
，
abc
，
abc
，
2ab
中，其值为正的式子的个数为【 】
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）4个以上
y
y
O
1
x
A
B
O
x
（第5题图）
-1
（第4题图）
【答】C．
解：由图象可得：
a0
，
b0
，
c0
，∴
ab0
，
ac0
，
bc0
.
抛物线与
x
轴有两个交点，∴
b
2
4ac0
.当
x
=1时，
y0
，即
abc0
.
当
x
=
1
时，
y0
，即
abc0
.从图象可得，抛物线对称轴在直线
x
=1的左边，即
b
1
，∴
2ab0
.所以7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.
2a
5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在
1
反比例函数
y
（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】
x
11
（A）
y
（x<0） （B）
y
（x<0）
8x4x
11
（C）
y
（x<0） （D）
y
（x<0）
2xx
【答】B．
解：如图，分别过点
A,B
分别做
y
轴的垂线
AN,BM
，那么
ANO
∽
OMB
，则
S
ANO
OA
2
()4.
S
OMB
OB
111
S
ANO
ONAN,S
OMB
.
228
OMBM
1
1
，故
y
.
4
4x
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，
点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正
方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从
点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6
【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，
可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终
为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的
1
路径长为
4
=2.
2
A
M
CP
D
B
E
N
G
R
H
Q
K
S
F
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．已知
2
3
x2
，化简
2x3(x9)
得 .
2
【答】
3x-6
．
解：∵
3
x2
，∴
2x30
，
x90
，
2
原式=
2x3x93x6
.
8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中
红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率
为
2
，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .
5
【答】
6
．
25
解：设口袋中蓝色玻璃球有
x
个，依题意，得
出一个红色玻璃球）
=
66
.
691025
x2
，即
x
=10，所以P（摸
69x5
x
2
x1
1
4
，则
x
2
2
1
= . 9. 若
x
x
【答】8．
x
2
x1
1
4
，∴
x3
. 解：∵
x
x
1
11
2
则
(x)
2
9
，即
x
2
2
7
.
∴
x
2
18.
x
x
x
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转
90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为 .
C
D
B
A
O
（第10题图）
【答】
．
解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=
23
，BO=DO=4，
∴阴影部分面积=
S
扇形OBD
S
△AOB
S
扇形OAC
S
△COD
=
S
扇形OBD
S
扇形OAC
90
4
2
90
(23)
2
==
.
360360
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿
BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A
1
恰落在∠BCD的平分线上时，CA
1
= .
E
D
A
【答】
221
．
解：过A
1
作A
1
M⊥BC，垂足为M，设CM=A
1
M=x，
则BM=4－x，
在Rt△A
1
BM中，
A
1
B
C
（第11题图）
A
1
M
2
A
1
B
2
BM
2
9(4x)
2
，
∴
9(4x)
2
=
x
2
，∴x =A
1
M=
2
2
，
2
∴在等腰Rt△A
1
CM中，C A
1
=
221
.
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足
a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、
c、d的一个整数根，则m的值为 .
【答】20．
解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整
数，因为m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）
是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，
∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d =5，∴m =20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，
大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费
346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有
5x7y10z346
，
y2z
.
易知0
＜
x
≤
69，0
＜
y
≤
49，0
＜
z
≤
34, ……………………………………4分
34624z
∴
5x14z10z346
，
5x24z346
，即
x
.
5
∵x，y，z均为正整数，
34624z
≥0，即
0
＜
z
≤
14
∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8分
34624z
①当z为14时，
x
=2，
y2z
=28.
xyz44
.
5
34624z
②当z为9时，
x
=26，
y2z
=18.
xyz53
.
5
34624z
③当z为4时，
x
=50，
y2z
=8.
xyz62
.
5
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢
笔4支. ……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，
AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），
PHDE于H,
设DP
为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；
（2）若AE=2EB.
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