2024年1月17日发(作者：数学试卷推荐高中高一函数)
3.集合的基本运算
张长印
学习目标
1. 理解两个集合的并集与交集的含义.
2. 会求两个简单集合的并集与交集.
3•了解全集的意义，理解补集概念.
4•能使用Venn图表示集合的关系及运算.
一、夯实基础
基础梳理
1.并集与交集
并集 交集
元素由所有属于集合
A或属于 集由属于A和属于B的所有
A
与B的交合B的兀素组成的集 合，称为组成的集合，称为
文字语言
集合
作
，记
（读作“
A并
集，记作
（读作“
A交
B
”）
定义
符号语言
B
”、）
APIB ={x x€ A,且
x€ B)
AUB={XX^A ,或
X^B}
图形语言
OD
AUB=BUA:
AL,A=
性质
；AU0=
B
AU B
A
: A J B
；
AP|B
=
Bn
A
:
An A = A Ag =0 ;
A. B
A :
A「B
B
2•全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通 常记作U .
3•补集
对于一个集合
A，由全集U中
文字语言
所有兀素组成的集合称为集合
的补
集，记作
符号语言
集合A的
A相对于全集U
e^
A=
03
.
图形语言
4.题型分析
（1）两个集合的并集运算、性质及应用； （2）两个集合的交集运算、性质及应用;
（3）补集的简单运算；
基础达标（4）由集合的交、并、补的运算求参数.
1
.若集合
M ={x|x < 2},
N ={x x2 —3x = 0},则
M
门
N =(
A.
；3
).
D.〈0,3：
B.血 C. (0,2
2•如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(
).
A.
3.
MDP ns B. MlVUS C.
MAPACUS D. M^PUCUS
).
D. Af] B 壬
A」..x.
R
x=llU「y R| y=2?, B = 9
R
z = 1 且 z=2?，那么(
B. A』B C. A=B A.
A=B
4 .已 知全集 UN
*x：：:10? , AP1B-〈1 ,9? , A^l CUB *4 ,6 ,7?,则集合
A= _________ .
5 .集合 A
=
{XX2+4X=0} ,
B ={x x2 +(2a+2 )x + a2 —1=0}，若
ARI
B
= B，求实数
a
的取值
集合.
二、学习指引
自主探究
1 .下列结论是否正确？请用 Venn图进行检验.
AflB
二A A B
;
(2) AUB
=Au
A 二 B
;
(1)
(3) U 为全集，ANADB U AD CUB ；
(4) U 为全集，则 CU
AUB]=[CUA 门 CuB ; CU A IB i；=[Cu
A
U
Cu
B .
eSA中，A与S2. (1)如何理解全集的含义？在符号
CAB ?若不能，请说明理由并用正确的方法表示.
(2)如上左图，阴影部分能否表示为
(3)如上右图，在阴影部分中任取一个元素
x，请说出x与A、B、C的关系，并用集合的运
B
算表示阴影部分.
3 .在平面坡角坐标系中，全集可表示为U」1]x , y x ,
y Rf，从这个角度看，集合A
C
x
A = [ x , y y =x 1：表示什么?
3 |
1表示什么？试求 Cu
A p| Cu B .
x - 2>4的补集为fx-< ol,对吗
4.
全集u = R ,那么Aujx1
J - -
5.思维拓展:
设集合Sn」：1, 2 , 3,山，n?,若X Sn
,把X的所有元素的称为
X的容量（若X中只有一个
0） •若X的容量为奇（偶）数，则称
X为Sn的奇
（偶）子集.
S的所有奇子集的容量之和为
S的所有偶子集的容量之和为
案例分析
1.已知集合
U 二「x0
w
x
w
6 , x 三
Z
/ ,
A 二「1, 3 , 6? , B =「1 , 4 , 5?,贝U eu
B =(
A.
D.「1
,
3, 4 ,
5
, 6；
, 2 ,3,6? , A\" euB ]=「3 , 6?，选 B.
2.如图，I是全集,
B、
).
元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为A.
BDC n ei A
B.
ADC D eB
C.
(BDC #(eA)
D.
APIC U Cl
B
【解析】在阴影部分作任取一个元素
【答案】B.
则
x A , x • C , x - B (即 x・ Cu
B ).
3. 若全集u = R , P」x3x—1£。} ,
Q」x5x+3>6},则不等式组彳\"]1\"，的解集用p
, 5x 3w
6Q可表示为( ).
A.
PD euQ B. Q^euP C. P“Q D.
PUQ
【答案】A.
【解析】：Q」x5x，3 6「、x5x 3
w
6 •； =Cu
Q ,).
=p n Cu
Q - j
4. 已知A』.x_2 w
x
w
5, B」..xm 7：：：x
：：：2m_1?，且Bl」A=A，求实数m的取值范围.
im 1
：：： 2m -1 ,
【解析】BUA二A：=B二A，二 m 1 > 2m「1 或 m1 > -2，二 m
w
2 或 2：：：m
w
3 .所
2m -1
w
5
以，m
w
3
5.已知
m =1，求 AP] B ;
(1) 当
A「B中含有4个自然数，试求
(2) 若
r 1
1
【解析】
(1)
B
_ _
：：,—-||
12，::,
2
A = -2, 6 ,
B=「x|： 2x_1 x_m_1 > 0?
m的取值范围.
( 1 -I
A「|B - -2 , - 2 ,6 .
I 2」 ‘
1 1
(2,
)①当m
m 1
w
，即 m
w
-—时2 2
②当 m，1 ，即 m 时，B = x x > m 1 ,或x
w
2 2 .
r
1 . i
B = ?x x
> -,或x
w
m +1 $，不合题意.
1 1 1 I 2 J
厂1
2j，
利用数轴观察可知只有 2
：：： m 1
w
3= 1
：：： m
w
2 , . 1
：：： m
w
2 . 综上所述，1 :::
m
w
2 .
说明：如果本题改为 A「B中含有5个自然数，答案又会如何呢？ 三、能力提升 能力闯关
1. 解决下列问题：
,B」.xx
w
a?,
AC1B
-
A.
-1
(2)集合
M
A. p 1
2
.已知
B.
1
x
w
V ,
N = x x p
B. p
>
1
A -〔 x 2 :x :::1或 x 1 ■,
, AU B」.x x
：：：1?，则
a取值情况为().
D.
a
w
-1 C. a
w
1
[，若
Mn
N 一，则
C. p
：：1
AUB - lx x -2?,
p的取值范围是(
D.
p
w
1
)0
A\" B -「X1
：：：X w
3 ,则集合
(1)集合
A -
\'、x 一1
：：: x <1 /
B = ________
.
(1) 设全集为
U = R
,
A={xax+bH。},
B={xcx +d
鼻。}，贝U C ={x (ax+b ]cx+d )= o}=
3•解决下列问题：
().
A. CuA q CuB
C. A J CuB
(2)
A^B^C , B^C^A，那么有(
A. A =B =C
C. A =C ,
A
= B
拓展迁移
1 •定义集合运算：
ALI B工ZZ二xy x • y , x A , y B?，设集合A」0 ,仆,B,
3｝,
B. A- B
D. A =C B
B. Cu
A J B
D. Cu
A J CuB
三个集合
A、B、C满足).
则集合AL B的所有元素之和为（
A. 0 B. 6
）.
C. 12 D. 18
2. （2013广东）设整数n > 4，集合X」：1 , 2 , 3, n?.令集合
S 二｛x , y , z x , y , z.二
X，且三条件 x
：：： y ::: z , y
：：：
z ：■■ x , z
：：： x
：：：
y 恰有一个成立 ｝若
x , y , z各z, w , x都在S中，则下列选项正确的是（
A. y , z, w S , x, y , w \' S
）.
x , y ,w S B. y , z, w S ,
C. y
,
z,
w ■\' S
,
挑战极限
x
,
y
,
w S D.
y
,
z,
w ■\' S
,
x
,
y
, wj^
S
1 .对于E =忆,a2，山，aw。｝的子集X =坛，ab ,| ,
a」，定义X的“特征数列”为 X1,
X，…，X100，其中讯=X1
=H|=Xi
=1，其余项均为 0.例如子集 牯2
, as｝的“特征数列” 为 0, 1, 1 , 0, 0,…，0.
2n（1） 子集£1 , as, a^的“特征数列”的前三项和等于 _____________ ;
（2） 若E的子集P的“特征数列” p , F2，…，P00满足P =1 , p+R*=1 , 1 < i
w
99 ；
E
的子集 Q
的“特征数列” q1
, q2,…，q100
满足 q^1 , qj
qj
d qj
=1 , 1< j < 98 ,则 Pfl 1Q
2
的元素个数为 ___________ .
课程小结
1.
图形语言）
并集有关问题非常重要.
2. 熟悉交集与并集有关性质，对于简化或转化交集、并集运算非常重要.
3. 设U是一个集合，A是U的一个子集（即 A5U ）, U中所有不属于
A的元素组成的集合， 叫做A在U中的补集（或余集），记作：ej A，即QJA二「XX，U ,且x-
A .
4.
人为的规定，如果某集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，
可以规定为一个全集，通常用 U来表示.
5. 集合交、并、补运算问题常用到时分类讨论思想，数形结合思想，等价转化思想，应给予一 定的重视.
想一想
1. 并集定义中的“或”能改为“和”吗？
2. A「B是由属于A且B的元素组成的，这种说法正确吗？
3. 数集问题的全集- -定是
R吗？
全集是一种这个集合就
会用三种语言（文字语言、数学符号语言和描述交集及并集的含义， 对于解交集、
3.集合的基本运算
基础梳理
并集
交集
由所有属于集合
A或属于集 合
月的元素组成的集合，称为集
文字语言
合/与£的并集，记作A0B
(读作“ /并B”
由属于/
属于父的所有元素
(读作“ ”
组成的集合，称为/与月的交集， 记作定义
符号语言
G5Z)
图形语言
砂■巩u； /U辰A；
性质
J4U0M；』UBN；
0D
410=0
；
A^BQAA(]BcB
；
AJ啪
3
.补集不属于，二」，「亠匸一二
基础达标
1. — .【解析V
十—所以m I
2. 「.
3. - .【解析】」一卜【，所以」—■成立.
4. ”「「•」.【解析】m2必mu
5•实数「:的取值集合是i；r _111■■- ■-.[解析】丄一㈠』：，广■八二—.1，所以丄「」 或卜一或.丨或厂-- =：，若F二J，则匚「I丄- :
仏丸出+厅\"]/\"*
0#
s
若苑(-4) .
H-4@+2)+¥-l = il
« .
_.
0
；若月皿，则
o(ar=-l
；若养㈠，o)，则
^A-(2^+2)a-4(£7J-l)>0J
< 16-4(2(7 +2)+e?J -1= 0^
o口=1
I /-Id
自主探究
.综上所述，实数..:的取值集合是.-川“-
1.
2.
【解析】可用图验证上述结论都正确.
【解析】（1）关于全角的理解，需要注意以下几点：①全集是人为的规定；②在一个具体的 问题中，我们只能规定一个全集；③全集一旦定义，则我们所研究的对象都必须落在这个集合 中•在符号匕上中，」必须是「的子集.（2）不能，」不是全集，丄，也不是」的子集•正确的
表示方法为
（3
）
4且上「且\'7 \'：，——.且二，.二且K J
.阴影部分可表示为
QB且
3.
♦
【解析】」表示直线丿 「1
, - 表示除去直线丿 门1后所有点的集合.
「！ | ■-,它表示直线
ml去掉.-■-：,从而
所以， ，说明：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题
来加以研究可以得到直观现象，简捷明了的效果.
4.
5.
【解析】不对，/的补集为\"，即CR^={X|XWO}.
思维拓展：― 【解析】•：\"时，：广「心；八=，共有「-：：；个子集.它们的容量 之和为
115
.在上述」个子集中，奇子集只有:个:
0）； {3）41,3}
，它们的容量之和显然为 ，
故偶子集的容量之和为〕“二二]•下面是理论证明：
设\'所有子集的容量之和为
们的容量分别记作：’甘「，则•
，其所有子集记为：°
…一
J
，它
I•把1 _ \' \' \' \' \' \' \' \'的每一个子集添加元素• I -，连同原有的每一个子集，恰好构成集合
…的所有子集，即，此时的所有子集为：
0』詹弟0UO1+1L人火+1}, AupHl）,&2也+1}，
...* …一…+[ -丄——--I? - ■：-.!- - ■■- :.
显然匚「，于是逐步递推得到：匚一: 一 ’—* 、、〔 ：一「.
能力闯关
1. （i）A .（2）•【解析】对于（2）,注意^时，，不满足要求，容易知道当
满足要求.
「一 \'.
=1且仅当
2.
3. （1） _ . （2） L\' .【解析】」「一 二！_」，-」•：一-_
所以一•一 1 ,于是有；二 山卜’，故」—
拓展迁移
,
1. _ .【解析】当：二〕时，I 二〕，当\' \' \'时，［二 1，当 丁二〕，■一 ’时，二一二，故
所有元素之和为 2.
2.4解析】方法一：特殊值法，不妨令「 _・’：■_ _ 2 _，则」，-，「 \'
\'\",
4_1 _一…卜：故选一方法二：因为T 「二「，所以
①，「-「：…②， ③三个式子中恰有一个成立；「=：；：「・④，；「：：：〉・⑤，
丁门「「••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时
八〔丫 V ,于是.「一卜•丄，「「」--；第二种：①⑥成立，此时\'，于 是（..<-；\"汀■-；第三种：②④成立，此时 ■-
- ■- - ■- ■\',于是」・「门/ （工汀」）；第四种：③④成立，此时 「：丨，于是」…・，.…“-.综 合上述四种情况，可得」「•、「: •:
挑战极限
（1） -； （2）
.想一想1.不能.
112.不正确. 3.不一定.
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