黎曼猜想

2024年4月8日发(作者：2021年初升高数学试卷)

内涵

概述

2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问

题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而

不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，

早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数

学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜

想)。

具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程

的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。

内容

方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，

2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要

作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然

而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心

构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ

（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的

1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕

素数分布的许多奥秘带来光明。

编辑本段

理论形成

来源来源

几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1

及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），

希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证

法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证

明。）

1730年，欧拉在研究调和级数：

Σ1/n=1+1/2+1/3+...+。(1)

时，发现：

Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=

Π(1-1/p)^-1。(2)

其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，

将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：

Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3)

证明了上式，即证明了黎曼猜想。

为什么：

π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=

1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(4)

因为：

1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。（5）

所以：

1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......

1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......

1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+.......

.......................................

右端所有第一项的“1”相乘得到：“1”；

右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2\";

...................

把所有加起来就是：1+1/2+1/3+1/4+........

在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都

在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为

这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比

此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖

于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼

假设，则可带动许多问题的解决。

黎曼ζ 函数

黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里

他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像

喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，

目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上

帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题之

前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。 这个函数虽然挂着黎曼的大名，

其实并不是黎曼首先提出的。 但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的

工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应

用奠定了基础。 后人为了纪念黎曼的卓越贡献， 就用他的名字命名了这

一函数。