数学思想研究论文

2023年12月7日发(作者：数学试卷出题者怎么称呼)

数学思想研究

——数形结合

一·思想介绍

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：1.是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；2.是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径

（1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x2)2(y1)24

（2）通过转化构造数题形解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a22222＞0与距离互化，将a与面积互化，将a+b+ab=a+b－2abcos(60或120)与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

2．数形结合的原则

（1）等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

二·数形结合应用

1·方程求解：

例题1．关于x的方程2x2－3x－2k＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k的取值范围是什么？

分析：原方程变形为2x2－3x=2k后可转化为函数y=2x2－3x。和函数y=2k的交点个数问题．

解：作出函数y=2x2－3x的图像后，用y=2k去截抛物线，随着k的变化，易知2k＝－9951或－1≤2k＜5时只有一个公共点．∴ k=－或－≤k<.

81622点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题．

例题2．求函数u＝2t46t的最值．

分析：观察得2t+4+2(6－t)＝16，若设x=2t4，y=6t，则有x2+2y2=16，再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关系问题来解决． 解：令2t4＝x,

6t=y, 则x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再设u=x+y, 由于直线与椭圆的交点随着u的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，过点(0，22)yxu时，u取得最小值22， 解方程组2，得3x2－4ux+2u2－16=0,

2x2y16令△=0, 解得u=±26.

∴ u的最大值为26，最小值为22．

点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．

2·几何证明

例题3．A．B为平面上的两定点，C为平面上位于直线AB同侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABC外侧作正方形CADF、CBEG，求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变．

分析：由于D、E随着C的变化而变化，但M为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如以C点坐标为参量，证得M点坐标不随其变化而变化即可获证．

证明：以AB中点为坐标原点,直线AB为实轴，建立复平面. 设A、B、C对应的复数分别为－a，a，x+yi其中a、x、y∈R．

则

AC=ZC－ZA=(x+a)+yi,

AD=AC×i=－y+(x+a)i=ODOA,

∴

ODADOA=－(a+y)+(a+x)i, ∴ D点的坐标是(－(y+a), a+x),

同理E点的坐标为(y+a, a－x), 据中点公式, DE中点M的坐标为（0，a），它是与AB长度有关，而与C点位置无关的点，即为定点．

点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．

例题4．设112=.

ACADABA、B、C、D是一条有向线段上的四点，且ACAD=0，求证：CBDB 分析：由于A、B、C．D顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又A、B、C、D共线，所以只需数轴即可．

证明：以四点所在直线为数轴，设A、B、C、D四点的坐标依次为0, b、c、d, ∵

ACADcdcd2=0, ∴ =0, ∴ b(c+d)=2cd, ∴ =,

CBDBbcbdcdb1111cd22又===，等式成立.

cdbABACADcd

例题5．函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．

分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．

1x2解法一：由题意及图像，有f(x)21x20x11x02，

（1） 当0f(－x)+x得1x>－1(x)+x, 解得0

52（2） 当－1≤x<0时, 得－1x>1(x)+x, 解得－1≤x<－225,

5∴ 原不等式的解集为[－1, －2525)∪(0, ).

55 分析二：由图象知f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，然后再以形解数．

解法二：由图象知f(x)为奇函数，∴ 原不等式为f(x)>xx，而方程f(x)= 的解为x=±22252525，据图像可知原不等式解集为[－1, －)∪(0, ).

555点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点A、B）最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．

3·图解集合问题

例题6.有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？

分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆

的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：

n(A)n(B)n(C)n(AB)n(AC)n(BC)n(ABC)48

即：282515867n(ABC)48

∴n(ABC)1，即同时参加数理化小组的有1人．

A（数）

B（理）

C（化）

例题7.已知集合Ax|1x3,Bx|ax3a,(aR)

⑴若AB，求a的范围.⑵若BA，求a的范围．

分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使AB，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:a1,这时a的值不可能存在（图①）

3a3a1要使BA，当a >0时集合A应该覆盖集合B,应有成立3a3 ，即0a1。

a0当a0时,B,显然BA成立.故BA时的取值范围为：a1（图②）

a

－１

4·不等式

。

。3a

3

33aa

①

－１

。

a

。

②

3a

３

3a3axsinx,x0,2

例题8.解不等式cos分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数y1cosx,y2sinx在0,2上做出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:357,而当x在区间,,,4444357,2内时,y1cosx的图像都在y2sinx的图像上方．所以可0,,,,4444得到原不等式的解集为：x|0x

4或357x或x2．

444Y

ysinx2

ycosx11

0

2



32

2

x

5·比较函数值

例题9.试判断0.3,log20.3,220.3三个数间的大小顺序．

2x分析：这三个数我们可以看成三个函数:

y1x,y2log2x,y32在x0.3时，

所对应的函数值．在同一坐标系内做出这三个函数的图像(图9)，从图像可以直观地看出当

x0.3时，所对应的三个点P1,P2,P3的位置， 从而可得出结论：20.30.32log20.3．

6·三角形面积问题

例题－1

Y

1

y32x

•

3P

19 图•

2

yx1

P

y2log2x

X

0

0.3

1

•P

210.在△ABC中，A,BC3,则△ABC的周长为( ).

3（A）43sin(B（C）6sin(B)3 （B）43sin(B)3

36)3 （D）6sin(B)3

36分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA到D,使ADAB（图10）,则

CDABAC,CBDCBA6,D6,由正弦定理BCABACsinDsinB6,即ABAC6sinB

,由此,选(C)

6

7·最值求解

例题11.求函数u2t46t的最值。 分析：由于函数右端根号内t同为t的一次式，若只做简单换元

2t4m，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到上面函数右边有两个根号，故可采用两步换元：

设x2t4，y6t，则uxy22

且x2y16(0x4，0y22)22，

所第给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x2y16在一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图16）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

2yxu223x4ux2u160

2x2y16

解

∴

，得u±26，取u26u26max

三·思维总结

从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围