数学模型与数学建模

2024年4月3日发(作者：广东23届数学试卷答案)

数学模型与数学建模

数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工

具或方法。数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。解析

模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式

或数值解的模型。仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模

型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。数

学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于

其建立数学模型。数学建模技术可应用于各个领域，如自然科

学、工程技术、社会科学、医学等。下面就对数学模型和数学

建模的一些概念和应用进行详细介绍。

一、数学模型的分类

数学模型主要包括解析模型和仿真模型。下面分别介绍：

1、解析模型

解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解

数学表达式或数值解的模型。它是基于数学理论和分析方法的，

其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和

应用模型。解析模型主要包括以下几种类型：

（1）几何模型

几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。如，

根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、

体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。几何模型常

用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。

（2）微积分模型

微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。

微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领

域。如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微

积分模型来研究问题。

（3）代数模型

代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模

型。如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问

题。代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。

（4）概率统计模型

概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模

型。如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立

和分析的。又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。

2、仿真模型

仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。计算机

可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过

模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。仿真模型主要有以

下几种类型：

（1）离散事件仿真模型

离散事件仿真模型描述事件发生的顺序和持续时间，用

于模拟物流、制造、金融等系统。离散事件仿真模型的优势是

它能够在不改变实际系统的情况下进行多种情况的仿真，以便

预测实际系统可能出现的各种情况。

（2）连续仿真模型

连续仿真模型是指模拟周期性事件或连续事件的模型。

如物理、化学、生物、水力、气候、地球物理等领域的模拟系

统。连续仿真模型可以对系统进行连续的模拟，这样可以更加

准确地预测系统的行为和结果。

（3）组合仿真模型

组合仿真模型是指将两种或多种模型结合在一起，构成

更为复杂的仿真模型。例如，将离散事件仿真模型和连续仿真

模型结合起来，构建出更为精细的仿真模型。

二、数学建模的流程

数学建模是将实际问题抽象成数学问题，并应用数学建

立模型，用数学方法对问题进行分析和求解的过程。数学建模

流程主要包括模型建立、模型求解和模型评价三个阶段。

1、模型建立

模型建立是将实际问题转化为数学问题的过程，主要包

括以下几个步骤：

（1）确定问题

确定问题是数学建模的第一步，需要将实际问题进行充

分的调研和分析，了解问题的背景、目的和未来的应用范围，

从而帮助确定问题。

（2）收集数据

收集数据是设计数学模型的重要环节。数据的质量和数

量都十分重要，它们会直接影响到模型的正确性和精度。

（3）建立模型

建立模型是关键的一步，数学建模中必须选择适当的数

学方法，如微积分、概率统计等，通过观察实际问题的规律与

特点，把问题抽象为数学问题。

2、模型求解

模型求解是指根据所建立的模型进行分析推理，以获得

问题的答案。模型求解主要包括以下几个步骤：

（1）选择方法

选择合适的数学方法对建立的模型进行求解。如，根据

问题的特性选用线性规划、非线性规划、优化算法等方法。

（2）计算和模拟

将所选取的数学模型和方法运用到实际问题中进行计算

和模拟。这一步需要使用数学软件进行处理和模拟，以获得合

适的输出结果。

（3）结果的处理与分析

拿到计算结果后，还需要对数据进行处理与分析，以得

到准确、可靠并且具体的结果。

3、模型评价

模型评价主要是对模型解决问题的效果进行评价，从而

判断选取的数学模型是否合适并提出改进建议。主要包括以下

几点：

（1）应用预测

将所建立的模型应用于实际问题中，并根据实际情况对

模型预测结果进行评价和判断。

（2）误差分析

对模型误差进行分析和评价，确定模型误差的来源和性

质，进而确定模型的应用注意事项以及模型的改进策略。

（3）灵敏度分析

灵敏度分析是通过改变模型的输入条件，评估输出结果

的变化，以确定模型对输入条件的依赖性。根据对数据的分析

和应用，可以对模型进行改进和完善。

三、数学模型和数学建模的应用领域

数学模型和数学建模技术可以应用于各个领域，如自然

科学、工程技术、社会科学、医学等。下面我们来了解一下在

各个领域的应用。

1、自然科学领域

在自然科学领域，数学建模技术被广泛地应用于物理、

化学、天文学、生物学等领域。数学建模常用的数学方法包括

微积分、代数学等，其应用领域包括气候预报、地震预测、疾

病预测和生态系统研究等。

2、工程技术领域

数学建模和模拟技术是现代工程技术的重要组成部分。

在这个领域，数学建模技术主要应用于工程设计、生产和运营

管理等方面。数学建模常用的数学方法包括运筹学、优化学、

概率统计等，其应用领域包括生产成本控制、质量控制、制造

过程优化等。

3、社会科学领域

在社会科学领域，数学建模和仿真技术逐渐成为社会科

学中重要的研究手段，可应用于经济学、管理学、政治学、社

会学、心理学等领域。数学建模常用的数学方法包括统计学、

网络分析等，其应用领域包括市场需求预测、社会风险评估等。

4、医学领域

在医学领域，数学建模技术可以用于预测疾病的传播、

疾病的诊断和治疗以及药物的研发和剂量计算等方面。数学建

模常用的数学方法包括微积分、概率统计等，其应用领域包括

病毒传播预测、肿瘤治疗研究等。

总之，数学模型和数学建模技术应用广泛，可帮助人们

预测、评估和指导实际问题的解决，进一步促进人类社会发展。