2003年江苏高考数学试题及答案

2024年4月6日发(作者：小学数学试卷页面图片大全)

页眉内容

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3

至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果函数

yaxbxa

的图象与

x

轴有两个交点，则点

(a,b)在aOb

平面上

的区域（不包含边界）为（ ）

2

b

O

b

b

O

O

b

a

O

aaa

A

2

BCD

（ ）

D．－8

（ ）

2．抛物线

yax

的准线方程是

y2

，则a的值为

A．

1

8



2

B．－

1

8

C．8

C．

3．已知

x(

A．

,0),cosx

4

,则tg2x

5

7

24

B．－

7

24

24

7

D．－

24

7



2

x

1,x0,

4．设函数

f(x)



若f(x

0

)1,则x

0

的取值范围是（ ）



1

2





x,x0

A．（－1，1）

页脚内容

B．

(1,)

1

页眉内容

C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．

O

是平面上一定点，

A、B、C

是平面上不共线的三个点，动点

P

满足

OPOA



(

A．外心

AB

AB



AC

AC

),







0,



,则P

的轨迹一定通过

ABC

的

C．重心 D．垂心 B．内心

6．函数

yln

x1

,x(1,)

的反函数为（ ）

x1

e

x

1

,x(0,)

B．

y

x

e1

e

x

1

,x(,0)

D．

y

x

e1

e

x

1

,x(0,)

A．

y

x

e1

e

x

1

,x(,0)

C．

y

x

e1

7．棱长为

a

的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

（ ）

a

3

A．

3

a

3

B．

4

a

3

C．

6

a

3

D．

12

8．设

a0,f(x)ax

2

bxc

，曲线

yf(x)

在点

P(x

0

,f(x

0

))

处切线的倾斜角

的取值范围为



0,







,则P

到曲线

yf(x)

对称轴距离的取值范围为 （ ）





4







1





C．



0,

A．



0,



B．



0,

a

2a





1









b

2a







D．



0,





b1

2a





9．已知方程

(x

2

2xm)(x

2

2xn)0

的四个根组成一个首项为

1

的的等差数列，

4

则

|mn|

（ ）

A．1 B．

3

4

C．

1

2

3

D．

8

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（

7

，0），直线

yx1

与其相交于M、

页脚内容

2

页眉内容

N两点，MN中点的横坐标为



2

，则此双曲线的方程是 （ ）

3

x

2

y

2

C．

1

52

x

2

y

2

x

2

y

2

A．

1

1

B．

43

34

x

2

y

2

D．

1

25

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从

AB的中点

P

0

沿与AB的夹角



的方向射到BC上的点

P

1

后，依次反射到CD、DA和AB上

的点

P

2

、

P

3

和

P

4

（入射角等于反射角），设

P

4

的坐标为（

x

4

，0），若

1x

4

2

，则

tg



的取值范围是 （ ）

A．（

1

，1）

3

B．（

1

2

，）

3

3

C．（

21

，）

52

D．（

2

2

，）

5

3

12．一个四面体的所有棱长都为

（ ）

A．

3



B．4



2

，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

C．

33



D．

6



2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

（理工农医类）

第Ⅱ卷

（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

9

13．

(x

2



1

)

9

的展开式中

x

系数是

2x

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验

该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依

页脚内容

3

页眉内容

次应抽取___________，__________，___________辆

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种

不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，

不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）

6

2

5

1

3

4

16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①

若ABAC,BDCD,则BCAD

②

若ABCD,ACBD,则BCAD

③

若ABAC,BDCD,则BCAD

④

若ABCD,ACBD,则BCAD

其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步

骤

17．（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）

18．（本小题满分12分）

页脚内容

4

页眉内容

已知函数

f(x)sin(



x



)(



0,0







)是R

上的偶函数，其图象关于点

M(

3







上是单调函数求



和



的值

,0)

对称，且在区间



0,



4



2





19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，底面是等腰直角三角形，

ACB90

，

侧棱

AA

1

2

，D、E分别是

CC

1

与

A

1

B

的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重

心G

（Ⅰ）求

A

1

B

与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

（Ⅱ）求点

A

1

到平面AED的距离

C

1

A

1

D

E

G

B

1

C

B

A

20．（本小题满分12分）

已知常数

a0,向量c(0,a),i(1,0)

经过原点O以

c



i

为方向向量的直线与经

过定点

A(0,a)以i2



c

为方向向量的直线相交于P，其中



R

试问：是否存在两个定

点E、F，使得

PEPF

为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由

21．（本小题满分12分）

已知

a0,n

为正整数

页脚内容

5

页眉内容

（Ⅰ）设

y(xa)

，证明

y\'n(xa)

nn1

；

nn

（Ⅱ）设

f

n

(x)x(xa)

，对任意

na

，证明

f

n1

\'(n1)(n1)f

n

\'(n)

22．（本小题满分14分）

设

a0

，如图，已知直线

l:yax

及曲线

C:yx,C

上的点

Q

1

的横坐标为作直线

平行于

x

轴，交直线

l于点P

n1

，再从点P

n1

作直线平行于

y

轴，交曲线

2

C于点Q

n1

. Q

n

(n1,2,3,…）

的横坐标构成数列



a

n



（Ⅰ）试求

a

n1

与a

n

的关系，并求



a

n



的通项公式；

（Ⅱ）当

a1,a

1



n

1

时，证明



(a

k

a

k1

)a

k2



1

2

32

k1

（Ⅲ）当

a1

时，证明



(a

k

a

k1

)a

k2

k1

n

1



3

y

r

r

Q

O

3

Q

c

Q

l

a

1

a

2

a

3

x

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 试 题

（江苏卷）

答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13．



21

14．6,30,10 15．120 16．①④

2

页脚内容

6

页眉内容

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ）

P(A)0.90,P(B)P(C)0.95

，

P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)

P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

20.900.950.050.100.950.950.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176.

解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05

2

20.100.050.950.100.05

2

0.012

解法二：三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.95

2

0.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，

满12分分。

解：由

f(x)是偶函数,得f(x)f(x),

即sin(



x



)sin(



x



),

所以cos



sin



xcos



sin



x

对任意x都成立,且



0,所以得cos



0.

页脚内容

7

页眉内容

依题设0







,所以解得







2

.

3



3



x)f(x),

44

3



3



3



取x0,得f()sin()cos,

4424

3



3



3



f()sin()cos,

4424

3



3



cos0,又



0,得k



,k1,2,3,



,

442

2





(2k1),k0,1,2,



.

3

22



当k0时,



,f(x)sin(x)在[0,]上是减函数;

3322

由f(x)的图象关于点M对称,得f(

当k1时,



2,f(x)sin(2x

当k0时,







)在[0,]上是减函数;

22



10



,f(x)sin(



x)在[0,]上不是单调函数;

322

2

所以,综合得



或



2.

3

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A

1

B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，



D,E分别是CC

1

,A

1

B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形

连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中

1

EF

2

FGFDFD

2

,



EF1,FD3.

3

126

于是ED2,EG.

3

3



FCCD2,AB22,A

1

B23,EB3.

sinEBG

EG612

.

EB33

3

2

.

3

A

1

B与平面ABD所成的角是arcsin

（Ⅱ）连结A

1

D，有

V

A

1

AED

V

DAA

1

E

EDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A

1

AB

, 设A

1

到平面AED的距离为h，

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8