金融数学课后习题答案

2024年3月13日发(作者：高考文综数学试卷)

√

2

B

A

+

√

A

2+4

AB

−

1

68. 对于固定的

n

和

L

，且

L > n

，证明：

L

=

a￢n

p 在

−

1

< i <

1上有唯一解。

第15 页

证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入

L

,而后的

n

年每年末得到回

报1,从而此投资的内部收益率

i

满足

L

=

an

p

i ￢

由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在

−

1

< i <

1,有

唯一的内部收益率。

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69. 证明：(

Ia

)

n

p

i

+ (

Da

)

ni

= (

n

+ 1)

an

p

i

;

sn

+1p

i

=

i

(

Is

)

n

p

i

+ (

n

+ 1)。并给出

实际

背景解释。

证： 1)实际意义：现金流拆分(

n

+ 1)

,

(

n

+ 1)

, · · · ,

(

n

+ 1)

⇔

n, n −

1

, · · · ,

1

1

,

2

, · · · , n

(

Ia

)

n

p

i

+ (

Da

)

ni

=

a

¨

￢n

p

− nvn

i

+

n − a￢n

p

i

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=

a￢n

p (

i−d

d

) +

n

(1

− vn

)

i

= (

n

+ 1)

a￢n

p

2)实际意义：终值是本金(

n

+ 1)和利息利滚利

i

(

Is

)

n

p

i

的结果：

i

(

Is

)

n

p

i

+ (

n

+ 1) =

i

sn

+1

| −

(

n

+ 1)

i

+ (

n

+ 1)

=

sn

+1

|

70. 当

i >

0

, n >

0时，有：

(

Ia

)

n

p

i <

[(

n

+ 1)

/

2]

an

p

i ￢ <

(

Da

)

n

p

i

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证： 由69题有：[(

Ia

)

n

p

i

+ (

Da

)

n

p

i

]

/

2 = (

n

+ 1)

an

p

i ￢ /

2从而，只要证：

(

Ia

)

n

p

i <

(

Da

)

n

p

i

(

∗

)

注意到：(

Da

)

n

p

i −

(

Ia

)

n

p

i ⇔

30__(

n−

1)

,

(

n−

3)

, · · · ,−

(

n−

3)

,−

(

n−

1) 这年金

前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(

∗

)成立。

71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后

每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退

休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年

平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2

.

5%再乘以工作年限。

2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种

退休金方式计算退休金的领取年限。

第16 页

解： 1)平均工资：

$

= 18000(1 + 1

.

04 +

· · ·

+ 1

.

0436)

/

37 = 39747

.

04

退休前一年的工资：18000

×

(1 + 0

.

04)36 = 73870

.

79

103word版本可编辑.欢迎下载支持.

法一：年退休金：0

.

7

$

= 27822

.

93,比例为：37

.

66%

法二：年退休金：0

.

25

$ ×

37 = 36766

.

01,比例为：49

.

77%

2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：

P

= 18000

×

6%

×

Σ36

t

=0

(1 + 4%)

t

(1 + 6%)36

−t

= 235871

.

7

设年退休金为

R

,则有：

R

¨

an

p6%

￢ ≤ P

解得：

n

=

12 第一种方式

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8 第二种方式

72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此

类推；第

n

年初1 + 2 +

· · ·

+

n

元。证明该年金的现值为:¨

a∞

p(

I

¨

a

)

∞

p。

解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两

份标准永久年金，

· · ·

,从第

n

年出发的

n

份标准永久年金

· · ·

。分别求各个子

现金流的现值得到如下的现金流：

¨

a∞

p

,

2¨

a∞

p

, · · · , n

¨

a∞

p

, · · ·

其现值即为原年金的现值：¨

a∞

p(

I

¨

a

)

∞

p。

73.已知连续年金函数为

f

(

t

)，0时刻的年金为

F

0，利息力

δ

，如果用

Ft

表示时刻

t

的

年金终值，证明:

d

Ft

d

t

=

δFt

+

f

(

t

)

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证： 由定义

Ft

=

∫

t

0

f

(

s

)

e

(

t−s

)

δds

=

etδ

∫

t

0

f

(

s

)

e−s

)

δds

d

Ft

d

t

=

δeδt

∫

t

0

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f

(

s

)

e−δsds

+

f

(

t

) =

δFt

+

f

(

t

)

74. A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年

底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格

使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。

第17 页

解： A从B借款：季度实利率为

i

= (1 + 0

.

04)1

/

4

−

1

10000 =

Ra

40p

i ￢

B把后16次___________的还款卖给C：季度实利率为：

i

0

= (1 + 0

.

06)1

/

4

−

1

P

=

Ra

40

|i

0

= 10000

a

40

|i

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0

a

40p

i ￢

解得：

P

= 4303

.

1。

75. 现有两种年收益率相同的投资选择：A－第5年底收益800元，第10年底收

益100元；B－10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的

成本。

解： 投资A的价值方程：

CA

= 425 = 800

v

5 + 100

v

10

⇒ v

5 = 0

.

5

投资B的价值方程：

CB

= 100

a

1

￢

0p = 100

1

− v

10

i

= 504

.

38

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76. 已知:

a￢

5p = 3

.

982

, a

1

￢

0p = 6

.

680

, a

1

￢

5p = 8

.

507，计算利率

i

(有必要

给出

a

1

￢

5p =

8

.

507吗？)。

解： 由

a￢n

p 的表达式易见：

v

5 =

a

10

|

a

5

|

−

1

⇒ a￢

5p =

2

− a

10

j

a

5

j

i

解得：

i

=

2

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a

5

|

−

a

10

|

a

2

5

|

= 0

.

081

77. 某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可

接受年利率为多少？

解： 由题意：

325¨

a

12p

i ￢

= 3700

解得：

i

= (1 + 0

.

00972)12

−

1 = 12

.

31%

第18 页

78. 永久年金A有如下的年金方式：1

,

1

,

1

,

2

,

2

,

2

,

3

,

3

,

3

, · · ·

；永久年金B有如

下的

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年金方式：

K,K,

2

K,

2

K,

3

K,

3

K, · · ·

。如果两个年金的现值相等，计算

K

。

解： 现金流拆分:

1

,

1

,

1

,

2

,

2

,

2

,

3

,

3

,

3

, · · · ⇔

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

, · · ·

0

,

0

,

0

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

, · · ·

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

1

,

1

,

1

, · · ·

· · ·

⇔

1

i ,

0

,

0

,

1

i ,

0

,

0

, · · ·

由此方式A的现值为：

PV

= 1

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i

+ 1

i v

3 + 1

i v

6 +

· · ·

= 1

i

( 1

1

−v

3 )

同理方式B的现值为：

PV

=

K

i

( 1

1

−v

2 )

解得：

K

=

a￢

2p (

a￢

3p )

−

1

79. 永久年金的年金方式为：1

,

1

,

2

,

1

,

1

,

3

,

1

,

1

,

4

, · · ·

。每年底支付，假定年

实利

率5%，计算现值。

解： 现金流拆分：

1

,

1

,

2

,

1

,

1

,

3

,

1

,

1

,

4

, · · ·

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1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

,

1

, · · ·

(

A

)

0

,

0

,

1

,

0

,

0

,

2

,

0

,

0

,

3

, · · ·

(

B

)

现金流A的现值：

PV

1 = 1

i

现金流B的现值：

PV

2 =

v

3 + 2

v

6 +

· · ·

=

v

3(1

− v

3)

−

2

求和得到：

PV

= 66

.

59

80. 在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。

81. 实利率

i

满足以下条件：期初年金1

,

2

, · · · , n −

1

, n

的现值为A；

n

年底的单

位

支付的现值为

iP

。试给出

a￢n

p 的表达式。

第19 页

第三章习题答案

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1 已知某投资的内部回报率为

r

，且在该投资中

C

0 = 3000 元，

C

1 = 1000 元，

R

2 = 2000 元和

R

3 = 4000 元。计算

r

。

解: 令

v

= 1

1+

r

，由

P

(

r

) = 0 有

C

0 +

C

1

v − R

2

v

2

− R

3

v

3 = 0

代入数据，解得：

v ≈

0

.

8453

∴

r

= 18

.

30%

2 十年期投资项目的初期投入100

,

000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元，

以后逐年递减4% ，计算

R

6 。

解: 由

i

= 6%

, j

= 4%

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R

6 = 30000(1

− j

)5

−

3000(1 +

i

)5

= 30000

×

0

.

965

−

3000

×

1

.

065

= 20446

.

60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一

年底4000 元，第三年底5500 元。计算：

P

(0

.

09) 和

P

(0

.

10) 。

解: 净现值

P

(

i

) 为：

P

(

i

) =

−

7000 + 4000(1 +

i

)

−

1

−

1000(1 +

i

)

−

2 + 5500(1 +

i

)

−

3

P

(0

.

09) = 75

.

05元

P

(0

.

10) =

−

57

.

85元

第1 页

4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.15 元，

可以在第一年底收回208 元。

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解: 设收益率为

i

，其满足：

−

100 + 208

v −

108

.

15

v

2 = 0

解得

i

= 2

.

03% 或6

.

03%

两种收益率的差为4

.

00%

5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4%

的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。

解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程

10

R

+ 4%

R

(

Is

)10p3%

￢

= 1000

解得

R

=

1000

10 + 4%(

Is

)10p3%

￢

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4% ，每年的利息收入以

6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方

可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。计算贷款方的实际年收益率。

解: 设年收益率为

i

，有

1000

a

20p5%

￢ v

20 = 10000

解得

i ≈

6

.

16%

第2 页

7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：

(1) 每年底得到1000 元；

(2) 每年的收入可以按年利率4% 投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。

计算购买价格。

解: 设购买价格为

P

，有

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P

(1 +

i

)5 = 1000

×

5 + 1000

i

(

Is

)4p3%

￢

P ×

1

.

045 = 5000 + 40(

Is

)4p3%

￢

P

= 4448

.

42 元

8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。同时，利息收

入可以以年利率4% 投资。给出第十年底的累积余额表达式。

解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：

P

= 1000

×

5 + 5%

×

1000 (

Is

)10p4%

￢ −

5%

×

1000 (

Is

)5p4%

￢

= 5000 + 50

・ s

1

￢

1p

−

11

4%

−

50

・ s

6p

￢ −

6

4%

= 5000 + 50

×

62

.

159

−

50

×

15

.

824

= 7316

.

73 元

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第3 页

9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为

11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，

年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。计算乙在20 年底的累积利

息收入。

解:

PA

= 2000

×

17%

× s

9p11%

￢

PB

= 150

×

14%

×

(

Is

)19p11%

￢

由

PA

= 5685

.

48

解得(1 + 11%)10 = 2

.

83942

带入

PB

计算得

PB

= 8438

.

71元

另解:

PB

= 150

×

14%

×

(

Is

)19p11%

￢

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直接计算得

PB

= 8438

.

71元

10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。十年后以260000

元卖出，同时交纳8%的销售税。计算年收益率。

解：由净现值公式有

P

(

i

) =

−

100000

−

1500

a

10p

i ￢

+ 260000

×

(1

−

8%)

×

(1 +

i

)

−

10 = 0

解得：

i ≈

8

.

075%

11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。计算：

1) 15% 的净现值；2)收益率。

解：由净现值公式有

P

(

i

) =

−

50000 + 18000

a

6p15%

￢

(1)

P

(15%) = 18120

.

69元

第4 页

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(2)

P

(

i

) = 0

解得：

i ≈

27

.

698%

12 某人拥有10000 元按月以

i

(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息

后，立即以

i

(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款

后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的

i

(12) 。

解：第n 次存款后的余额为

P

(

n

) = 10000 + 10000

× i

(12)

12

× s

(12)

n

p

￢

每年的平均

i

(12) 满足

10000

×

(1 +

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i

(12)

12

)

n

=

P

(

n

)

把

n

= 12

,

24

,

36 代入得到

P

(12) = 10634

.

16

, i

(12) = 6

.

16%

P

(24) = 11348

.

67

, i

(24) = 6

.

34%

P

(36) = 12153

.

84

, i

(36) = 6

.

52%

13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。投资收入为60000

元，投资成本为5000 元。用资本加权法计算年实际收益率。

解：由题意，

A

= 500000，

B

= 680000

所以，

I

= 60000

−

5000 = 55000

i

=

2

I

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A

+

B − I

= 9

.

78%

第5 页

14 某基金的年利率4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存入200 元，

第9个月底取款300 元。假定利率按单利计算，计算年底的余额。

解：

P

= 1000

×

(1 +

i

) + 200

×

(1 +

3

4

i

)

−

300

×

(1 +

1

4

i

)

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= 1000

×

1

.

04 + 200

×

1

.

03

−

300

×

1

.

01

= 943 元

15 (1)假定：1

−tit

= (1

− t

)

i

，给出1

−ti

0 的表达式；2）假定：1

−ti

0 =

ti

，给

出1

−tit

的表达式。

解：在考虑福利的前提下有

(1 +

ti

0)(1 +1

−tit

) = 1 +

i

(1) 由1

−tit

= (1

− t

)

i

得

i t

0 =

(1 +

i

)

−

1

−

(1

− t

)

i

1 + (1

− t

)

i

=

ti

1 + (1

− t

)

i

124word版本可编辑.欢迎下载支持.

(2) 由

i t

0 =

ti

得

1

−tit

=

(1 +

i

)

−

1

−

(1

− t

)

i

1 +

ti

=

(1

− t

)

i

1 +

ti

16 在初始时刻和第1 年底分别向基金投入1000 元，已知基金在第1 年底的余

额为1200 元，第2 年底的余额为2200 元。分别用资本加权法和时间加权法

计算年收益率。

解：资本加权法

1000(1 +

i

)2 + 1000(1 +

i

) = 2200

解得

125word版本可编辑.欢迎下载支持.

i ≈

6

.

52%

时间加权法

(1 +

i

)2 =

1200

1000

×

2200

1200 + 1000

解得

i ≈

9

.

54%

第6 页

17 基金在元旦的余额为A，6月底的余额为B，年底的余额为C。

(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算

的年收益率都是

C−A

126word版本可编辑.欢迎下载支持.

A

；

(2) 如果在6 月底计算余额后立即投入资本D ，试分别给出投资额加权法和

时间加权法计算收益率的表达式。

(3) 如果(2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2) 中的两种收益

率。

(4) 说明(2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。

(5) 试说明(2) 中时间加权法的结果大于(3) 的结果。

解：(1) 资本加权法

A

(1 +

i

) =

C

i

=

C − A

A

127word版本可编辑.欢迎下载支持.

时间加权法

1 +

i

=

B

A

・ C

B

i

=

C − A

A

(2) 资本加权法

A

(1 +

i

) +

D

(1 +

i

2

128word版本可编辑.欢迎下载支持.

) =

C

C

=

C − A − D

A

+ 1

2

D

时间加权法

1 +

i

=

B

A

・ C

B

+

D

i

=

B C

129word版本可编辑.欢迎下载支持.

A

(

B

+

D

)

−

1

(3) 资本加权法

A

(1 +

i

) +

D

(1 +

i

2

) =

C

C

=

C − A − D

A

+ 1

2

D

时间加权法

1 +

i

=

130word版本可编辑.欢迎下载支持.

B − D

A

・ C

B

i

=

(

B − D

)

C

A B

−

1

第7 页

(4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6 月底余额计算前投入还

是后投入，对收益率没有影响。

(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部

分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本

131word版本可编辑.欢迎下载支持.

D 是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。

18 已知：当

t

= 1

,

2

,

3

,

4

,

5 且

y

= 1

,

2

, ・ ・ ・

10 时，有

1 +

iy

t

= (1

.

08 + 0

.

005

t

)1+0

.

01

y

如果在

y

= 5 时投资1000 元，持续3 年。计算等价的均衡利率。

解：设等价的均衡利率为i ，利用投资年方法的计算公式有

(1 +

i

51

)(1 +

i

52

)(1 +

i

53

) = (1 +

i

)3

代入数据得到

i ≈

9

.

469%

19 基金X 在1991 年元旦的单位价值为1.0 元，在1991 年7 月1 日的单位价值

132word版本可编辑.欢迎下载支持.

为0.8 元，在1992 年元旦的单位价值为1.0 元，如果某投资者在1991 年元旦

和7 月1 日分别投入10 元。分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者

在1991年的收益。

解：资本加权法，

A

= 10

,C

= 10

,B

= 10 + 10

×

1

0

.

8

= 22

.

5

得到

I

= 2

.

5

i

=

2

.

5

10 + 1

2

×

10

133word版本可编辑.欢迎下载支持.

= 16

.

67%

时间加权法

i

=

0

.

8

1

×

1

0

.

8

−

1 = 0

20 某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000 元；或者，现

付2400 元，然后每年底付款1500 元，两年付清。若某购车者的最小可接

受的年收益率为10%，问其选择哪个方式购买？

解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为：

2400 + 1500(1 +

i

)

−

1 + 1500(1 +

i

)

−

2 = 5003

.

31 元

>

5000

134word版本可编辑.欢迎下载支持.

第8 页

所以应该选择第一种方式付款。

21 如果投资者的可接受利率为12%，说明第3 题的项目是否可以接受。

解：用Excel规划求解内部收益率得

r ≈

9

.

56%

<

12%

所以可以接受这个项目。

22 如果例子3.19 的项目回报率为15%，计算相应的项目融资利率

f

。

解：利用r,f 之间的关系式：

1 +

r

=

10000

1600

(1

−

1

1 +

f

135word版本可编辑.欢迎下载支持.

)

把

r

= 15% 代入

解得：

f

= 22

.

55%

23 已知某项目前五年的现金流如表3-13 所示。若

r

= 15%

, f

= 10%，计算

B

5。

表3-13

t 0 1 2 3 4 5

Ct

1000 2000 -4000 3000 -4000 5000

解：

B

0 =

C

0 = 1000

B

1 =

B

0(1 +

r

) +

C

1 = 3150

B

2 =

B

1(1 +

r

) +

C

2 =

−

377

.

5

B

3 =

B

2(1 +

f

) +

C

3 = 2584

.

75

B

4 =

B

3(1 +

r

) +

C

4 =

−

1027

.

54

136word版本可编辑.欢迎下载支持.

B

5 =

B

4(1 +

f

) +

C

5 = 3869

.

71

第9 页

24 现有某一种投资，若利息收入要扣除25%的收入税。估计在今后20 年内可

以达到年利率8%注：税前，计算在20年底，利息累积额下降的比例。

解：税后的等价利率为8%

×

3

/

4 = 6%,从而利息累积额下降比例为

1

.

0820

−

1

.

0620

1

.

0820

−

1

= 39

.

7%

25 某人需要800 元借款，有以下两种方式偿还：

(1) 只借800 元，然后期末一次偿还900元；

(2) 先借1000 元，期末偿还1120 元。

如果最小可接受的利率为10%，分析其选择。

解：对于第一种方式，期末的现值为：

137word版本可编辑.欢迎下载支持.

800(1 + 10%)

−

900 =

−

20 元

对于第二种方式，期末现值为：

1000(1 + 10%)

−

1100 =

−

20 元

所以两种方式是等价的。

此题有待讨论。

26 保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。受益人可以在今后10 年

的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为

1000 元。然而，保险公司的基金投资利率为：前四年4%，后六年5%。因而，

实际取款金额为：

Wt

=

Ft

¨

a

11

−t

p3%

￢ , t

= 1

,

2

, . . . ,

10

其中

Ft

表示基金在时刻

t

(

t

= 0 去掉

,

1

,

2

, . . . ,

10) 的余额。计算

W

10 。

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解：由递推公式

Wt

=

Ft

¨

a

11

−t

p3%

￢ , Fn

+1 =

Fn −Wn

整理得

Ft

+1 =

Ft ・

1

.

03 +

・ ・ ・

+ 1

.

0310

−t

1 + 1

.

03 +

・ ・ ・

+ 1

.

0310

−t , t

= 1

. . .

9

第10 页

F

10 =

F

1

×

1

.

039

1 + 1

.

03 +

・ ・ ・

+ 1

.

039

= 1000

×

¨

a

10p3%

￢ ×

1

.

039

¨

a

10p3%

￢

= 1000

×

1

.

039

139word版本可编辑.欢迎下载支持.

= 1304

.

77

W

10 =

F

10

¨

a

1p3%

￢

= 1304

.

77 元

与原答案有出入。

27 某基金在1 月1 日的余额为273000 元，在12 月31 日的余额为372000元。该

基金一年的利息收入为18000 元，收益率6%。计算平均的存取款日期。

解：由题意有

A

= 273

,

000

B

= 372

,

000

I

= 18

,

000

C

=

B − A − I

= 81000

i

=

I

A

+

C

(1

− t

)

140word版本可编辑.欢迎下载支持.

= 6%

∴

t

=

2

3

所以平均的存取款日期是9 月1 日。

第11 页

28 某基金的投入为连续方式，起始余额为1，t 时刻的投入为1+

t

，利息力函数

为(1 +

t

)

−

1。计算n 年末的终值。

解：

期初的现值为：

a

(

n

) =

a

(0) +

∫

n

0

141word版本可编辑.欢迎下载支持.

(1 +

x

)

exp{−

∫

n

0

(1 +

t

)

−

1

dt}dx

= 1 +

∫

n

0

(1 +

x

)

・

1

1 +

x

dx

= 1 +

n

n 年末的终值为

AV

=

a

(

n

)

・ exp{

142word版本可编辑.欢迎下载支持.

∫

n

0

(1 +

t

)

−

1

dt}

= (1 +

n

)

・

(1 +

n

)

= (1 +

n

)2

29 某基金在1991 年和1992 年间的运作情况如表3-14 所示。用时间加权法计

算这两年的收益率。

表3-14

日期1/1/91 1/7/91 1/1/92 1/7/92 1/1/93

基金价值/元1000000 1310000 1265000 1540000 1420000

投入/元250000 250000

取出/元150000 150000

解：根据题意，所求收益率为：

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(

131

−

25

100

×

126

.

5 + 15

131

×

154

−

25

126

.

5

×

142 + 15

154

)

1

2

−

1 = 9

.

10247%

应注明投资和支取是在计算余额前投入的！

144word版本可编辑.欢迎下载支持.

第12 页

30 某互助基金的初始单位价值为10000，在随后的5 年底的价值为：11710 元，

12694 元，14661 元，14148 元和16836 元，有三个投资者A、B 和C，投资

情况如表3-15 所示。

(1) 用时间加权法计算该基金在5 年中的年平均收益率；

(2) 用资本加权法计算每个投资者在5 年中的年平均回报率。

表3-15

时间第1 年底第2 年底第3 年底第4 年底第5 年底

A 1000 2000 3000 4000 5000

B 3000 3000 3000 3000 3000

C 5000 4000 3000 2000 1000

解：(1) 有资本加权法有：

(1 +

i

)5 =

145word版本可编辑.欢迎下载支持.

11710

10000

×

12694

11710

×

14661

12694

×

14148

14661

×

16836

14148

∴

i

= 10

.

99%

(2) 对于投资者A,

B

0 = 0

146word版本可编辑.欢迎下载支持.

B

1 =

C

1 = 1000

B

2 =

B

1

×

12694

11710

+

C

2 = 3084

.

03

B

3 =

B

2

×

14661

12694

+

C

3 = 6561

.

92

B

4 =

B

3

×

14148

14661

+

C

4 = 10332

.

31

B

5 =

B

4

×

16836

14148

+

C

5 = 17295

.

36

147word版本可编辑.欢迎下载支持.

C

1(1 +

r

)4 +

C

2(1 +

r

)3 +

C

3(1 +

r

)2 +

C

4(1 +

r

) +

C

5 = 17295

.

36

解得：

r ≈

10

.

60%

第13 页

对于投资者B,

B

0 = 0

B

1 =

C

1 = 3000

B

2 =

B

1

×

12694

11710

+

C

2 = 6252

.

09

B

3 =

B

2

×

14661

12694

+

C

3 = 10220

.

89

B

4 =

B

3

×

14148

148word版本可编辑.欢迎下载支持.

14661

+

C

4 = 12863

.

25

B

5 =

B

4

×

16836

14148

+

C

5 = 18307

.

16

C

1(1 +

r

)4 +

C

2(1 +

r

)3 +

C

3(1 +

r

)2 +

C

4(1 +

r

) +

C

5 = 18307

.

16

解得：

r ≈

9

.

98%

对于投资者C,

B

0 = 0

B

1 =

C

1 = 5000

B

2 =

B

1

×

12694

11710

+

C

2 = 9420

.

15

149word版本可编辑.欢迎下载支持.

B

3 =

B

2

×

14661

12694

+

C

3 = 13879

.

86

B

4 =

B

3

×

14148

14661

+

C

4 = 15394

.

19

B

5 =

B

4

×

16836

14148

+

C

5 = 19318

.

96

C

1(1 +

r

)4 +

C

2(1 +

r

)3 +

C

3(1 +

r

)2 +

C

4(1 +

r

) +

C

5 = 19318

.

96

解得：

r ≈

9

.

68%

第14 页

第四章习题答案

150word版本可编辑.欢迎下载支持.

1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2

年底的未结贷款余额。

解： 设每个季度还款额是R ，有

Ra

(4)

5p6%

￢

= 1000

解得R ，代入

B

2 的表达式

B

2 =

Ra

(4)

3p6%

￢

= 635

.

32 元

2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12%

款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。

151word版本可编辑.欢迎下载支持.

，计算借款人的还

解：

n

=

10000

2000

= 5

B

5 = 10000

×

(1 +

i

)

n −

2000

sn

p12%

￢

= 4917

.

72 元

3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未

结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。

解： 以季度为时间单位，

i

= 2

.

5% 。

B

0 =

B

1

・ v

+ 1500

a

4p

i ￢

= 16514

.

4 元

4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还

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3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款

余额的表达式。

解： 对现金流重新划分，有

B

7 = 2000

a￢

8p + 1000

a￢

3p

第1 页

5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知

第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。

解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有

5000 =

Ra

3p4%

￢

L

=

Ra

7p4%

￢

整理得：

153word版本可编辑.欢迎下载支持.

L

= 5000

・ a￢

7p

a￢

3p

= 10814

.

16 元

6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+

i

)4 = 2

还款后的未结贷款余额。

解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有

20000 =

R ・ a

12p

i ￢

L

=

R ・ a

8p

i ￢

把(1 +

i

)4 = 2 代入整理得：

L

= 5000

・

1

−

(1 +

i

)

−

8

1

−

(1 +

i

)

−

12

154word版本可编辑.欢迎下载支持.

4 次 ，计算第

= 17142

.

86 元

7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，

随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20

年内还清。计算调整后的每次还款额。

解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较

日，有

20000 =

Ra

2

￢

0p

Xa

1

￢

3p

・ v

2 =

Ra

1

￢

5p

整理得：

X

= 20000

・ a

15p

￢

a

2

￢

0p

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・

(1 +

i

)2

a

1

￢

3p

第2 页

8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的

还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：

K

=

a

2

￢

0p

− a

1

￢

5p

a

2

￢

5p

a￢

5p

L

证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有

L

=

Ra

2

￢

5p

Ks￢

5p (1 +

i

)10 =

Ra￢

5p

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整理即得。

9 设

Bt

表示未结贷款余额，证明：

(1) (

Bt − Bt

+1)(

Bt

+2

− Bt

+3) = (

Bt

+1

− Bt

+2)2;

(2)

Bt

+

Bt

+3

< Bt

+1 +

Bt

+2

证： (1)

(

Bt − Bt

+1)(

Bt

+2

− Bt

+3) = (

R

+

Bt

+1

1 +

i

− Bt

+1)

・

(

Bt

+2

−

((1 +

i

)

Bt

+2

− R

))

=

R − iBt

+1

1 +

i

・

(

R − iBt

+2)

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= (

R − iBt

+1)

・ R − i

((1 +

i

)

Bt

+1

− R

)

1 +

i

= (

R − iBt

+1)2

= (

Bt

+1

− Bt

+2)2

(2)

Bt − Bt

+1 =

R − iBt

< R − iBt

+2

=

Bt

+2

− Bt

+3

)

Bt

+

Bt

+3

< Bt

+1 +

Bt

+2

默认每次还款额是相同的！

第3 页

10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算

第6 次还款中的本金量。

158word版本可编辑.欢迎下载支持.

解：

P

6 =

B

5

− B

6

= 1000

a

20

−

5p3%

￢ −

1000

a

20

−

6p3%

￢

= 1000

×

1

.

03

−

15

= 641

.

86 元

11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。

解： 设第t 年支付的利息为

It

，有

It

=

iBn

+1

−t

=

ian

+1

−￢t

p

= 1

− vn

+1

−t

支付利息的总现值为：

I

=

Σ

n

159word版本可编辑.欢迎下载支持.

t

=1

Itvt

=

Σ

n

t

=1

(1

− vn

+1

−t

)

vt

=

a￢n

p

− nvn

+1

12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为

1000

1 +

v

10

元。

此处有改动10000改成1000

第4 页

160word版本可编辑.欢迎下载支持.

证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有

I

11 =

R

(1

− v

10)

=

10000

a

2

￢

0p (1

− v

10)

= 10000

・ i

1 +

v

10

=

1000

1 +

v

10

13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额

最小。

解： 不妨设每次还款额为1。

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Pt − It

=

vnt

+1

−

(1

− vn−t

+1)

= 2

vn−t

+1

−

1

由

2

vn−t

+1

−

1 = 0

⇒ t ≈

12

.

96

验证

t

= 12

,

13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。

14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算

的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。

解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得

Rv

20

−

3+1 = 100

⇒ R

=

100

v

18

于是最后5 次本金总额为

162word版本可编辑.欢迎下载支持.

R

(

v

1 +

・ ・ ・

+

v

5) = 724

.

59 元

第5 页

15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10

年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本

金量。

解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有：

1 =

Ra

10p

i ￢

+

Ra

10p

j ￢

(1 +

i

)

−

10

)

R

=

1

a

10p

i ￢

+ (1 +

i

)

−

10

a

10p

j ￢

(1)

I

5 =

iB

4

=

iR

(

a

6p

i ￢

+ (1 +

i

)

−

6

a

10p

j ￢

)

(2)

P

15 =

B

14

− B

15

163word版本可编辑.欢迎下载支持.

=

Ra

6p

j ￢ − Ra

5p

j ￢

=

R

(1 +

j

)

−

6

16 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一

次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本

金部分是否为等比数列？

解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。

(1) 利用追溯法可得

Bt

=

A

(1 +

i

)

t − Ks￢t

p

, t < n

0

, t

=

n

故

164word版本可编辑.欢迎下载支持.

Pt

=

(

K − iA

)(1 +

i

)

t−

1

, t < n

(

k − iA

)(1 +

i

)

n−

1 +

B, t

=

n

(2) 显然前

n −

1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。

第6 页

17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7 次正常还款的同时，

额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。（正常

的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还

贷期间节约的利息为1

− v

13 。

证： 在第7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第

n

+ 1 次的还

款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利息量，为1

− v

13 。

165word版本可编辑.欢迎下载支持.

18 总量为L 的贷款分10 年偿还，已知

v

5 =

2

3

。计算：

(1) 前5 次偿还中的本金之和；

(2) 如果最后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。

解： (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为

R

(

v

10 +

・ ・ ・

+

v

6) =

Rv

6 1

− v

5

1

− v

=

L

a

1

￢

0p

v

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1

− v

v

5(1

− v

5)

=

L

1

− v

10

v

5(1

− v

5)

= 0

.

4

L

(2) 利用追溯法

B

10 =

L

(1 +

i

)10

− Rs￢

5p (1 +

i

)5

=

Lv−

10

− L

v−

10

− v−

5

1

− v

10

= 0

.

9

L

19 现有35 年贷款按年度偿还。已知第8 次还款中的利息为135 元，第22 次还

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款中的利息为108 元，计算第29 次还款中的利息量。

解： 由

I

8 =

R

(1

− v

28)

I

22 =

R

(1

− v

14)

⇒

R

= 144

v

7 =

1

2

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第7 页

于是

I

29 =

R

(1

− v

7)

= 144

×

1

2

= 72 元

20 某贷款分n 次等额偿还，实利率为i ，已知第K 次还款前的未结贷款余额首

次低于原始贷款额的一半。计算K。

解： 由题意得

L

=

Ra￢n

p

Bk−

2 =

Ran−k

+

￢

2p >

L

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2

Bk−

1 =

Ran−k

+

￢

1p

<

L

2

⇒

2

vn−k

+2

− vn

6 1

2

vn−k

+1

− vn >

1

故

K

= [

n

+ 1

−

ln(

vn

+ 1)

−

ln 2

ln

v

] + 1

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其中[x] 表示取整函数。

21 设有年利率2.5%的15000 元___________贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还

款中本

金部分最接近利息部分的4 倍

解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法

Bk−

1 =

L

(1 +

i

)

k−

1

− Rsk−￢

1p

⇒ Ik

=

iBk−

1 =

iL

(1 +

i

)

k−

1

− R

[(1 +

i

)

k−

1

−

1]

Pk

=

R − Ik

=

R

(1 +

i

)

k−

1

− iL

(1 +

i

)

k−

1

再由

Pk

= 4

Ik

得

k ≈

11。

第8 页

22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为

103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1)

1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。

解： (1) 设

In, Pn

为别为n 年的利息部分和本金部分，

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I

1990 =

I

1989

− iP

1989

⇒ P

1989 = 62

.

5

又

I

1989 +

P

1989 =

I

1990 +

P

1990

⇒ P

1990 = 67

.

5

(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为

101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得

B

1989 = 1225 。设最后一次还

款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足

1225 = 165

.

5

1

− v

11+

t

i

⇒ t

= 0

.

653

故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165

.

5

×

1

.

08

t−

1

0

.

08 = 106

.

67

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元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一

年的等价时间偿还的方法。

与原答案有出入

23 某贷款通过2

n

次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额

的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。

解： 由题意得

3

4

L

=

Ran

p

i ￢

L

=

Ra

2

n

p

i ￢

⇒ vn

=

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1

3

而

In

+1 =

R

(1

− vn

)，故利息部分所占的比例是

2

3

。

第9 页

24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，

只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利

率0.75% 的10 年贷款，对这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？

解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。

a

120p0

.

75%

￢

= (1 +

K

%)

a

120p1%

￢

⇒ K

= 13

.

258%

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25 现有10000 元贷款利率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底

的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算：

(1) 1500 元中的利息量；

(2) 1500 元中的偿债基金存款；

(3) 1500 元中偿还当年利息的部分；

(4) 1500 元中的本金量；

(5) 第11 年底的偿债基金余额。

解： (1)

I

11 = 10000

×

10% = 1000 元；

(2) 偿债基金存款额为1500

−

1000 = 500 元；

(3) 也即是计算净利息: 1000

−

5000

×

8% = 600 元；

(4) 本金量1500

−

600 = 900 元；

(5) 11 年底的偿债基金余额5000

×

(1 + 8%) + 500 = 5900 元。

26 证明：

an

p

i

&

j ￢

=

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sn

p

j ￢

1 +

isn

p

j ￢

。

证： 利用

L

=

Ran

p

i

&

j ￢

L

= (

R − iL

)

sn

p

j ￢

消去R可得

(

L

an

p

i

&

j ￢

− iL

)

sn

p

j ￢

=

L

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再适当变形便可得结论。

第10 页

27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以

利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还

贷款。计算K。

解： 由题意得

K

¨

s

10p7%

￢

= 104

⇒ K

= 676

.

43

28 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式

进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。

解： 设贷款额为X ，有

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X/

2 =

R

1

a

10p5%

￢

X/

2 =

R

2

an

p5%&4%

￢

1000 =

R

1 +

R

2

整理得到

X

2

(

1

a

10p5%

￢

+

1

an

p5%&4%

￢

) = 1000

X

= 7610

.

48 元

29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以

i

(2) = 12%

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计息，后5 年以

i

(2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率

i

(2) = 8% 的偿

债基金。计算第10 年底偿债基金与贷款之间的差额。

解： 前5 年每半年放入偿债基金

1000

−

12000

×

6% = 280

后5 年每半年放入偿债基金

1000

−

12000

×

5% = 400

故第10 年底偿债基金余额为

280

s

10p4%

￢ ×

(1 + 4%)10 + 400

s

10p4%

￢

= 9778

.

6

于是差额为2221.4 元。

第11 页

30 为期10 年的3000 元贷款，以

i

(2) = 8% 计息。如果借款人将贷款的1/3 通过

存入利率

i

(2) = 5% 的偿债基金偿还，剩余的2/3 通过存入利率

i

(2) = 7% 的

偿债基金偿还。计算每年的还款总额。

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解： 设对于1/3 部分贷款每年还款为

R

1 ，剩余部分贷款每年还款为

R

2 。有

(

R

1

−

1000

×

4%)

s

20p2

.

5%

￢

= 1000

(

R

1

−

2000

×

4%)

s

20p3

.

5%

￢

= 2000

分别解得

R

1 = 79

.

15

,R

2 = 150

.

72。故每年的总还款额为

R

1 +

R

2 = 229

.

87 元

31 为期31 年的400000 元贷款,每年底还款36000 元，若以年利率3%建立偿债

基金。计算原贷款利率。

解： 设原贷款利率就是i 。有

(36000

−

400000

i

)

s

31p3%

￢

= 400000

解得

i ≈

7% 。

32 某20 年期末年金，以前10 年利率8%后10 年利率7%计算的现值为10000

元。某投资者以年利率9% 买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回

这笔资金，偿债基金前10 年利率为6%，后10 年利率为5%。计算偿债基金

180word版本可编辑.欢迎下载支持.

的存款额。

解： 设期末年金每年的金额是R ，偿债基金存款额为X ，未结贷款余额为P ，

有

10000 =

Ra

10p8%

￢

+

Ra

10p7%

￢

(1 + 8%)

−

10

R

=

X

+

P ×

9%

P

=

Xs

1

￢

0p 6%(1 + 5%)10 +

Xs

5%

￢

p

解得：

X

= 246

.

95 元

有待讨论！我们认为年利率9% 就是利率i

第12 页

33 某n 年期利率为i 的贷款，以利率j 建立偿债基金。试给出以下各问的表达

式(1 6

t

6

n

)：

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(1) 贷方每年得到的利息；

(2) 偿债基金每年的存款额；

(3) 第t 年偿债基金所得利息；

(4) 偿债基金在第t 年底的余额；

(5) 第t 年底的未结贷款余额；

(6) 第t 年支付的净利息；

(7) 第t 年支付的本金。

解： 设贷款额为L。

(1) 贷方每年得到的利息为

iL

；

(2) 由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为

L

sn

p

j ￢

(3) 偿债基金在

t −

1 年末的余额是

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L

sn

p

j ￢ st−￢

1p ，故在第t年所得利息为

jL

(1 +

j

)

t−

1

−

1

(1 +

j

)

n −

1

(4) 偿债基金在第t 年底的余额是

L

sn

p

j ￢ st

p

j ￢

=

L

(1 +

j

)

t −

1

(1 +

j

)

n −

1

(5) 第t 年底的未结贷款余额为

L − L

(1 +

j

)

t −

1

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(1 +

j

)

n −

1

=

L

(1 +

j

)

n −

(1 +

j

)

t

(1 +

j

)

n −

1

(6) 第t 年支付的净利息为

iL − jL

(1 +

j

)

t−

1

−

1

(1 +

j

)

n −

1

(7) 第t 年支付的本金量是第t 年偿债基金所得利息与第t 年存入偿债基金

金额之和，即为

jL

(1 +

j

)

t−

1

−

1

(1 +

j

)

n −

1

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+

L

sn

p

j ￢

=

j

(1 +

j

)

t−

1

L

(1 +

j

)

n −

1

第13 页

34 为期10 年的100000 元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基

金。已知前5 年还款为K ；后5 年还款为2K 。计算K 。

解： 每年的利息为

100000

×

12% = 12000

故

100000 = (

K −

12000)

s

5p8%

￢

(1 + 8%)5 + (2

K −

12000)

s

5p8%

￢

解得

K

= 13454

.

36 元。

185word版本可编辑.欢迎下载支持.

35 某10000 元贷款以利率

i

(12) = 15% 按月偿还利息，同时以利率

i

(12) = 9% 每

月存款100 元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到10000 元，则结束还

贷。计算借款人总的还款额。

解： 每月还利息为10000

× i

(12)

12

= 125 元，于是每月总支出为

100 + 125 = 225

再由

100

sn

p7

.

5%

￢

> 10000

⇒ n

= 75

但需要注意100

sn

p7

.

5%

￢ −

10

,

000 = 18

.

33 ，故最后一个月放入偿债基金的应

是100

−

18

.

33 元。

所以总共还款额为

75

×

225

−

18

.

33 = 16856

.

67 元

186word版本可编辑.欢迎下载支持.

36 为期25 年的100000 元贷款，贷款利率12%。如果贷款人从每年的还款中

以年利率i 提取利息，同时将剩余部份以利率j 累积偿债基金。分别对

j

= 8%

,

12%和16%三种情况计算i 。

解：

j

= 12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为R

R

=

L

a

25p0

.

12

￢

第14 页

___________

再根据偿债基金的定义有

(

R − iL

)

s

25p

j ￢

=

L

解得

i

=

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，于是

1

a

25p12%

￢

−

1

s

25p

j ￢

代入数据便有

(1)

j

= 8% 时，

i

= 11

.

38%；

(2)

j

= 12% 时，

i

= 12%；

(3)

j

= 16% 时，

i

= 12

.

35%。

37 现有10 年期贷款按月偿还，其中月换算名利率

i

(12) = 12% ，首次为600 元，

然后每次增加5 元。

(1) 计算原始贷款金额；

(2) 证明：

Pt

=

P

1(1 + 0

.

01)

t−

1 + 5

st−

1p1%

￢

。

解：

L

= 595

s

120p1%

￢

+ 5

Ia

120p1%

￢

= 58490

.

89 元；

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证： 这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。下面

给出的证明方法是作者认为最简单的。

如果每次还款额是一样的，那么

{Pt}

呈等比数列，且

Pt

=

P

1(1+

i

)

t−

1 。于

是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用

B

1

t

表示等额还款时

第t次的未结贷款余额，

B

2

t

表示按题中方式进行还款时第t 次的未结贷款

余额。于是

B

1

t

=

L

(1 +

i

)

t −

600

st

p

i ￢

B

2

t

=

L

(1 +

i

)

t −

600

st

p

i ￢ −

5

Ist−

1p

i ￢

故

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P

2

t

− P

1

t

= (

B

2

t−

1

− B

2

t

)

−

(

B

1

t−

1

− B

1

t

)

= (

B

2

t−

1

− B

1

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t−

1) + (

B

1

t

− B

2

t

)

= 5(

Ist−

1p

i ￢ − Ist−

2p

i ￢

)

= 5

st−

1p

i ￢

(直接带公式化简)

第15 页

于是

Pt

=

P

1(1 + 0

.

01)

t−

1 + 5

st−

1p1%

￢

38 某帐户现有1000 元存款，每月实利率1%，且月月结算。如果每次恰好在利

息结算的下一个瞬间取出100 元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户

每月余额和利息的列表。

解： 设第t 个月帐户余额为

Bt

，于是

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Bt

= 1000(1 +

i

)

t −

100

st

p

i ￢

容易算得

t

= 10 时，帐户余额首次低于100 元，故最多能够提取10 次。每

月结余和利息列表如下：

月份利息帐户余额

0 0.00 1000.00

1 10.00 910.00

2 9.10 819.10

3 8.19 727.29

4 7.27 634.56

5 6.35 540.91

6 5.41 446.32

7 4.46 350.78

8 3.51 254.29

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9 2.54 156.83

10 1.57 58.40

39 已知某贷款每半年偿还K 元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72 ，

5084.68 和4973.66 。计算K。

解： 利用追溯法可得

5190

.

72(1 +

i

)

− K

= 5084

.

68

5084

.

68(1 +

i

)

− K

= 4973

.

66

由此可解得

K

= 349

.

81 元。

第16 页

40 利率为i 的贷款L ，每次偿还K ，直至最后的不足额(不足金额K )还款。证

明：

Bt

=

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K

i

−

(

K

i

− L

)(1 +

i

)

t

。

证： 利用追溯法

Bt

=

L

(1 +

i

)

t − Kst

p

i ￢

=

L

(1 +

i

)

t − K

(1 +

i

)

t −

1

i

=

K

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i

−

(

K

i

− L

)(1 +

i

)

t

41 现有1000000 遗产，年投资收益5%。由A，B 和C 三人继承。A 每年从本金

中得到125000 元，累计5 年；B 每年从本金中得到75000 元，累计5 年；C

每年得到利息。计算三人的遗产继承份额。

解： (1) A 继承遗产的终值为125

,

000

s

5p5%

￢

= 690

,

703

.

91 元；

(2) B 继承遗产的终值为75

,

000

s

5p5%

￢

= 414

,

422

.

34 元；

(3) C 继承遗产的终值为

1

,

000

,

000(1 + 0

.

05)5

−

125

,

000

s

5p5%

￢ −

75

,

000

s

5p5%

￢

= 171

,

155

.

31 元

故三人的遗产继承份额分别为54.12%、32.47%、13.41%。

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42 某10 年期年金，每季度500 元，年利率8%。计算10 年间所有的利息收入。

解： 设季实利率为i ，则i 满足(1+

i

)4 = 1+8% 。解得

i

= 1

.

94% 。于是利息收

入为

500

s

40p

i ￢ −

500

×

40 = 9811

.

27 元

43 现有5 年期10000 元贷款，半年换算名利率12%。若在偿还利息之后，借款

人每年年底以年利率8%的存款方式累积贷款本金。计算5 年内的还贷总

额。

解： (1) 每年偿还利息为10

,

000

×

12%

2

×

2 = 1200 元。

(2) 每年偿还本金为

10000

s

5p8%

￢

= 1704

.

56 元。故5 年内还贷总额为

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(1200 + 1704

.

56)

×

5 = 14522

.

82 元

第17 页

44 某贷款以每年年底还3000 元偿还，季换算名利率10%。若第3 次还款中的

利息量为2000 元，计算第6 次还款中的本金量。

解： 设等价年实利率为i ，则

i

= (1 + 10%

4 )4

−

1 = 10

.

38%。由题意

3000(1

− vn−

2) = 2000

解得

vn−

2 =

1

3

。故第六次还款中的本金为

3000

vn−

5 = 3000

vn−

2

v−

3 = 1344

.

84元

45 现有10 年期5000 元贷款，季换算名利率10%。借款人在第10 年底一次性

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偿还所有累计利息和本金。为此，以半年换算名利率7%累计偿债基金。计

算偿债基金的每次存款额。

解： 设每次存入偿债基金金额为R，由题意得

Rs

20p3

.

5%

￢

= 5000(1 + 2

.

5%)40

解得

R

= 474

.

73 元。

46 现有3000 元贷款按季度分20 次摊还，第11 次和12 次因故取消。经协商，

摊还从第13 次重新开始，且每次金额为N，但是第14 ，16 ，18 和20 次的

还款都比正常还款逐次增加40 元。已知半年换算名利率8％，计算N 为多少

方可保证按原计划如期还贷。

解： 设季度实利率为i ，由题意有

3000 =

Ra

20p

i ￢

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(1 +

i

)2 = 1 +

8%

2

Ra

10p

i ￢ ・

(1 +

i

)2 =

Na

8p

i ￢

+ 40

Ia

4p4%

￢

⇒

i ≈

0

.

0198

R ≈

183

.

087

N ≈

185

.

08 元

47 设有10 年期贷款，其还款方式为：首次还款全部用于还利息，第2 次还款为

第一次的两倍，第三次还款为第一次的三倍，依次类推。证明：

Ia

1

￢

0p =

a∞￢

p

证： 不妨设贷款总额为1 ，利率为i ，则第n 年还款为

ni

。于是

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