(完整版)2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2024年3月18日发(作者：2014保定中考数学试卷)

2014年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项）

1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x

2

﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）

A． { 0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2}

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．

解答：

：∵A={x|x

2

﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}， 解

∴A∩B={0，2}

故选C

点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．

2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）

﹣

A．

y

=

B． C． D．

y=（x﹣1）

2

y=log

0.5

（x+1）

y=2

x

考点：对数函数的单调性与特殊点．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．

解答：

解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，

由于函数y=（x﹣1）

2

在（0，1）上是减函数，故不满足条件，

由于函数y=2

x

在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，

由于函数y=log

0.5

（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，

故选：A．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．

﹣

3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（ ）

A． 在 直线y=2x上 B． 在直线y=﹣2x上

C． 在直线y=x﹣1上 D．在 直线y=x+1上

考点：圆的参数方程．

专题：选作题；坐标系和参数方程．

分析：

曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．

解答：

解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，

1

故选：B．

点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．

4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）

A． 7 B． 42 C． 210 D． 840

考点：循环结构．

专题：计算题；算法和程序框图．

分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．

解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，

当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，

∴跳出循环的k值为4，

∴输出S=7×6×5=210．

故选：C．

点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关

键．

5．（5分）（2014•北京）设{a

n

}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a

n

}”为递增数列的（ ）

A． 充 分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

C． 充分必要条件 D．既 不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．

专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．

分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

解答：

解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a

n

}”不是递增数列，充分性

不成立．

若a

n

=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，

故“q＞1”是“{a

n

}”为递增数列的既不充分也不必要条件，

2

故选：D．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解

决本题的关键．

6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为

（ ）

A． 2 B． ﹣2 C．

D．

﹣

考点：简单线性规划．

专题：数形结合；不等式的解法及应用．

分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得

最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交

点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目

标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入

目标函数得答案．

解答：解： 对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0

与x轴的交点的右边，

故由约束条件作出可行域如图，

由kx﹣y+2=0，得x=

∴B（﹣）．

，

由z=y﹣x得y=x+z．

由图可知，当直线y=x+z过B（﹣

此时

故选：D．

3

）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．

，解得：k=﹣．

点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C

（0，2，0），D（1，1，），若S

1

，S

2

，S

3

分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx

坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）

A．

S

1

=S

2

=S

3

B． C． D．

S

2

=S

1

且S

2

≠S

3

S

3

=S

1

且S

3

≠S

2

S

3

=S

2

且S

3

≠S

1

考点：空间直角坐标系．

专题：空间向量及应用．

分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．

解答：

解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的

射影分别为A\'，B\'，C\'，D\'，

在xOy坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，2，0），C\'（0，2，0），D\'（1，1，

0），S

1

=．

在yOz坐标平面上的正投影A\'（0，0，0），B\'（0，2，0），C\'（0，2，0），D\'（0，1，

），S

2

=.

在zOx坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，0，0），C\'（0，0，0），D\'（1，0，

），S

3

=，

则S

3

=S

2

且S

3

≠S

1

，

故选：D．

点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．

8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不

合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学

生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语

文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）

A． 2 人 B． 3人 C． 4人 D． 5人

考点：进行简单的合情推理．

专题：推理和证明．

分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，

C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．

解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，

语文成绩得B得也最多只有一个，

得C最多只有一个，

因此学生最多只有3人，

显然（AC）（BB）（CA）满足条件，

故学生最多有3个．

故选：B．

点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．

4

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）（2014•北京）复数（）

2

= ﹣1 ．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．

解答：

解：（）

2

=．

故答案为：﹣1．

点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且

．

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

专题：平面向量及应用．

分析：

设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且

+=（λ∈R），则|λ|=

+=（λ∈R），可得

，解出即可．

解答：

解：设=（x，y）．

∵向量，满足||=1，=（2，1），且

∴

+=（λ∈R），

=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），

∴，化为λ

2

=5．

解得．

故答案为：．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方

法，属于基础题．

5

11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x

2

=1具有相同渐近线，则

C的方程为 ；渐近线方程为 y=±2x ．

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．

解答：

解：与﹣x

2

=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x

2

=m，（m≠0），

∵双曲线C经过点（2，2），

∴m=，

﹣x

2

=﹣3，即即双曲线方程为，

对应的渐近线方程为y=±2x，

故答案为：，y=±2x．

点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的

关键，比较基础．

12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a

n

}满足a

7

+a

8

+a

9

＞0，a

7

+a

10

＜0，则当n= 8 时，

{a

n

}的前n项和最大．

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：

可得等差数列{a

n

}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．

解答：

解：由等差数列的性质可得a

7

+a

8

+a

9

=3a

8

＞0，

∴a

8

＞0，又a

7

+a

10

=a

8

+a

9

＜0，∴a

9

＜0，

∴等差数列{a

n

}的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴等差数列{a

n

}的前8项和最大，

故答案为：8．

点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．

13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与

产品C不相邻，则不同的摆法有 36 种．

考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．

专题：排列组合．

6

分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情

况．

解答：

解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换

位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆

法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．

故答案为：36．

点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．

14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）

若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最

小正周期为 π ．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：

由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单

调性，且f（）=﹣f（）

可得函数的半周期，则周期可求．

解答：

解：由f（

则x=

又f（

）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=

．

，0），

，

离最近对称轴距离为

）=﹣f（），则f（x）有对称中心（

，]上具有单调性， 由于f（x）在区间[

则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．

故答案为：π．

点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题

的能力，是中档题．

三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=

cos∠ADC=．

（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的长．

7

，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，