2024年3月13日发(作者：二年 级7单元数学试卷)

. ..

第十章 数项级数

§1 级数问题的提出

1．证明：若微分方程

xy



y

xy0

有多项式解

ya

0

a

1

xa

2

x

2

a

n

x

n

，

则必有

a

i

0(i

1,2,

,n)

．

2n

证明 由多项式解

ya

0

a

1

xa

2

xa

n

x

得

y

a

1

2a

2

x3a

3

x

2

na

n

x

n1

，

y



2a

2

6a

3

x12a

4

x

2

n(n1)a

n

x

n2

.

23n1

从而

xy



2a

2

x6a

3

x12a

4

xn(n1)a

n

x

，

23n1nn1

且

xya

0

xa

1

xa

2

xa

n2

xa

n1

xa

n

x

.

将上述结果代入微分方程

xy



y

xy0

，得

a

1

(a

0

4a

2

)x(a

1

9a

3

)x

2

(a

2

16a

4

)x

3

(a

n2

n

2

a

n

)x

n1

a

n1

x

n

a

n

x

n1

0

.

比较系数得递推公式如下：

a

1

0,

a

0

4a

2

0,

a

1

9a

3

0,



an

2

a0,

n

n2

a

n1

0,

a

n

0.

由此解得

a

0

a

1

a

2

a

n

0

，因而

a

i

0(i

0,1,2,

,n)

．

2．试确定系数

a

0

,a

1

,,a

n

,

，使

a

n0

n

x

n

满足勒让德方程

(1x

2

)y



2xy

l(l1)y0

.

解 设

y

a

n0

n

x

，则

y

na

n

x

n

n1

n1

，

y



n(n1)a

n2

n

x

n2

，故

z

. ..

(1x)y



(1x)

n(n1)a

n

x

22

n2

n2

n(n1)a

n

x

n2

n1

n2

n(n1)a

n

x

n

，

n2

2xy

2x

na

n

x

n1



2na

n

x

n

，

n1

l(l1)yl(l1)

a

n

x

l(l1)a

n

x

n

.

n

n0n0

将上述结果代入勒让德方程

(1x)y



2xy

l(l1)y0

，得

2

0(1x

2

)y



2xy

l(l1)y

n(n1)a

n

x

n2

n2

n(n1)a

n

x

2na

n

x

l(l1)a

n

x

n

nn

n2n1n0

n

n

n



(n2)(n1)a

n2

x

n(n1)a

n

x

2na

n

x

l(l1)a

n

x

n

.

n0n2n1n0

比较系数，得递推公式如下：

l(l1)a

0

2a

2

0,

(l1)(l2)a6a0,

13

(l2)(l3)a

2

12a

4

0,



(l(n1))(ln)a(n1)na0,

n1n1

(ln)(ln1)a

n

(n2)(n1)a

n2

0,



.

由此解得

z


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系数,代入,递推,公式