2024年2月14日发(作者：沈阳高中数学试卷分享)

2023-2024学年陕西省西安市高考数学（理）模拟试题（一模）一、单选题1．已知i3abia,bR，则ab的值为（）A．1B．0C．1D．2【正确答案】C【分析】由复数相等的充要条件可得a,b的值.【详解】因为i3abia,bR，所以iabi，由复数相等的充要条件得a0,b1，所以ab1.故选：C.2．已知集合AxZ2x4，BxRx1，则下图中阴影部分表示的集合为（A．x1x4B．1,0C．1,2,3D．x2x1【正确答案】C【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结合韦恩图列式求解作答.【详解】依题意，A{1,0,1,2,3}，而阴影部分表示的集合是A(ðRB)，又BxRx1，则ðRBxRx1，所以A(ðRB)1,2,3.故选：C3．设xR，则“x1”是“lnx0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立.【详解】当x1时，若x0，则lnx无意义，充分性不成立；）

当lnx0时，0x1，x1成立，必要性成立；综上所述：xR，则“x1”是“lnx0”的必要不充分条件.故选：B.4．若向量a，b为单位向量，a2b7，则向量a与向量b的夹角为（）A．30【正确答案】CB．60C．120D．1501【分析】对a2b7两边平方，再根据向量a，b为单位向量，可得cosa,b，由此即可2求出结果.22a2b7【详解】因为，所以a4ab4b7，1又向量a，b为单位向量，所以54cosa,b7，所以cosa,b,a,b0,π，即2a,b120，故向量a与向量b的夹角为120.故选：C.5．在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差.后来又转学来一位同学.若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是（A．班级平均分不变，方差变小C．班级平均分改变，方差变小【正确答案】A【分析】根据平均数以及方差的计算公式，求得转来一位同学后的平均值和方差，比较可得答案.【详解】设该班原有n个学生，平均分为x，方差为s2，则xx1x2xn21,s[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，nn）B．班级平均分不变，方差变大D．班级平均分改变，方差变大故x1x2xnnx,(x1x)2(x2x)2(xnx)2ns2，则转来一位同学后的平均分为x1x2xnxnxxx，n1n11ns222222方差[(x1x)(x2x)(xnx)(xx)]s，n1n1故选：A.6．已知函数f(x)1，则对任意非零实数x，有（e1x）

A．fxfx0C．fxfx1【正确答案】DB．fxfx1D．fxfx1【分析】根据给定的函数式，计算f(x)f(x)及f(x)f(x)即可判断作答.【详解】函数f(x)1，x0，ex111ex1ex1则f(x)f(x)x，显然f(x)f(x)0，且xxxxe1e11ee1e1f(x)f(x)1，AB错误；11ex1f(x)f(x)xx1，D正确，C错误.e1e11exex1故选：Dxx7．函数f(x)eecos2x的图像大致是（）A．B．C．D．【正确答案】A【分析】由定义得到f(x)的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案.xx【详解】f(x)eecos2x的定义域为R，且f(x)exexcos2xexexcos2xf(x)，xx故f(x)eecos2x为偶函数，排除BC；又f(0)2cos02，故A正确，D错误.

故选：A8．为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是（）B．yabexD．yabx2A．yabxC．yabx【正确答案】C【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.故选：C.9．已知两定点M0,1，N0,1，直线l：yx3，在l上满足PMPN22的点P的个数为（A．0【正确答案】B【分析】求出P点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的P点的个数．【详解】详解：∵PMPN22，MN2，∴P在以M,N为焦点，22为长轴长的椭圆上，由于2a22，a2，又c1，因此ba2c21，y2椭圆方程为x21，2）B．1C．2D．0或1或2

3yx3x3由y2，解得,∴P点只有一个．2y23x123故选：B．10．已知点P在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运动，则PAPB的最大值为（）A．6【正确答案】CB．7C．8D．9【分析】取AB中点O，连接PO，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.【详解】取AB中点O，连接PO，如图，2221，则PAPBPOOAPOOBPOOAPO当P在正方体表面上运动时，运动到D1或C1处时，PO最大，2所以POmaxD1D2DA2AO29,所以PAPB的最大值为8.故选：C22211．设aln5ln3，be3，c，则（35A．bcaC．acb【正确答案】A）B．abcD．cab22【分析】要比较a,c的大小只需比较ln1与的大小，故考虑构造函数fxln1xx，3322利用函数的单调性比较其大小，要比较b,c的大小，只需比较e3与1的大小，故考虑构造函数3gxex1x，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为aln5ln3ln522ln1，又c333由函数fxln1xx，0x1，可得fx1x10，1x1x所以函数fxln1xx在0,1上为减函数，2所以ff0，3222所以ln10，故ln5ln3，所以ac，333222因为be3，c，3525故要比较b,c的大小只需比较e3与的大小，3故只需比较e3与122的大小，3x故考虑构造函数gxe1x，其中0x1，xx由gxe1x求导可得gxe10，x所以函数gxe1x在0,1上单调递增，2所以gg0，3所以e1232320，3225所以e1，即e3，33222所以e3，即bc，53所以bca，故选：A.关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.x2y212．椭圆E：221ab0的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，△PF1F2的重心ab1为G.若△PF1F2的内切圆H的直径等于F1F2，且GH∥F）1F2，则椭圆E的离心率为（2A．63B．23C．22D．21

【正确答案】D【分析】根据题意表达出yP3yH求出离心率.【详解】因为△PF1F2的重心为G，设PxP,yP，Gx1,y1，HxH,yH，所以y11yP，因为33c，利用两种方法表达出焦点三角形面积，求出a2c，2GH∥F1F2，所以yH故yH11cyP，因为△PF1F2的内切圆H的直径等于F1F2c，所以半径为，3223cc，从而yP3yH，根据椭圆定义得：PF1PF22a，其中2213c21c1cacc2，又SPF1F2PF1PF2F1F22，SPF1F2Fa2c1F2yPcyP2222222c13c2acc2从而，解得：a2c，所以E的离心率为.a222故选：D二、填空题213．曲线f(x)xxlnx在点(1，f(1))处的切线与直线axy10垂直，则a________.121【正确答案】．22【分析】先对函数f(x)xxlnx求导，求出其在点(1，f(1))处的切线斜率，进而可求出结果.1212【详解】因为f(x)xxlnx，所以f(x)xlnx1，22因此，曲线f(x)xxlnx在点(1，f(1))处的切线斜率为kf(1)112；121又该切线与直线axy10垂直，所以a.2故答案为12本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.14．已知tan2，则【正确答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan2代入即可.【详解】因为tan2，所以11sin2cos22sincoscos2sin21的值是__________．sin2cos2cos2sin22sincoscos2sin2

1tan22tan1tan21225，22212故5.15．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)________．【正确答案】13【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.2C31【详解】因为事件BA，所以PABPB2，C772PABPB1C3C234PBA.而PA，所以2PAPA3C77故1316．已知圆C:x2y216，直线l:abxb2aya0（a、b不同时为0），当a、b变化时，圆C被直线l截得的弦长的最小值为______.【正确答案】214【分析】由题意知直线l恒过定点(1,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线l:abxb2aya0化为a(x2y1)b(xy)0，x2y10xy0x1，恒过定点(1,1)，y1当圆C被直线l截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)的距离为12122，圆心到直线l:abxb2aya0距离最大值时即为2，此时直线弦长为最小值2162214.故答案为.214三、解答题217．正项数列an的前n项和为Sn，已知2anSnan1．

(1)求证：数列Sn为等差数列，并求出Sn，an；2(1)n(2)若bn，求数列bn的前2023项和T2023．an【正确答案】(1)Snn；annn1；(2)T20232023.【分析】（1）将anSnSn1代入递推公式即可求出答案；（2）将an通项公式代入bn，将T2023展开并项求和即可得出答案.222【详解】（1）由2anSnan1可得，2S1S11，又因为Sn为正项数列an的前n项和，所以S1a11，因为anSnSn1，所以2SnSn1SnSnSn11，222所以SnSn11n2，数列Sn为等差数列，21n12所以Snn，Snn，an，所以annn1.nn1n2(1)n(1)n（2）bnannn1，T20231213243202320222023.18．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PB底面ABCD，ABBC3，BP3，11CFCP，DEDA．33(1)证明：EFP平面ABP；(2)求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析

(2)3510【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明EF与平面ABP的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【详解】（1）由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B0,0,0，C3,0,0，E2,3,0，F2,0,1，所以BC3,0,0，EF0,3,1．PB底面ABCD，BC底面ABCD，PBBC又BCBA，PBBAB，且PB,BA平面ABP,BC平面ABP，BC3,0,0是平面ABP的一个法向量．所以因为BCEF3,0,00,3,10，所以BCEF．又EF平面ABP，所以EFP平面ABP．（2）因为A0,3,0，C3,0,0，D3,3,0，P0,0,3，F2,0,1，所以AD3,0,0，AF2,3,1，PC3,0,3，设平面ADF的法向量为nx,y,z，则nx0AD3x0由，解得，令y1，z3ynAF2x3yz0

n得平面ADF的一个法向量为0,1,3．设直线PC与平面ADF所成的角为，3,0,30,1,335PCn则sincos

(2)分布列见解析，EX1【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；11（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率P，则XB4,，求44出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.20.050.25，则在抽取的200人中，“足球迷”有2000.2550人，所以22列联表如下：非足球迷女男合计70足球迷合计170408010100所以K11.11110.828，150508012092所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.25，11所以从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率P，所以XB4,，44即X的可能取值为0、1、2、3、4，1所以PX0C40401218111，PX1C44256434111127，46431PX2C424211271，PX3C3441284031，14641PX4C444411，12564所以随机变量X的分布列为X01234

P82811.43641256所以EX42y2x220．已知椭圆C:221ab0的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l3ab（与y轴不重合）交椭圆C于M，N两点，MNF2的周长为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点A是椭圆C的上顶点，设直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，当k0时，求证：111为定值.kk1k2y2x2【正确答案】(1)195(2)证明见解析【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求a,b,c，由此可得椭圆方程；（2）由已知设l的方程为ykx2k0，联立方程组利用设而不求法求11，由此证明结论.k1k2a12，【详解】（1）依题意，MNF2的周长为MF2MNNF2MF1MF2NF1NF24解得a3.设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为，所以e23c2c2，即，解得c2.33a3因为a2b2c2，所以ba2c232225.y2x2所以椭圆C的标准方程为1.95（2）由（1）知，F10,2，A0,3.易知直线l的方程为ykx2k0.ykx2,22由y2x2消去y得5k9x20kx250，1,59400k2500k29009001k20.设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1x220k25xx，.125k295k29

所以k1y23kx223kx21y13kx123kx11k，2.x2x2x2x1x1x111xx6k2k12k.x1x2x1x25所以k1k2k11xx219k1k2kkk2k1.x1x2x1x2x1x22511k1k210k.所以k1k2k1k2311110所以，为定值.kk1k23关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知函数f(x)2xalnx．(1)当a1时，求函数yfx的单调区间；(2)若函数f(x)(a2)xxex恒成立，求实数a的取值范围．11【正确答案】(1)函数fx的单调递增区间为,，单调递区间为0,22(2)a[0,e]【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；

（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.【详解】（1）函数fx的定义域是(0,)，当a1时，f(x)2令f(x)0得x1，x11，所以函数fx在,上单递递增；2211令f(x)0得0x，所以函数fx在0,上单调递减．2211所以函数fx的单调递增区间为,，单调递区间为0,．22xx（2）f(x)(a2)xxex恒成立，等价于xealnxe0恒成立，令tg(x)xex(x0)，因为g(x)(x1)ex0恒成立，所以gx在(0,)上单调递增，所以gxg00，即t0，所以f(x)(a2)xxex恒成立，等价于talnt0恒成立令h(t)talnt(t0)，问题等价于ht0恒成立①若a0时，htt0恒成立，满足题意；1111aaa②若a<0时，则0e1，所以heealneea10，不满足题意；1a③若a0时，因为h(t)1a，令h(t)0，得ta，tt(0,a)，h(t)0，ht单调递减，t(a,)，h(t)0，ht单调递增，所以ht在ta处取得最小值h(a)a(1lna)，要使得ht0，恒成立，只需h(a)a(1lna)0，解得0ae综上：a[0,e]【解法二】f(x)(a2)xxex恒成立，等价于xexa(xlnx)0，令h(x)xexa(xlnx)(x0)

a1h(x)(x1)exa1(x1)exxx①若a0时，h(x)(x1)ex0，所以hx在(0,)上单调递增，h00，即hx0，满足xexa(xlnx)0，②若a<0时，则a0，h(x)0，所以hx在(0,)上单调递增，xx由h(x)xea(xlnx)xeaalnx，x函数yxeaa0在(0,)上单调递增，值域为0,；函数yalnxa0在(0,)上单调递增，值域为,；所以x00，使得hx00，不满足题意．③若a0时，令h(x)0，∴axex，x令k(x)ea，则kx在(0,)上单调递增，xaa0在(0,)上单调递减，值域为x函数yex在(0,)上单调递增，值域为1,；函数y0,；则x0(0,)，kx00；x0,x0，k(x)0，；xx0,，k(x)0，所以x0(0,)，hx00，ax0ex，0x0,x0，h(x)0，hx单调递减，xx0,，h(x)0，hx单调递增，xx只需h(x)minhx0x0e0ax0lnx0x0e01x0lnx00即可，∴1x0lnx00，∴x0lnx01，令m(x)xlnx(x0)，m(x)110，∴mx在(0,)上单调递增，xm11，∴x0(0,1]时，x0lnx01，yxex，y(x1)ex0，所以yxex在(0,1]上单调递增，∴xex(0,e]，x即ax0e0(0,e]，综上：a[0,e]1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒

成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.)22．直角坐标系xOy中，点P0,1，动圆C.xsiny3sin11(R22(1)求动圆圆心C的轨迹；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：2斜率.24PAPB，过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线l的PlMAB2cos2sin27【正确答案】(1)圆心C的轨迹为线段；(2)3.3xsin【分析】（1）设圆心Cx,y，根据即可得圆心C的轨迹；y3sin1（2）将曲线M的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线l的倾斜角为，得直线l的参数方程为xtcos（t为参数），代入曲线M的直角坐标方程，设PAt1,PBt2，可得y1tsinPAPBt1t24，根据韦达定理可求sin的值，结合0π即可求解.7xsinCx,y，因为【详解】（1）设圆心，所以y3x1,1x1.y3sin1所以圆心C的轨迹方程为y3x11x1，即圆心C的轨迹为线段.2（2）因为2，所以22cos22sin22，222cossinxcos因为，所以2x2y22，即曲线M的直角坐标方程为2x2y22.ysin设直线l的倾斜角为，由点P在直线l上，

xtcos得直线l的参数方程为（t为参数），y1tsin222代入曲线M的方程得：2cossint2tsin10，设PAt1,PBt2，由于点P在曲线M的内部，所以PAPBt1t22sin4，222cossin71.22化简得：2sin7sin40，解得sin由于0π，所以sin，所以tan12π2π或，3333，即直线l的斜率为.333212*23．设不等式x1aaN的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)若m、n、s为正实数，且mn2sa，求m2n2s2的最小值.【正确答案】(1)a2(2)m2n2s2的最小值为1【分析】（1）根据A，A可得出实数a的取值范围，结合aN可得出a的值；（2）由（1）可得mn2s1，利用柯西不等式可求得m2n2s2的最小值.【详解】（1）因为A，A，所以，因为aN，则a2.（2）由（1）可知，mn2s1,m,n,s0，22222由柯西不等式可得mns112mn2s4，s12当且仅当mn时，即当mn，s时，等号成立，2223212321213351a1，即a，222222所以，m2n2s2号成立，mn42s21，当且仅当mns12时，即当mn，s时，等222因此，m2n2s2的最小值为1.


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