自-协方差的意义和计算公式

2024年4月2日发(作者：2021山西普高数学试卷)

协方差的意义和计算公式

学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差,或者

再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合,依

次给出这些概念的公式描述,这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。

均值：ﻫ标准差:ﻫ方差：

很显然，均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是很有限的，而标

准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集

合为例，[0,8,12，20］和[8，9，11，1２]，两个集合的均值都是１０，但显然

两个集合差别是很大的,计算两者的标准差，前者是8．3,后者是１.8,显然后者

较为集中，故其标准差小一些,标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以

n-１而不是除以ｎ,是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准

差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

为什么需要协方差？

上面几个统计量看似已经描述的差不多了,但我们应该注意到,标准差和方差一

般是用来描述一维数据的,但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最

简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集,我们

当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解更多,比如,一个

男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊，嘿嘿~协方差就

是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,我们可以仿照方差的定义：

来度量各个维度偏离其均值的程度,标准差可以这么来定义:

协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方

差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎,

嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的,越猥琐女孩子越讨厌，可能吗?如

果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。

从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：

协方差多了就是协方差矩阵

上一节提到的猥琐和受欢迎的问题是典型二维问题,而协方差也只能处理二维问

题，那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算

个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给

出协方差矩阵的定义:

这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个简单的三维的例子,假设数据集有

三个维度，则协方差矩阵为

可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对角线是各个维度上的方差。

Matlab协方差实战

上面涉及的内容都比较容易，协方差矩阵似乎也很简单，但实战起来就很容易让

人迷茫了。必须要明确一点，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不

是不同样本之间的。这个我将结合下面的例子说明,以下的演示将使用Maｔlab,

为了说明计算原理,不直接调用Ｍatlａb的cov函数(蓝色部分为Maｔｌab代

码)。

首先，随机产生一个10*３维的整数矩阵作为样本集,10为样本的个数,３为样本

的维数。

1 ＭyＳample ＝ fix(ranｄ（1０,3)*50)

根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始

就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的

协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本,每列为一个维度,所以

我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值:

dim１ ＝ MySaｍｐｌe（:,1)；diｍ2 = ＭySａmple(:,２);diｍ3 = M

２3

ｙSaｍple(:,3);

计算dim1与dim２,dim1与diｍ３,dim2与dｉm３的协方差:

sｕｍ( （dｉｍ1-ｍｅａｎ(dim1)) ．* （dｉm2-mｅａｎ(ｄim２)) ) / ( s

ｉze(MｙSaｍplｅ，1)－１ ) % 得到 7４.5333sum( (dim1-mean（dim

12

１)) .* (diｍ３-mｅan（dim3)） ) ／ ( size（MyＳampｌｅ,1）－1 ) ％

３

得到 -10.0889sum( (dim２-mｅan(ｄim２)） .* (ｄｉm３-mｅａn

（dim3)) ) / ( ｓｉzｅ(ＭySample,1)-1 ) % 得到 -1０6.4０00

搞清楚了这个后面就容易多了，协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差，下

面我们依次计算：

12stｄ(dim1)^2 % 得到 108.３222std（dim2）^2 % 得到 2６0．6２22s

３ ｔd(dｉm3)^2 % 得到 94.1７78

这样,我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据，调用Matlaｂ自带的co

ｖ函数进行验证：

１ ｃoｖ(MyＳaｍple）