2024年4月7日发(作者：数学试卷二又)
数列方法大全
一、求通项公式
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强
的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
类型1
a
n1
a
n
f(n)
解法：把原递推公式转化为
a
n1
a
n
f(n)
，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n1
a
n
n
，求
a
n
。
2
变式: 已知数列
{a
n
}中a
1
1
，且a
2k
=a
2k
－
1
+(－1)
K
,
a
2k+1
=a
2k
+3
k
, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a
3
, a
5
；（II）求{ a
n
}的通项公式.
类型2
a
n1
f(n)a
n
解法：把原递推公式转化为
a
n1
f(n)
，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
a
n
例2:已知数列
a
n
满足
a
1
2n
，
a
n1
a
n
，求
a
n
。
3n1
a
n
a
1
2a
2
3a
3
(n1)a
n1
变式（:2004，全国I,理15．）已知数列{a
n
}，满足a
1
=1，
(n≥2)，则{a
n
}的通项
a
n
n1
1
n2
___
类型3
a
n1
pa
n
q
（其中p，q均为常数，
(pq(p1)0)
）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：
a
n1
tp(a
n
t)
，其中
t
换元法转化为等比数列求解。
例3:已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n1
2a
n
3
，求
a
n
.
n
类型4
a
n1
pa
n
q
（其中p，q均为常数，
(pq(p1)(q1)0)
）。 （或
q
，再利用
1p
a
n1
pa
n
rq
n
,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
n1
，得：
a
n1
p
a
n
1
•
引入辅助数列
q
n1
q
q
n
q
b
n
（其中
b
n
a
n
n
q
），得：
b
n1
p1
b
n
再待定系数法解决。
例4:已知数列
a
n
中，
a
1
511
n1
,
a
n1
a
n
()
，求
a
n
。
632
类型5 递推公式为
a
n2
pa
n1
qa
n
（其中p，q均为常数）。
(待定系数法)：先把原递推公式转化为
a
n2
sa
n1
t(a
n1
sa
n
)
其中s，t满足
stp
stq
21
a
n1
a
n
，求
a
n
。
33
类型6 递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。(或
S
n
f(a
n
)
)
例5:已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n2
解法：这种类型一般利用
S
1
(n1)
与
a
n
S
n
S
n1
f(a
n
)f(a
n1
)
消去
S
n
(n2)
或与
a
n
S
n
S
n1
(n2)
S
n
f(S
n
S
n1
)
(n2)
消去
a
n
进行求解。
例6：已知数列
a
n
前n项和
S
n
4a
n
1
2
n2
.
（1）求
a
n1
与
a
n
的关系；（2）求通项公式
a
n
.
类型7
a
n1
pa
n
anb
(p1
、
0
，a
0)
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
a
n1
x(n1)yp(a
n
xny)
，与已知递推式比较，解出
x,y
,从而转化为
a
n
xny
是公比为
p
的等比数列。
例7:设数列
a
n
：
a
1
4,a
n
3a
n1
2n1,(n2)
，求
a
n
.
r
类型8
a
n1
pa
n
(p0,a
n
0)
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为
a
n1
pa
n
q
，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
1,a
n1
类型9
a
n1
1
2
的通项公式.
a
n
(a0)
，求数列
a
n
a
f(n)a
n
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
g(n)a
n
h(n)
a
n1
pa
n
q
。
更多推荐
公式,求解,递推,类型,转化,系数,待定
发布评论