2024年4月6日发(作者：2022杭州统考数学试卷)
2022北京西城高三二模数学试卷
2022．5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合
A=
x−4x2
，
B=xx
2
9
，则
AB=
（A）
(
−4.3
（B）
−3.2
)
（C）
(
−4,2
)
（D）
−3,3
（2）已知双曲线的焦点分别为五
F
1
,F
2
，
F
1
F
2
=4
，双曲线上一点
P
满足
PF
1
−PF
2
=2
，则该双曲线的离
心率为
（A）
2
（B）
3
（C）2 （D）3
（3）已知
a
n
为等差数列，首项
a
1
=2
，公差
d=3
，若
a
n
+a
n+2
=28
，则
n=
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3
（4）下列函数中，与函数
y=x
的奇偶性相同，且在
(
0,+
)
上有相同单调性的是
（A）
y=()
x
1
2
（B）
y=1nx
（C）
y=sinx
（D）
y=xx
22
（5）己知直线
y=kx+2
与圆
C:x+y=2
交于
A,B
两点，且
AB=2
，则
k
的值为
（A）
3
3
（B）
3
（C）
3
（D）2
（6）已知
e
是单位向量，向量
a
满足
1
ae1
，则
a
的取值范围是
2
（C）
,+
（A）
(
0,+
)
（B）
(
0,1
1
2
（D）
,1
1
2
1 / 15
（7）已知函数
f(x)=2sin(2x+
)
，
2
，那么“
=
6
”是“
f(x)
在
−
,
上是增函数”的
66
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）已知
f
(
x
)
=1gx−a
，记关于
x
的方程
f
(
x
)
=1
的所有实数根的乘积为
g
(
a
)
，则
g
(
a
)
（A）有最大值，无最小值
（C）既有最大值，也有最小值
（B）有最小值，无最大值
（D）既无最大值，也无最小值
2
x
+3,x
„
0
（9）若函数
f(x)=
的定义域和值域的交集为空集，则正数
a
的取值范围是
2
(x−2),0x
„
a
（A）
(
0,1
（B）
(
0,1
)
（C）
(
1,4
)
（D）
(
2,4
)
（10）如图为某商铺
A
、
B
两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知
A
商品卖出一件盈利20
元，
B
商品卖出一件盈利10元．图中点
A
1
、
A
2
、
A
3
的纵坐标分别表示
A
商品2022年前3个月的销售量，点
B
1
、
B
2
、
B
3
的纵坐标分别表示
B
商品2022年前3个月的销售量．根据图中信息，下列四个结论中正确的是
①2月
A
、
B
两种商品的总销售量最多；
②3月
A
、
B
两种商品的总销售量最多；
③1月
A
、
B
两种商品的总利润最多；
④2月
A
、
B
两种商品的总利润最多．
（A）①③
（C）②③
（B）①④
（D）②④
第二部分 （非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）二项式
(
1+x
)
(nN
*
)
的展开式中
x
2
的系数为21，则
n=
__________．
n
（12）已知复数
z
在复平面内所对应的点的坐标为（-1，2），则
5
为__________．
z
2 / 15
2
（13）已知抛物线
y=
4x
的焦点为
F
，准线为
l
，则焦点到准线的距离为__________；直线
y=3x−3
与
抛物线分别交于
P
、
Q
两点（点
P
在
x
轴上方），过点
P
作直线
PQ
的垂线交准线
l
于点
H
，则
__________．
（14）已知数列
a
n
是首项为16，公比为
PF
=
PH
1
的等比数列，
b
n
是公差为2的等差数列．若集合
2
A=
nN
*
a
n
b
n
中恰有3个元素，则符合题意的
b
1
的一个取值为__________．
（15）已知四棱锥
P−ABCD
的高为1，
△PAB
和
△PCD
均是边长为
2
的等边三角形，给出下列四个结
论：
①四棱锥
P−ABCD
可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到
P,A,B,C,D
距离都相等的点；
③可能有平面
PAD⊥
平面
ABCD
；
④四棱锥
P−ABCD
的体积的取值范围是
,
．
33
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题13分）
在
△ABC
中，
23cos
2
（I）求
B
的大小；
（Ⅱ）若
3(a+c)=2b
，证明：
a=c
．
（17）（本小题13分）
2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包
括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布
3 / 15
12
BBB
+2sincos=3
．
222
之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置
22项考试内容．
某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒
乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%．假设选考项目中所有学生选择每一
项相互独立．
（I）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
（Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟
跳绳的概率；
（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，
40人得7．5分，其余男生得7分：样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考
试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为
1
，其中男生的乒乓球平均分的估计值为
2
，试比
较
1
与
2
的大小．（结论不需要证明）
（18）（本小题14分）
如图，在三棱柱
ABC−A
1
B
1
C
1
中，四边形
AAC
11
C
是边长为4的菱形，
AB=BC=3
，点
D
为棱
AC
上动点
（不与
A,C
重合），平面
B
1
BD
与棱
AC
11
交于点
E
．
（I）求证：
BB
1
//DE
；
（Ⅱ）若
AD3
=
，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线
AB
与平面
AC4
B
1
BDE
所成角的正弦值．
条件①：平面
ABC⊥
平面
AAC
11
C
；
条件②：
A
1
AC=60
；
条件③：
A
1
B=21
．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4 / 15
（19）（本小题15分）
己知函数
f(x)=
lnx+a
x+1
（1）若
f
(1)=
1
，求
a
的值；
4
（Ⅱ）当
a2
时，
② 求证：
f
(
x
)
有唯一的极值点
x
1
；
②记
f
(
x
)
的零点为
x
0
，是否存在
a
使得立
x
1
„
e
2
?说明理由．
x
0
（20）（本小题15分）
x
2
y
2
22
已知椭圆
C:
2
+
2
=1(ab0)
的左顶点为
A
(
−2,0
)
，圆
O:x+y=1
经过椭圆
C
的上、下顶点．
ab
（I）求椭圆
C
的方程和焦距：
（Ⅱ）已知
P
,Q
分别是椭圆
C
和圆
O
上的动点（
P
,Q
不在坐标轴上），且直线
PQ
与
x
轴平行，线段
AP
的
垂直平分线与
y
轴交于点
M
，圆
O
在点
Q
处的切线与
y
轴交于点
N
．求线段
MN
长度的最小值．
（21）（本小题15分）
已知数列
A:a
1
,a
2
,L,a
2m
，其中
m
是给定的正整数，且
m2
．
令
b
i
=min
a
2i−1
,a
2i
，
i=1,L,m
，
X(A)=max
b
1
,b
2
,L,b
m
，
c
i
=max
a
2i−1
,a
2i
，
i=1,L,m
，
Y(A)=min
c
1
,c
2
,L,c
m
．
这里，
max{ }
表示括号中各数的最大值，
min{ }
表示括号中各数的最小值．
（I）若数列
A:2,0,2,1,−4,2
，求
X
(
A
)
，
Y
(
A
)
的值；
（Ⅱ）若数列
A
是首项为1，公比为
q
的等比数列，且
X
(
A
)
=Y
(
A
)
，求
q
的值；
（Ⅲ）若数列
A
是公差
d=1
的等差数列，数列
B
是数列
A
中所有项的一个排列，求
X
(
B
)
−Y
(
B
)
的所有可
能值（用
m
表示）．
5 / 15
2022北京西城高三二模数学试卷
参考答案及评分标准
2022.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）A
（ 6 ）C
（ 2 ）C
（ 7 ）A
（ 3 ）D
（ 8 ）D
（ 4 ）D
（ 9 ）B
（ 5 ）B
（10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
3
2
（11）
7
（12）
5
（13）
2
（14）
−1
（答案不唯一） （15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在
△ABC
中，因为
23cos
2
BBB
+2sincos=3
，
222
所以
23
1+cosB
+sinB=3
，
2
所以
3cosB+sinB=0
，
所以
tanB=−3
，
因为
B(0,)
，
所以
B=
2
.
3
2π1
，所以
cosB=−
.
32
6 / 15
┄┄┄┄┄┄
7分
（Ⅱ）因为
B=
由余弦定理得
cosB=
a
2
+c
2
−b
2
2ac
，
所以
−
1a
2
+c
2
−b
2
2
=
2ac
，
即
−ac=a
2
+c
2
−b
2
. ①
因为
3(a+c)=2b
，
所以
b=
3
2
(a+c)
.
②
将②代入①，得
−ac=a
2
+c
2
−
3
4
(a
2
+2ac+c
2
)
，
整理得
(a−c)
2
=0
，
所以
a=c
.
┄┄┄┄
13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）样本中男生选考乒乓球人数为
110010%=110
人，
女生选考乒乓球人数
10005%=50
人.
设从该区所有九年级学生中随机抽取1人，该学生选考乒乓球为事件
A
，
用频率估计概率，
P(A)=
110+508
1100+1000
=
105
. ┄┄┄┄┄┄
4分
（Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件
B
，
设从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件
C
，
由题意，
P(B)
的估计值为
0.4
，
P(C)
的估计值为
0.5
.
设从该区九年级全体男生中随机抽取
2
人，全体女生中随机抽取
1
人，
7 / 15
┄┄
恰有2人选考跳绳为事件
D
，
则所求概率的估计值为
12
P(D)=C
2
0.40.60.5+C
2
0.4
2
0.5=0.32
. ┄┄┄┄┄┄
9分
┄┄┄┄┄┄
13分
（Ⅲ）
1
2
.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱
ABC−A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
//BB
1
，
又
BB
1
平面
ACC
1
A
1
,
所以
BB
1
//
平面
ACC
1
A
1
.
又因为平面
B
1
BDEI
平面
ACC
1
A
1
=DE
，
所以
BB
1
//DE
.
（Ⅱ）选条件①②.
连接
AC
，取
AC
中点
O
，连接
AO
，
BO
.
11
在菱形
ACC
1
A
1
中，
A
1
AC=60
，
所以
△A
1
AC
为等边三角形.
又因为
O
为
AC
中点，所以
AO⊥AC
，
1
又因为平面
ABC⊥
平面
ACC
1
A
1
，
平面
ABCI
平面
ACC
1
A
1
=AC
，
⊥AC
，
AO
平面
ACC
1
A
1
，且
AO
11
┄┄┄┄┄┄
4分
所以
A
1
O⊥
平面
ABC
，
⊥OB
.
所以
AO
1
8 / 15
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