数学题目解答

2023年12月6日发(作者：2022广东数学试卷答案)

数学题目解答

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列实数中，是无理数的为（ C ）

1A. 3.14 B. C. 3 D. 9

3【解析】无理数即为无限不循环小数，则选C。

k2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的两支分别在（B ）

xA.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限

11【解析】设K=-1，则x=2时，y=，点在第四象限；当x=-2时，y= ，在第二象限，所以图像过22第二、四象限，即使选B

3.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ）

A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定

【解析】根据二次方程的根的判别式：b24ac141150，所以方程有两个不相等的实数根，所以选B

4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ D）

A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C

【解析】中位数定义：将所有数学按从小到大顺序排列后，当数字个数为奇数时即中间那个数为中位数，当数字的个数为偶数时即中间那两个数的平均数为中位数。

众数：出现次数最多的数字即为众数

所以选择D。

5.下列命题中，是真命题的为（ D ）

A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似

【解析】两个相似三角形的要求是对应角相等，A、B、C中的类型三角形都不能保证两个三角形对应角相等，即选D。

6.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）

A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含

【解析】如图所示，所以选择A

二、填空题（本大题共

O1AO1A2AO1AO112题，每题4分，满分48分）

7.计算：a

3 ÷ a

2

= ___a____.

【解析】a3a2a32a1a

8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x2-1________.

【解析】根据平方差公式得：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = x2-1_

9.分解因式：a

2

─ a b = _____a(a-b)_________.

【解析】提取公因式a，得：a2abaab

10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____x>2/3___.

【解析】

3x203x22x311.方程 x + 6 = x 的根是______x=3______.

【解析】由题意得：x>0

两边平方得：x6x2，解之得x=3或x=-2（舍去）

112.已知函数 f ( x ) =

2

，那么f ( ─ 1 ) = ______1/2_____.

x + 1111 【解析】把x=-1代入函数解析式得：f122x111213.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是____y=2x+1__________.

【解析】直线y = 2 x ─ 4与y轴的交点坐标为（0，-4），则向上平移5个单位后交点坐标为（0,1），则所得直线方程为y = 2 x +1

14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______

【解析】“生活”、“城市”放入后有两种可能性，即为：生活让城市更美好、城市让生活更美好。

则组成“城市让生活更美好”的可能性占所有可能性的1/2。

15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量

AD

=a， =b，则向量

AB

1AO(ab).（结果用a、b表示）

21【解析】ADBCa，则ACABBC=ba2AO，所以AO=ba

2

A

ADOCADD160E图1

BB图2

CO1图3

2B图4

C16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________.

ACAD【解析】由于∠ACD =∠ABC，∠BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB，即：,所以AB•ADAC2，ABAC则AB=4,所以BD=AB-AD=3

17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1， y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____y=100x-40___.

【解析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40

18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__1或5_________.

【解析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，AD而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：

顺时针旋转得到F1点，则F1C=1

逆时针旋转得到F2点，则F2BDE2,F2CF2BBC5

F2

BF1C三、解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）

119.计算：273(31)2(12)1431

解：原式32732231143111

23133323124343212

523232

320.解方程：x2 x ─ 2x ─ 1 ─

x ─ 1 = 0

解：x•x2x2x11•x•x10

北x22x12xx10

Nx22x22x1x2x0

A67.42x24x2x0

O2x25x20

BC2x1x20

南S∴x1图5

2或x2

代入检验得符合要求

21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.

E（本题参考数据：sin 67.4° =

12512 ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）

131355（1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=900,即：sin∠AOD=cos∠AON=

13512即：AD=AO× =5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12

1313 又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处

所以AB∥NS,AB⊥BC,所以E点位BC的中点，且BE=DO=12

所以BC=24

（2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9

又在RT△BOE中，BE=12,

所以BOOEBE91222515

即圆O的半径长为15

人数（万人）

22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料

3数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，

2.5对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的

2数据整理后绘成图6.

1（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料

的游客人数占A出口的被调查游客人数的___60____%.

（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？

0123图6

（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料

的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被

调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区

出 口

内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数

人均购买饮料数量（瓶）

为多少万？

表 一

9万

解：（1）由图6知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人）

而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人）

所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的2222NADOEBSC1.54饮料数量（瓶）

B

3

C

2

6100%60%

10（2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶）

购买饮料总数20万瓶人均购买=2瓶

总人数10万人（3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人

则有3x+2(x+2)=49

解之得x=9

所以设B出口游客人数为9万人

23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.

（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；

（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.

（1）解：分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连接AP，即AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E，

∵AB=AD，∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD

∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB

∴△BOE≌△DOA

∴BE=AD（平行且相等）

∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD，

∴四边形ADBE为菱形

（2）设DE=2a,则CE=4a，过点D作DF⊥BC

∵∠ABC＝60°，∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF=∴CDDF2CF23a29a223a

∴DE=2a，EC=4a,CD=23a,构成一组勾股数，

1DE=a，则DF=3a，CF=CE-EF=4a-a=3a，

2AOD∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC

B

EFC24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：

244bc0

21bc3解之得：b=4，c=0

所以抛物线的表达式为：yx24x

将抛物线的表达式配方得：yx24xx24

图8

2所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）

（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（4-m,-n），

则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则

SOFAPSOFASOPA=

SOFA1•OA•n2+

SOPA1•OA•n=

4n=20

2所以n=5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5

代入抛物线方程得m=5

25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tanBPD

1，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

3 图9 图10(备用) 图11(备用)

（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°

∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP

∴∠EPC＝30°

∴三角形BDP为等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°

∴AE=EP=1

11EP=

22（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x

∵AE=1,EC=2

∴QC=3-a

∵∠ACB＝90°

∴△ADQ与△ABC相似

∴在RT△ECP中，EC=∴即ADAQ

ABAC1a3

，∴ax13x12223∵在RT△ADQ中DQADAQ1x1∵x22x8

x1DQAD

BCABx22x81x1∴

xx1解之得x=4，即BC=4

过点C作CF//DP

∴△ADE与△AFC相似，

ADFBECPQAEAD，即AF=AC，即DF=EC=2,

ACAF∴BF=DF=2

∵△BFC与△BDP相似

∴∴BFBC21，即：BC=CP=4

BDBP42EC21

CP42(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a

∴tan∠BPD=∴1QEDQ且tanBPD

ECCP3∴DQ31a

∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2AQ2DQ2

即：12a231a，解之得a1(舍去)a∵△ADQ与△ABC相似

4ADDQAQ4∴

5ABBCAC1x55x24

5∴AB55x33x

,BC44∴三角形ABC的周长yABBCAC即：y33x，其中x>0

55x33x1x33x

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