2024年3月21日发(作者：八下一二单元数学试卷)
高考数学证明面面平行的方法综合试题（解析版）
综合数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．下列命题正确的是（
）
A
．若直线
a
在平面
α
外，则直线
a
//
α
B
．若直线
a
与平面
α
有公共点，则
a
与
α
相交
C
．若平面
α
内存在直线与平面
β
无交点，则
α
//
β
D
．若平面
α
内的任意直线与平面
β
均无交点，则
α
//
β
【正确答案】
D
【思路点拨】
利用直线
a
在平面
α
外的定义，可判断
A
；直线
a
与平面
α
有公共点，没说明公
共点的个数，可判断
B
；平面
α
内也可能存在直线与平面
β
有交点，可判断
C
；
利用面面平行的判断定理，可判断
D
【步步为营】
直线
a
在平面
α
外，则直线
a//α
或
a
与
α
相交，故
A
错；
直线
a
与平面
α
有公共点，则
a
与
α
相交或
a⊂α
，故
B
错；
C
中
α
与
β
可能平行，也可能相交，故
C
错；
若平面
α
内的任意直线与平面
β
均无交点，则平面
α
内的任意直线与平面
β
平行，
一定存在两条相交直线与平面
β
平行，则
α//β
，故
D
正确；
故选：
D
2
．已知
，
是两个不同平面，
m
，
n
是两不同直线，下列命题中不正确的是
．．．
（
）
A
．若
m//n
，
m
，则
n
C
．若
m//
，
n
，则
m//n
【正确答案】
C
【思路点拨】
B
．若
m
，
m
，则
//
D
．若
m
，
m
，则
由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体
为载体逐一分析即可得出结论．
【步步为营】
对于
A
，若
m
，则取
内任意两条相交直线
a,b
，使得
ma
，
mb
，又
m//n
，
则
na
，
nb
，由线面垂直的判定定理得
n
，故
A
正确；
对于
B
，垂直于同一条直线的两个平面平行，故
B
正确；
对于
C
，若
m//
，
n
，如图，
A
1
D
1
n
，
m//
，设
mAB
，平面
A
1
B
1
C
1
D
1
为平面
，设平面
ADD
1
A
1
为平面
，
则
mn
，故
C
错误；
对于
D
，由面面垂直的判定定理可得，故
D
正确；
故选：
C
．
【化龙点睛】
思路点睛：本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂
直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题．
3
．在空间中，已知直线
l
，两个不同的平面
，
，一定能推出
“
//
”
的条件
是（
）
A
．
l//
,l//
C
．
l
,l//
【正确答案】
B
【思路点拨】
对于
A
：
l//
,l//
时平面
，
可能相交
,
即可判断；
对于
B
：由垂直于同一直线的两平面平行即可证明；
对于
C
：可以证明出
，即可判断
.
对于
D
：可以证明出
，即可判断
.
【步步为营】
对于
A
：
l//
,l//
时平面
，
可能相交
.
设
m
，只要
l//m,l
,l
，也
B
．
l
,l
D
．
l//
,l
有
l//
,l//
且平面
，
相交
.
故
A
错误
.
对于
B
：
l
,l
时，必能推出
//
.
因为垂直于同一直线的两平面平行
.
故
B
错误
.
对于
C
：
l
,l//
可以证明
.
因为
l//
，所以存在直线
m
，使得
l//m
.
因为
l
，所以
m
，所以
.
所以
//
不可能成立
.
故
C
错误
.
对于
D
：因为
l//
，所以存在直线
m
，使得
l//m
.
因为
l
，所以
m
，所
以
.
所以
//
不可能成立
.
故
D
错误
.
故选：
B
4
．在棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，点
M
，
N
分别是棱
BC
，
CC
1
的中点，
动点
P
在正方形
BCC
1
B
1
（包括边界）内运动
.
若
PA
1
//
平面
AMN
，则
PA
1
的最小值是
（
）
A
．
2
【正确答案】
B
【思路点拨】
B
．
32
2
C
．
5
D
．
6
由
PA
1
//
平面
AMN
，可以找到
P
点在右侧面的运动轨迹，从而求出
PA
1
的最小值
【步步为营】
如上图所示，取
B
1
C
1
的中点
E
,
BB
1
的中点
F
，连接
A
1
E,A
1
F,EF
，
因为
M,N
分别是棱
BC,CC
1
的中点，所以
A
1
E
//AM
，
EF//MN
，
又因为
A
1
EEFE
,
A
1
E,EFA
1
EF
,
AM,MNAMN
，
所以平面
A
1
EF
//
平面
AMN
，
PA
1
//
平面
AMN
，且
P
点在右侧面，
所以
P
点的轨迹是
EF
，且
A
1
EAF5
，
EF2
，
所以当
P
点位于
EF
中点
O
处时，
PA
1
最小，此时，
PA
1
5
故选：
B
5
．点
M,N
分别是棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中棱
BC,CC
1
的中点，动点
P
在
正方形
BCC
1
B
1
(
包括边界
)
内运动
.
若
PA
1
//
面
AMN
，则
PA
1
的长度范围是（
）
A
．
[2,5]
【正确答案】
B
【思路点拨】
如图，分别取
BB
1
,B
1
C
1
的中点
E,F
，连接
EF,A
1
E,A
1
F
，则可证得平面
A
1
EF
‖
平面
AMN
，
从而可得点
P
在
EF
上，从而可求出
PA
1
的长度范围
【步步为营】
解：如图，分别取
BB
1
,B
1
C
1
的中点
E,F
，连接
EF,A
1
E,A
1
F
，
FM,BC
1
，
则
EF
‖
BC
1
，
因为
M,N
是
BC,CC
1
的中点，所以
MN
‖
BC
1
，
所以
EF
‖
MN
，
因为
EF
平面
AMN
，
MN
平面
AMN
，
32
,5
B
．
2
32
,3
C
．
2
1
2
32
.
2
D
．
[2,3]
所以
EF
‖
平面
AMN
，
因为
F
是
B
1
C
1
的中点，
M
是
BC
的中点，
所以
FM
‖
BB
1
，
FMBB
1
，
因为
AA
1
‖
BB
1
，
AA
1
BB
1
，
所以
FM
‖
AA
1
，
FMAA
1
，
所以四边形
FMAA
1
为平行四边形，所以
A
1
F
‖
AM
，，
因为
A
1
F
平面
AMN
，
MA
平面
AMN
，
所以
A
1
F
‖
平面
AMN
，
因为
A
1
FEFF
，所以平面
A
1
EF
‖
平面
AMN
，
因为平面
A
1
EF
平面
AMNEF
，
所以点
P
在
EF
上运动，使
PA
1
//
面
AMN
，
因为
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，
所以
A
1
EA
1
F5,EF2
所以当点
P
与
E
或
F
重合时，
PA
1
最长，当点
P
在
EF
的中点时，
PA
1
最短，
PA
1
的最小值为
5
2
2
32
，
2
2
2
32
PA
,5
，
所以
1
的长度范围是
2
故选：
B
F
分别是棱
C
1
D
1
，
B
1
C
1
的中点，
6
．在棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，点
E
，
P
是上底面
A
1
B
1
C
1
D
1
内一点（含边界），若
AP//
平面
BDEF
，则
Р
点的轨迹长为
（
）
A
．
1
【正确答案】
B
【思路点拨】
B
．
2
C
．
2 D
．
22
由分别取棱
A
1
B
1
､
A
1
D
1
的中点
M
､
N
，连接
MN
，由线面平行得面面平行，得动点轨
迹，从而可计算其长度．
【步步为营】
如图所示，分别取棱
A
1
B
1
､
A
1
D
1
的中点
M
､
N
，连接
MN
，连接
B
1
D
1
，
⊂M
､
N
､
E
､
F
为所在棱的中点，
⊂
MN//B
1
D
1
，
EF//B
1
D
1
，
⊂
MN//EF
，
又
MN
平面
BDEF
，
EF
平面
BDEF
，
⊂
MN//
平面
BDEF
，
连接
NF
，由
NF//A
1
B
1
，
NFA
1
B
1
，
A
1
B
1
//AB
，
A
1
B
1
AB
，可得
NF//AB
，
NFAB
，
则四边形
ANFB
为平行四边形，则
AN//FB
，
而
AN
平面
BDEF
，
FB
平面
BDEF
，则
AN//
平面
BDEF.
又
ANNMN
，
⊂
平面
AMN//
平面
BDEF.
又
P
是上底面
A
1
B
1
C
1
D
1
内一点，且
AP//
平面
BDEF
，
⊂P
点在线段
MN
上
.
又
MNB
1
D
1
，
⊂P
点的轨迹长为
2
.
1
2
7
．下列叙述中正确的是（
）
A
．对
xR
，
2
x
x
2
B
．
l
是一条直线，
,
是两个不同的平面，若
l
，
l
，则
//
C
．若
a,b,cR
，则
“
ab
2
cb
2
”
的充要条件是
“
ac
”
2
D
．命题
“
对
xR
，
x
2
0
”
的否定是
“
x
0
R
，使
x
0
0
”
【正确答案】
B
【思路点拨】
对于
A
，举反例可得解；对于
B
，垂直于同一直线的两个平面互相平行可得解；
对于
C
，举反例可得解；对于
D
，利用全称命题的否定可得解
.
【步步为营】
对于
A
，当
x1
时，
2
x
2
1
0.5
，
x
2
(1)
2
1
，显然
2
x
x
2
不成立，故
A
错误；
对于
B
，由
l
，
l
，知
//
或
，但
,
是两个不同的平面，所以
//
，
故
B
正确；
对于
C
，当
b0
时，由
“
ac
”
推不出
“
ab
2
cb
2
”
，所以
“
ac
”
是
“
ab
2
cb
2
”
的必要
不充分条件，故
C
错误；
2
对于
D
，
“
xR
，
x
2
0
”
的否定是
“
x
0
R
，使
x
0
0
”
，故
D
错误．
故选：
B
．
【化龙点睛】
易错点睛：本题考查判断命题的真假，充要条件的判定，全称命题的否定，注意
全称命题的否定是特称，特称命题的否定是全称，考查学生的分析能力，属于基
础题
.
8
．在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，
E
是
PC
的中点，若在棱
PD
上存在一点
F
，使得
BE//
平面
ACF
，则
A
．
3
【正确答案】
B
【思路点拨】
取
PF
的中点
M
,
则可证
ME//
平面
ACF
，当
F
也为
MD
的中点时，即
DFFMPM
,
也即
PF
2
时，
MB//
平面
ACF
，从而得到平面
ACF//
平面
MBE
，
FD
PF
（
）
FD
B
．
2 C
．
3
2
D
．
1
从而得到答案
.
【步步为营】
取
PF
的中点
M
，连接
EM,MB
,
连接
AC,BD
相交于点
O
，连接
FO
由
M
为
PF
的中点，
E
是
PC
的中点，所以
ME//FC
FC
平面
ACF
,
ME
平面
ACF
,
所以
ME//
平面
ACF
当
F
也为
MD
的中点时，即
DFFMPM
,
也即
由
O
为
BD
中点，则
FO//MB
PF
2
时，
FD
由
FO
平面
ACF
,
MB
平面
ACF
,
所以
MB//
平面
ACF
又
MEMBM
，所以平面
ACF//
平面
MBE
又
BE
平面
MBE
，所以
BE//
平面
ACF
.
即在棱
PD
上存在一点
F
，当
故选：
B
PF
2
时，
BE//
平面
ACF
.
FD
9
．在棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
N
为
BC
的中点
.
当点
M
在平面
DCC
1
D
1
内运动时，有
MN//
平面
A
1
BD
，则线段
MN
的最小值为（
）
A
．
1
【正确答案】
B
【思路点拨】
CD
中点
P
，
DD
1
中点
Q
，连接
PQ
、
PN
、
QN
，根据面面平行的判定定理，可证
平面
PQN∕∕
平面
A
1
BD
，即
M
在平面
PQN
内，根据题意，可得点
M
在线段
PQ
上，在
PQN
中，分别求得各个边长，根据余弦定理，求得
NPQ120
，根据三
角函数的定义，即可求得答案
.
【步步为营】
取
CD
中点
P
，
DD
1
中点
Q
，连接
PQ
、
PN
、
QN
，如图所示：
B
．
6
2
C
．
2
D
．
3
因为
P
、
N
分别为
CD
、
BC
中点，
所以
PN∕∕BD
，
同理，
P
、
Q
分别为
CD
、
DD
1
中点，
所以
PQ∕∕D
1
C∕∕A
1
B
，
又
PQPNP
，
PQ,PN
平面
PQN
，
A
1
BBDB
，
A
1
B,BD
平面
A
1
BD
，
所以平面
PQN∕∕
平面
A
1
BD
，
因为
MN//
平面
A
1
BD
，
所以
MN
平面
PQN
，又点
M
在平面
DCC
1
D
1
内运动，
所以点
M
在平面
PQN
和平面
DCC
1
D
1
的交线上，即
MPQ
，
在
PQN
中，
PN2
，
PQ
1
CD
1
2
，
QN(2)
2
2
2
6
，
2
PN
2
PQ
2
QN
2
1
，
所以
cosNPQ
2PQPN2
所以
NPQ120
，
所以
N
点到
PQ
的最小距离
dPNsin
180120
所以线段
MN
的最小值为
故选：
B
6
.
2
6
.
2
【化龙点睛】
解题的关键是作出平面
PQN∕∕
平面
A
1
BD
，在根据题意，确定点
M
的位置，再
求解，考查面面平行的判定及性质定理的应用，解三角形等知识，属中档题
.
10
．如图，三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB4,AC3,BC5,AA
1
6,D
为
CC
1
中点，
E
为
BB
1
上一点，
BB
1
3BE,A
1
AC60,
M
为平面
AAC
且
BM//
平面
ADE,
则
11
C
上一点，
点
M
的轨迹的长度为（
）
A
．
1
C
．
3
【正确答案】
C
【思路点拨】
B
．
2
D
．
2
过
B
作
BF//ED
交
CC
1
于
F
，过
F
作
FG//AD
交
AC
于
G
，根据线面平行、面面平
行的判定证明面
BFG//
面
ADE
，由面
BFG
面
AAC
11
CFG
，即可知
FG
为
M
的轨
迹，进而求其长度
.
【步步为营】
过
B
作
BF//ED
交
CC
1
于
F
，过
F
作
FG//AD
交
AC
于
G
，
⊂
EDADD
，
BF
面
ADE
，
FG
面
ADE
，
⊂
BF//
面
ADE
，
FG//
面
ADE
，而
BFFGF
，
⊂
面
BFG//
面
ADE
，而面
BFG
面
AAC
11
CFG
，
综上，知：
BM//
平面
ADE
，面
AAC
11
C
上
M
的轨迹为
FG
.
⊂
BB
1
CC
1
3BE3FD2CD
，
⊂
CF
CD
AD
，则
FG
，又
A
1
AC60,
3
3
⊂
ACC
1
120
，
ACCD3
，易得
AD33
，故
FG3
.
故选：
C
【化龙点睛】
关键点点睛：应用线面平行、面面平行确定动点
M
在面
AAC
11
C
上轨迹，并求轨
迹长度
.
二、填空题
11
．下列四个正方体图形中，
A,B
为正方体的两个顶点，
M,N,P
分别为其所在棱
的中点，能得出
AB//
平面
MNP
的图形的序号是
________
．
【正确答案】
⊂⊂
【思路点拨】
证明
AB
所在的平面与平面
MNP
平行可判断
⊂
；若下底面中心为
O
，连接
NO
，可
得
NO//AB
可判断
⊂
；由
AB
面
PMNB
可判断
⊂
；证明
AB//NP
可判断
⊂
，进而可
得正确答案
.
【步步为营】
在
⊂
中：如图：因为
M,N,P
分别为其所在棱的中点，所以
MN//AC
，
NP//BC
，
因为
MN
面
ABC
，
AC
面
ABC
，所以
MN//
面
ABC
，同理可得
PN//
面
ABC
，
因为
MNNPN
，所以面
ABC//
面
MNP
，因为
AB
面
ABC
，所以
AB//
平面
MNP
，
故
⊂
成立；
在
⊂
中，若下底面中心为
O
，连接
NO
，可得
NO//AB
，
NO
面
MNPN
，所以
AB
与平面
MNP
不平行，故
⊂
不成立；
在
⊂
中：如图：平面
PMN
即为平面
PNBC
，因为
AB
面
PNBCB
，所以
AB
与面
MNP
不平行，故
⊂
不成立；
AC//BD
且
ACBD
，在
⊂
中：如图：所以四边形
ACDB
是平行四边形，可得
AB//CD
，
因为
NP//CD
，所以
AB//NP
，因为
AB
面
MNP
，
NP
面
MNP
，
所以所以
AB//
平面
MNP
，故
⊂
成立．
故答案为：
⊂⊂.
12
．如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是棱
CC
1
、
C
1
D
1
、
D
1
D
、
CD
的中点，
N
是
BC
的中点，点
M
在四边形
EFGH
及其内部运动，则
M
满足
________
时，有
MN//
平面
B
1
BDD
1
．
【正确答案】
MFH
【思路点拨】
连接
FH
，
HN
，
NF
，可得平面
FHN//
平面
B
1
BDD
1
，可知平面
FHN
内任何一条直
线都与平面
B
1
BDD
1
平行，由面面平行的性质定理可得出结果
.
【步步为营】
连接
FH
，
HN
，
NF
，
因为
F
，
H
，
N
分别是棱
C
1
D
1
、
CD
，
BC
的中点，
所以
FH//D
1
D
，
HN//BD
，
因为
FH
平面
BDD
1
B
1
，
DD
1
平面
BDD
1
B
1
，所以
FH//
面
BDD
1
B
1
，
同理可得
HN//
面
BDD
1
B
1
，
因为
HNFHH
，
HN
，
FH
平面
FHN
，
所以平面
FHN//
平面
BDD
1
B
1
，
又因为点
M
在四边形
EFGH
及其内部运动，
FH
平面
EFGH
，
故当
MFH
时，
MN//
平面
B
1
BDD
1
．
故答案为：
MFH
.
13
．设
m
、
n
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，给出下列命题：
①
若
m
,n//
，则
mn
．
①
若
mn,n//
，则
m
．
①
若
m
,
//
，则
m
．
①
若
m
,m
，则
//
．
其中正确命题的序号是
___
（写出所有正确命题的序号）；
【正确答案】
⊂⊂⊂
【思路点拨】
根据线面垂直的性质定理可判断
⊂
；由由线面垂直的判定定理可判断
⊂
；由由线
面垂直的条件可判断
⊂
；由面面平行的条件可判断
⊂
．
【步步为营】
对于
⊂
，若
n//
，过直线
n
作平面
，使得
a
，则
a//n
，
m
，
a
，
ma
，
mn
，故
⊂
正确
.
对于
⊂
，
mn,n//
只能推出
m
与面内有些线垂直，不能得出它垂直于面内任意
一条直线，故
⊂
错误
.
对于
⊂
，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个，故
⊂
正确
.
对于
⊂
，垂直于同一条直线的两个平面平行，故
⊂
正确
.
故答案为：
⊂⊂⊂
【化龙点睛】
关键点点睛：本题考查线线垂直，线面垂直，面面平行的判定，解题的关键是熟
练掌握线线垂直，线面垂直，面面平行的条件，作出正确判断，考查学生的逻辑
推理能力，属于中档题
.
14
．在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB2
，点
E
，
F
分是棱
A
1
D
1
，
B
1
C
1
的中点，有
下列命题：
①
平面
A
1
BF//
平面
AEC
1
；
①
平面
AEC
1
截正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
所得截面的面积为
2
①
直线
A
1
B
1
与平面
AEC
1
所成角的正弦值为
6
；
3
6
；
①
若点
M
是线段
C
1
E
上的一个动点，则三棱锥
A
1
BFM
的体积为定值
.
其中正确的选项是
___________.
【正确答案】
⊂⊂⊂
【思路点拨】
根据面面平行的判定定理证明面面平行判断
⊂
，作出截面是平行四边形（菱形），
然后求得面积判断
⊂
，建立空间直角坐标系求出线面角的正弦值判断
⊂
，换顶点
后结合棱锥体积公式判断
⊂
．
【步步为营】
取
BC
的中点
G
，连接
GA,GC
1
，
A
1
E
与
C
1
E
平行且相等，则
A
1
EC
1
F
1
是平行四边形，
EC
1
与
A
1
F
平行且相等，同理
BF
与
C
1
G
平行且相等，
EG
与
BB
1
与
AA
1
平行且相等，
AA
1
FG
是平行四边形，
A
1
F
与
AG
行且相等，
所以
EC
1
与
AG
平行且相等，
AEC
1
G
是平行四边形，平行四边形
AEC
1
G
就是截面
AEC
1
，
A
1
F
平面
A
1
FB
，
EC
1
平面
A
1
FB
，首先由
EC
1
//A
1
F
，得
EC
1
//
平面
A
1
FB
，同理
GC
1
//
平面
A
1
FB
，而
EC
1
C
1
GC
1
，
EC
1
,C
1
G
平面
AEC
1
G
，所以平面
AEC
1
G//
平面
A
1
FB
，
⊂
正确；
平行四边形
AEC
1
G
是菱形，边长为
2
2
1
2
5
，对角线
AC
1
23
，
EG22
，
面积为
S232226
，
⊂
正确；
C
1
(0,2,2)
，
E(1,0,2)
，如图，以
DA,DC,DD
1
为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系，则
A(2,0,0)
．
1
2
AE(1,0,2),EC
1
(1,2,0)
，
mAEx2z0
AEC
m(x,y,z)
设平面，则
，
1
的一个法向量是
mECx2y0
1
取
z1
得
m(2,1,1)
，
A
1
B
1
//DC
，它的一个方向向量为
n(0,1,0)
，
cosm,n
mn
mn
16
，
61
6
6
，
⊂
错；
6
所以直线
A
1
B
1
与平面
AEC
1
所成角的正弦值为
由
C
1
E//
平面
A
1
BF
，点
M
是线段
C
1
E
上，所以
M
到平面
A
1
BF
的距离不变，
△A
1
BF
面积不变，所以
V
ABFM
V
MABF
不变．
⊂
正确．
11
故答案为：
⊂⊂⊂
．
15
．如图所示，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，
E,F
为
AA
1
,AB
的中点，
M
点
是正方形
ABB
1
A
1
内的动点，若
C
1
M//
平面
CD
1
E
，则
M
点的轨迹长度为
______
．
【正确答案】
2
【思路点拨】
取
A
1
B
1
的中点
H
，
BB
1
的中点
G
，连接
GH,C
1
H,C
1
G,EG,HF
，可得四边形
EGC
1
D
1
是
平行四边形，可得
C
1
D//D
1
E
，同理可得
C
1
H//CF
，可得面面平行，进而得出
M
点
轨迹为
GH
．
【步步为营】
如图所示，
A
1
B
1
的中点
H
，
BB
1
的中点
G
，连接
GH,C
1
H,C
1
G,EG,HF
.
可得四边形
EGC
1
D
1
是平行四边形，
⊂
C
1
G//D
1
E
，又
C
1
G
平面
CD
1
E
，
D
1
E
平面
CD
1
E
，
C
1
H//
平面
CD
1
E
，可得
C
1
G//
平面
CD
1
E
.
同理可得
C
1
H//CF
，又
C
1
HC
1
GC
1
，
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