2024年4月14日发(作者：数学试卷怎样做最有效的方法)
2018年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）
1、对于任意实数a,b，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a
的值是。
13
2
22
【答案】4，
2、在三角形ABC中，
ABb
数，则b-a= 。
【答案】0
1,BCa,CA2a
，其中a,b是大于1的整
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可
能是。
【答案】50,94
4、已知关于x的方程
x
4
2x
3
(3k)x
2
(2k)x2k0
有实根，并且所有
实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为
【答案】5
。
B
5、如图，直角三角形ABC中, AC=1
，
BC=2，P为斜
E
P
边AB上一动点。PE⊥BC
，
PF⊥CA，则线段EF长的
最小值为
【答案】
25
5
2
。
C
F
第五题图
A
6、设a
，
b是方程
x
x
2
68x10
的两个根，c
，
d是方程
86x10
的两个根，则(a+ c)( b + c)( a -d)( b -d)的
值。
【答案】2772
7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx-1的图像与
线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是
【答案】
1
3
k
3
2
。
8方程xyz=2018的所有整数解有
【答案】72
组。
9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD
，
∠ABC=78°，∠BCD=162°。设
AD,BC延长线交于E ，则∠AEB=
【答案】21°
D
A
。
C
D
M
B
C
第九题图
E
A
第十题图
B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，
点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和
是。
【答案】
3001503
二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB =90°，点D在CA上，使得
CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，
求BC的长。
解：设BC=x，则
BD
ABx
2
B
x
2
1
，
C
A
DE
第二大题图
16
，如图，作∠ABD平分
线BE，则
BDEADB
,因此
BD
BD
ABAE
2
DEDA
DE
AEDE
x
3DE
BD
AB
411
11
。
BD
DE
3BD
ABBD
由角平分线定理可知
因此
x
2
DE
。
1
9x
x
2
2
1
x
2
161
，解得
BC
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数
其中数字c可以是0。
解：设
xab,ycd
,，则
100xy(xy)
2
abcd
，
abcd(abcd)
2
，故
x
2
(2y100)x(y
2
y)0
有
整数解，由于10< x <100，故y≠0。因此
x
(2y100)
2
2
4(y
2
y)4(250099y)
是完全平方数，
(50t)(50t)
，0≤50- t<50+ t之和为100，
可设
t250099y
，故
99y
而且其中有11的倍数，只能有50-t= 1或50-t=45，相应得到y=1,25，
代入解得
x98
,
x
y
20
,
25y
x30
25y1
因此
abcd9801,2025,3025
。
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2018
的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。
解：由于
2
2
,3
2
,5
2
,7
2
,11
2
,13
2
,17
2
,19
2
,23
2
,29
2
,31
2
,37
2
,41
2
,43
2
这14个合数都小
于2018且两两互质，因此n≥15。
而n=15时，我们取15个不超过2018的互质合数
a
1
,a
2
,,a
15
的最小素
因子
p
1
,p
2
,,p
15
，则必有一个素数≥47，不失一般性设
p
15
47
，由于
p
15
是合数
a
15
的最小素因子，因此
a
15
p
15
2
472009
，矛盾。因此，任意
15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，
最小是15。
n
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,
a
2
b
与
ab
2
都是有理数，称
更多推荐
正整数,正三角形,满足,条件
发布评论