2024年4月17日发(作者：无锡天一数学试卷)

2020届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．5

参考公式：

1

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．

3

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4，8}，则A∪B＝________．

2. 若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝________．

3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频

数为________．

I←1

While I<5

I←I＋2

S←I＋3

End While

Print S

(第3题)

(第4题)

4. 根据如图所示的伪代码，可得输出S的值为________．

x

2

y

2

5. 若双曲线

2

－

2

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则该双曲线的离心

ab

率为________．

6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)

先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，则|x－y|＝1的概率是________．

7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

2

＝4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离

1

的3倍，则点P的横坐标为________．

8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日

健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为

378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共

走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是________里．

9. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(1)＝1，则f(6)＋f(7)＋f(8) 的值为

________．

10. 将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面．若圆锥的体积为93π，则R＝

________．

x＋a，x≥a，

11. 若函数f(x)＝

2

只有一个零点，则实数a的取值范围是________．

x－1，x

12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)在圆O：x

2

＋y

2

＝4上，且

满足x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝－2，则x

1

＋x

2

＋y

1

＋y

2

的最小值是________．

→→→

13. 在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．若AB＝3AD，AC

→→→→→→

＝λAF，且BC·ED＝2EF·ED＝6，|ED|＝1，则实数λ的值为________．

BD

14. 在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD，3tan

2

B－2tan A＋3＝0，则的

CD

取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC，点D，E，F分別是AB，AC，

BC的中点．求证：

(1) BC∥平面PDE；

(2) 平面PAF⊥平面PDE.

2

16. (本小题满分14分)

1

已知函数f(x)＝sin

2

x＋sin xcos x－，x∈R.

2

(1) 求函数f(x)的最大值，并写出相应的x的取值集合；

(2) 若f(α)＝

π3π

2

，α∈(－，)，求sin 2α的值．

688

3

17. (本小题满分14分)

某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图，M，N是

圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别

交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内

休息区，设∠MAB＝θ.

π

(1) 当θ＝时，求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)；

4

(2) 当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．

4

18. (本小题满分16分)

x

2

y

2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：

2

＋

2

＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A

ab

的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O.

当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝3b.

(1) 求椭圆M的标准方程；

(2) 求矩形ABCD的面积S的最大值；

(3) 矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．

5

19. (本小题满分16分)

定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．

x

(1) 判断函数f(x)＝

x

－1是否为“YZ函数”，并说明理由；

e

(2) 若函数g(x)＝ln x－mx(m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；

111

(3) 已知h(x)＝x

3

＋ax

2

＋bx－b，x∈(0，＋∞)，a，b∈R，求证：当a≤－2，且0＜b

323

＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．

6

20. (本小题满分16分)

已知数列{a

n

}，{b

n

}，{c

n

}满足b

n

＝a

n

＋

2

－a

n

，c

n

＝2a

n

＋

1

＋a

n

.

(1) 若数列{a

n

}是等比数列，试判断数列{c

n

}是否为等比数列，并说明理由；

(2) 若a

n

恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b

n

}是等差数列；

(3) 若数列{b

n

}是各项均为正数的等比数列，数列{c

n

}是等差数列，求证：数列{a

n

}是等

差数列．

7

2020届高三模拟考试试卷(十七)

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，

则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

a



34

对应的变换下得到列向量

b－2

，求M

－

1

b

. 已知列向量



在矩阵M＝



5



12



a

b

B. (选修44：坐标系与参数方程)

x＝cos α，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(α为参数)．以坐标原点O

y＝3sin α

π

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝42，点P

4

为曲线C上任一点，求点P到直线l距离的最大值．

C. (选修45：不等式选讲)

a

2

b

2

c

2

已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，＋＋＝3，求证：a＋b＋c≤3.

bca

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤．

22. 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2

π

的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1.

2

(1) 求异面直线AE和DF所成角的余弦值；

8


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