江苏省清江中学高三数学复习资料 编制人尚月如 做题人顾卫红 张勇 审核

2024年3月24日发(作者：数学试卷六年上册种类)

江苏省清江中学高三数学复习资料 编制人：尚月如 做题人：顾卫红 张勇 审核人：尚月如 顾卫红 张勇

向量的有关概念

（一）基础知识回顾：

1.向量的概念：既有 又有 的量叫向量,二要素：大小、方向（有向线段有三要素）





2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母

a

、

b

等表示；③向量的坐标表示.

3.零向量、单位向量：①长度为 的向量叫零向量②长度为 的向量叫单位向量.









4.平行向量定义：①方向 或 的非零向量叫平行向量，向量

a

、

b

平行，记作

a

∥

b

；



②规定：

0

与任一向量平行. ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

5.相等向量定义：长度 且方向 的向量叫相等向量.

6.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法有 法则和 法则.













7．向量的减法：向量

a

加上的

b

相反向量叫做

a

与

b

的差。即：

a



b

=

a

+ (

b

)







8．差向量的几何意义：

OA

=

a

,

OB

=

b

, 则

BA

=

a



b

（二）基础训练

1.判断下列命题的真假：













（1）“

abab

”的充要条件是“

a

和

b

的方向相同”； （ ）













（2）“

abab

” 的充要条件是“

a

和

b

有相等的模”； （ ）

（3）若

|a|0,则a0

； （ ）

（4）若

|a||b|,则a与b

是平行向量 （ ）

2. 设

a

0

为单位向量，（1）若

a

为平面内的某个向量，则

a

=|

a

|·

a

0

;(2)若

a

与

a

0

平行，则





a

=|

a

|·

a

0

；（3）若

a

与

a

0

平行且|

a

|=1，则

a

=

a

0

。上述命题中，假命题个数是（ ）

A.0



B.1



C.2 D.3









1

ab,

○

2

|

a

|=|

b

|，○

3

a与b

方向相反，○

4

a0或b0,

3.

a,b

是任意向量，给出：○



5

○

a、b

都是单位向量，其中 是

a与b

共线的充分不必要条件.



（三）例题分析

：

例1．在下列情形中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？

（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；

（2）把平行于直线

L

的所有单位向量的起点平移到直线

L

上的点P；

（3）把平行于直线

L

的所有向量的起点平移到直线

L

上的点P.

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例2．判断下列命题以及它们的逆命题正确与否

（1）向量

AB与CD

是共线向量，则A、B、C、D在同一直线上；

（2）向量

a与b平行,则a,b的方向相同或相反

；

（3）

ABC中,必有ABBCCA0

；

（4）如果非零向量

a与b

的方向相同或相反，那么

ab

的方向必与

a,b

之一的方向相同.

例3．一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1米，顺时针方向转弯60°，按直线向前行

进1米，再顺时针方向转弯60°，继续按直线向前行1米，„，如操作六次

（1）按1：100的比例，画出赛车的移动的轨迹；

（2）观察赛车位移示意图，你能得到什么结论？

例4.如图，在△OAB中，AB上有一点P（点P不与点A、B重合），设

xy1,

OAa,OBb,OPxayb(x0,y0),

求证：

并且

AP

y

PB.

x

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（三）课后作业： 班级 姓名

A组

（ ）1．

ABCD

的一个必要不充分的条件是

A．A与C重合

C．

|AB||CD|

B．A与C重合，B与D重合

D．A、B、C、D四点共线

（ ）2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点

P， 且EF//AB，则

A．

ADBC

C．

PEPF

B．

ACBD

D．

EPPF

（ ）3．下列命题中正确的是

A．

|a||b|ab

B．

|a||b|ab

C．

aba//b

D．单位向量都相等

（ ）4．如图，设ABCD是菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是

A．

AB和CD

C．

AD和CD

B．

AD和BC

D．

AD和AB

（ ）5．两个非零向量相等的一个必要不充分条件是

A．两个向量长度相等 B．两个向量方向相反

C．两个向量长度相等，且方向相同 D．两向量的起点和终点分别重合

（ ）6．设O是正

ABC

的中心，则向量

AO

、

OB

、

OC

是

A．有相同起点的向量 B．平行向量

C．模相等的向量 D．相等向量

7．

ABDFCDBCFA

_____________.

8.物理学中的作用力和反作用力是模______且方向________的共线向量.

1

9．如图，

ABC和A



B



C



是在各边的处相交的两个正三角形,ABC

3

的边长为a，图中与向量

GH

相等的向量是 _______.

10．判断下列各命题是否正确？

（1）若

ABDC,则ABC

（ ）

D

是平行四边形；

（2）若四边形ABCD是平行四边形，则

ABDC

； （ ）

（3）若

ab,bc,则ac

； （ ）

（4）若

a//b,b//c,则a//c.

（ ）

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11．如图是4×5的矩形（每个小方格都是正方形）试在图中作出起点和终

点都在方格的顶点处且与

AB

相等的向量.

12．给出下列命题：

（1）共线向量是平行向量； （2）平行向量是共线向量；

（3）相等向量是平行向量； （4）平行向量是相等向量； （5）共线向量是相等向量.

其中真命题是___________（填上所有真命题的序号）

B组





















（ ）13. 已知向量

a,b

，且

A

则一定共线的是

Bab2BC,a5bC6D,a7b2,

A. Ａ、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D

（ ）14．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA



(

A．外心

AB

|AB|



AC

|AC|

),



[0,),则P的轨迹一定通过ABC的

C．重心 D．垂心

B．内心

15．试用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

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