2024年3月13日发(作者：数学试卷家长签字反馈)

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第一章 集合………………………………………………1

第二章

第三章

第四章

第五章

第六章

第七章

第八章

第九章

第十章

不等式……………………………………………2

函数………………………………………………3

指数函数与对数函数……………………………6

数列………………………………………………8

三角函数…………………………………………8

平面向量…………………………………………11

平面解析几何……………………………………13

立体几何…………………………………………18

排列、组合与二次项定理………………………19

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三校生（职业高中）数学概念与公式

第一章 集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素：

确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

｛

x|

x

,

x}

；另重点类型如：注：

描述法

｛y|yx

2

3x1,x(1,3]｝



元素

元素性质取值范围

3. 常用数集：

N

（自然数集）、

Z

（整数集）、

Q

（有理数集）、

R

（实数集）、

N

*

（正整

数集）、

Z

（正整数集）

4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1） 元素与集合是“

”与“

”的关系。

（2） 集合与集合是“

” “”“

”“

”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑

是否满足题意）

（2）一个集合含有

n

个元素，则它的子集有

2

n

个，真子集有

2

n

1

个，非空真子集有

2

n

2

个。

5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）

（1）

AB{x|xA且xB}

：

A

与

B

的公共元素（相同元素）组成的集合

（2）

AB{x|xA或xB}

：

A

与

B

的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）

C

U

A

：

U

中元素去掉

A

中元素剩下的元素组成的集合。

注：

C

U

(

A

B

)

C

U

A

C

U

B

C

U

(AB)C

U

AC

U

B

6. 逻辑联结词：

且（

）、或（

）非（

）如果„„那么„„（

）

量词：存在（

） 任意（

）

真值表：

pq

：其中一个为假则为假，全部为真才为真；

pq

：其中一个为真则为真，全部为假才为假；

p

：与

p

的真假相反。

（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”

假为假，假“推”真假均为真。）

7. 命题的非

（1）是

不是

都是

不都是（至少有一个不是）

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（2）

„„，使得

p

成立

对于

„„，都有

p

成立。

对于

„„，都有

p

成立

„„，使得

p

成立

（3）

(pq)pq

(pq)pq

8. 充分必要条件

p

是

q

的„„条件

p

是条件，

q

是结论

充分



p



q

p是q的充分不必要条件

（充分条件）

不必要

不充分



q

p是q的必要不充分条件

（必要条件）

p



必要

充分



p



q

p是q的充分必要条件

(充要条件)

必要

不充分



q

p是q的既不充分也不必要条件

p



不必要

第二章 不等式

1. 不等式的基本性质：

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：

20102009与20092008

（倒数法）等。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.

重要的不等式：

（

均值定理）

（1）

a

2

b

2

2ab

，当且仅当

ab

时，等号成立。

（2）

ab2ab(a,bR

)

，当且仅当

ab

时，等号成立。

（3）

abc3abc(a,b,cR

)

，当且仅当

abc

时，等号成立。

ab

（算术平均数）

ab

（几何平均数）

2

3. 一元一次不等式的解法

4. 一元二次不等式的解法

（1） 保证二次项系数为正

（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3） 定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；

小于两根之间

注：若

0或0

，用配方的方法确定不等式的解集。

5. 绝对值不等式的解法

注：

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|x|aaxa

若

a0

，则

|x|axa或xa

6. 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

第三章 函数

1. 映射:

一般地，设

A、B

是两个集合，如果按照某种对应法则

f

，对于集合

A

中的任何一个元素，

在集合

B

中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合

A

到集合

B

的映射，记作：

f:AB

。

注：理解原象与象及其应用。

（1）

A

中每一个元素必有惟一的象；

（2）对于

A

中的不同的元素，在

B

中可以有相同的象；

（3）允许

B

中元素没有原象。

2. 函数:

（1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。

（2） 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

3. 函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

（1）

定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的

x

的取值范围

主要依据：

① 分母不能为0

② 偶次根式的被开方式

0

③ 特殊函数定义域

yx

0

,x0

ya

x

,(a0且a1),xR

ylog

a

x,(a0且a1),x0

ytanx,xk

2

,(kZ)

（2）

值域的求法：

y

的取值范围

① 正比例函数：

ykx

和 一次函数：

ykxb

的值域为

R

② 二次函数：

yax

2

bxc

的值域求法：配方法。如果

x

的取值范围不是

R

则还需画图

像

1

的值域为

{y|y0}

x

axba

④

y

的值域为

{y|y}

cxdc

③ 反比例函数：

y

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mxn

的值域求法：判别式法

2

axbxc

⑥ 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3） 解析式求法：

在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

4. 函数图像的变换

（1） 平移

⑤

y

yf(x)

向右平移向左平移

yf(xa)

yf(x)yf(xa)

a个单位a个单位

向上平移向下平移

yf(x)a

yf(x)yf(x)a

a个单位a个单位

yf(x)

（2） 翻折

yf(x)

沿x轴保留x轴上方图像

yf(x)

yf(x)y|f(x)|

上、下对折下方翻折到上方

保留y轴右边图像

yf(|x|)

右边翻折到左边

yf(x)

5. 函数的奇偶性:

（1） 定义域关于原点对称

（2） 若

f(x)f(x)

奇 若

f(x)f(x)

偶

注：①若奇函数在

x0

处有意义，则

f(0)0

②常值函数

f(x)a

（

a0

）为偶函数

③

f(x)0

既是奇函数又是偶函数

6.

函数的单调性:

对于

x

1

、x

2

[a,b]

且

x

1

x

2

，若

f(x

1

)f(x

2

),称f(x)在[a,b]上为增函数

f(x

1

)f(x

2

),称f(x)在[a,b]上为减函数

增函数：

x

值越大，函数值越大；

x

值越小，函数值越小。

减函数：

x

值越大，函数值反而越小；

x

值越小，函数值反而越大。

复合函数的单调性：

h(x)f(g(x))

f(x)

与

g(x)

同增或同减时复合函数

h(x)

为增函数；

f(x)

与

g(x)

相异时（一增一减）复合函

数

h(x)

为减函数。

注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。

7. 二次函数:

（1）二次函数的三种解析式:

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①一般式：

f(x)ax

2

bxc

（

a0

）

②

顶点式：

f(x)a(xk)

2

h

（

a0

），其中

(k,h)

为顶点

③两根式：

f(x)a(xx

1

)(xx

2

)

（

a0

），其中

x

1

、x

2

是

f(x)0

的两根

（2）图像与性质:

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

① 开口

a0

开口向上

a0

开口向下

b

②

对称轴：

x

2a

b4acb

2

③

顶点坐标：

(,)

2a4a

0有两交点

④

与

x

轴的交点：

0有1交点

0无交点

⑤ 一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）

b

xx

2

1

a

c

x

1

x

2

a

⑥

f(x)ax

2

bxc

为偶函数的充要条件为

b0

⑦ 二次函数（二次函数恒大（小）于0）

a0

图像位于x轴上方

f(x)0

0

a0

f(x)0

图像位于x轴下方

0

⑧ 若二次函数对任意

x

都有

f(tx)f(tx)

，则其对称轴是

xt

。

⑨ 若二次函数

f(x)0

的两根

x

1

、x

2

0

ⅰ. 若两根

x

1

、x

2

一正一负，则

xx0

12

ⅱ. 若两根

x

1

、x

2

同正（同负）

0

0



若同正，则

x

1

x

2

0

若同负，则

x

1

x

2

0

xx0

xx0

12

12

ⅲ.若两根

x

1

、x

2

位于

(a,b)

内，则利用画图像的办法。

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0

0



若a0,则

f(a)0

若a0,则

f(a)0

f(b)0

f(b)0

注：若二次函数

f(x)0

的两根

x

1

、x

2

；

x

1

位于

(a,b)

内，

x

2

位于

(c,d)

内，同样利用画

图像的办法。

8. 反函数:

（1）函数

yf(x)

有反函数的条件

x与y

是一一对应的关系

（2）求

yf(x)

的反函数的一般步骤：

①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域

②由原函数的解析式，求出

x

③将

x,y

对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

（3）

原函数与反函数之间的关系

① 原函数的定义域是反函数的值域

原函数的值域是反函数的定义域

② 二者的图像关于直线

yx

对称

③ 原函数过点

(a,b)

，则反函数必过点

(b,a)

④ 原函数与反函数的单调性一致

第四章 指数函数与对数函数

1. 指数幂的性质与运算:

（1）根式的性质：

①

n

为任意正整数，

(

n

a)

n

a

②当

n

为奇数时，

n

a

n

a

；当

n

为偶数时，

n

a

n

|a|

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

（2） 零次幂：

a

0

1

(a0)

（3） 负数指数幂：

a

n

（4） 分数指数幂：

a

m

n

1

(a0,nN

*

)

n

a

n

a

m

(a0,m,nN

且n1)

（5） 实数指数幂的运算法则：

(a0,m,nR)

①

a

m

a

n

a

mn

②

(a

m

)

n

a

mn

③

(ab)

n

a

n

b

n

2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一

个数的

n

次方。

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当a0时，yx

a

在（0，）上单调递增

3.

幂函数

yx

a

）上单调递减

当a0时，yx在（0，

a

4. 指数与对数的互化

a

b

Nlog

a

Nb

(a0且a1)

、

(N0)

① 对数基本性质：①

log

a

a1

②

log

a

10

③

a

log

a

N

N

④

log

a

a

N

N

⑤

log

a

b与log

b

a互为倒数

log

a

blog

b

a1log

a

b

log

a

m

b

n

n

log

a

b

m

1

⑥

log

b

a

5. 对数的基本运算：

log

a

(MN)log

a

Mlog

a

N

log

a

6.

换底公式：

log

a

N

M

log

a

Mlog

a

N

N

log

b

N

(b0且b1)

log

b

a

对数函数

7.

指数函数、对数函数的图像和性质

指数函数

定

ya

x

(a0,a1的常数)

义

图

像

ylog

a

x(a0,a1的常数)

性

质

(1)

xR,y0

(2)

图像经过

(0,1)

点

（3）

(1)

xR,y0

(2)

图像经过

(1,0)

点

（3）

a1,ya

x

为增函数；

0a1,ya为减函数

x

a1,ylog

a

x在(0,)上为增函数；

0a1,ylog

a

x在(0,)上为减函数

8.

利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂

（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。

9. 指数方程和对数方程

（1） 指数式和对数式互化

（2） 同底法

（3） 换元法

（4） 取对数法

注：

解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

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第五章 数列

定

义

等差数列

每一项与前一项之差为同一个常数

等比数列

每一项与前一项之比为同一个常数

a

2

a

1

a

3

a

2

a

n

a

n1

d

注：当公差

d0

时，数列为常数列

a

a

2

a

3



n

q

(q0)

a

1

a

2

a

n1

注：等比数列各项及公比均不能为0；

当公比为1时，数列为常数列

a

n

a

1

q

n1

通项

a

n

a

1

(n1)d

公式

aa

m

（1）

d

n

推

nm

论

（2）

a

n

a

m

(nm)d

（3）若

mnpq

，则

a

m

a

n

a

p

a

q

（1）

q

nm

a

n

a

m

（2）

a

n

a

m

q

nm

（3）若

mnpq

，则

a

m

a

n

a

p

a

q

中项三个数

a、b、c

成等差数列，则有

ac

公式

2bacb

2

前

n

n(a

1

a

n

)

n(n1)

S

n

na

1

d

项和

22

公式

其

S

2n1

(2n1)a

n

如：

S

7

7a

4

它

等差数列的连续

n

项之和仍成等差

数列

三个数

a、b、c

成等比数列，则有

b

2

ac

a

1

(1q

n

)

a

1

a

n

q

（

q1

）

S

n



1q1q

等比数列的连续

n

项之和仍成等比数

列

(n1)

S

1

1. 已知前

n

项和

S

n

的解析式，求通项

a

n

：

a

n

S

n

S

n1

(n2)

第六章 三角函数

180

o

弧度，

1

o

1. 弧度和角度的互换：

180

180

o

)57

o

18\'

弧度

0.01745

弧度，

1

弧度

(

2. 扇形弧长公式和面积公式

111

L

扇

|

|r

，

S

扇

Lr|

|r

2

（记忆法：与

S

ABC

ah

类似）

222

注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。

3. 任意三角函数的定义：

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sin

对边

倒数

1

记忆法：S、C互为倒数

csc

斜边

sin

邻边

倒数

1

记忆法：C、S互为倒数

sec

斜边

cos

对边

倒数

1

cot

邻边

tan

cos

tan

4. 特殊三角函数值:

sin

00

0

6

30

0

4

45

0

3

60

0

2

90

0

一象限

0

2

4

2

0

1

2

3

2

2

2

2

2

1

3

2

1

2

4

2

0

2

cos

tan

3

3

3

不存在

5. 三角函数的符号判定:

（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）

（2） 图像记忆法

6.

三角函数基本公式:

sin

1

（可用于化简、证明等）

tan



cos

cot

（1.可用于已知

sin

求

cos

；或者反过来运用。 2.注意1的运用）

sin

2

cos

2

1

1tan

2

sec

2

（可用于已知

cos

（或

sin

）求

tan

或者反过来运用）

7. 诱导公式:

（1） 口诀：奇变偶不变，符号看象限。

(kZ)

，若

k

为奇数，则函数名要改变，若

k

为偶数函数名不变。

2

（2） 分类记忆

① 去掉偶数倍

（即

2k

）

解释：指

k

（四象限）

② 将剩下的写成

（一象限）、

（二象限）、

（三象限）、

再看象

限定正负号（函数名称不变）；或写成

-

（一象限）、

（二象限）

，再看象限定正

22

负号（要变函数名称）

③

要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余

或互补的关系。

8. 已知三角函数值求角

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（1） 确定角

所在的象限

（2） 求出函数值的绝对值对应的锐角

\'

（3） 写出满足条件的

0~2

的角

（4） 加上周期（同终边的角的集合）

9.

和角、倍角公式:

sin(

)sin

cos

cos

sin

注意正负号相同

cos(

)cos

cos

sin

sin

注意正负号相反

tan(

)

tan

tan

tan

tan

tan(

)(1tan

tan

)

1

tan

tan

sin2

2sin

cos

，

cos2

cos

2

sin

2

2cos

2

112sin

2

tan2

1cos

sin

1cos

2tan

tan

，

2sin

1cos

1cos

1tan

2

10.三角函数的图像与性质

性质

函数 图像

定义域 值域 同期

奇

偶单调性

性

[2k

2

ysinx

xR

[1,1]

2

3

T2

奇

[2k

,2k

]

22

,2k

]

ycosx

xR

[1,1]

[2k

,2k

]

T2

偶

[2k

,2k

]

ytanx

xk

kZ

2

R

T

奇

(k

2

,k

2

)

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11.正弦型函数

yAsin(

x

)

(A0,

0)

(1)定义域

R

，值域

[A,A]

（2）周期：

T

2

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将

x

的系数提出来，再看是

怎样平移的。

（4）

yasinxbcosx

类型，

yasinxbcosx

a

2

b

2

sin(x

)

12.正弦定理:

abc

2R

（

R

为

ABC

的外接圆半径）

sinAsinBsinC

其他形式：

（1）

a2RsinA

b2RsinB

c2RsinC

（注意理解记忆，可只记一个）

（2）

a:b:csinA:sinB:sinC

b

2

c

2

a

2

13.余弦定理:

abc2bccosA

cosA

2bc

222

111

absinCbcsinAacsinB

222

15.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如

14. 三角形面积公式

S

ABC

两边之各大于第三边、三内角和为

180

0

，第一个内角都在

(0,

)

之间等。

第七章 平面向量

1. 向量的概念

（1） 定义：既有大小又有方向的量。

（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A，终点为B的向量表示为

AB

。

（3） 向量的模（长度）：

|AB|或|a|

（4） 零向量：长度为0，方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2. 向量的运算

（1） 图形法则

三角形法则 平形四边形法则

（2）计算法则

加法：

ABBCAC

减法：

ABACCA

（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律

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3. 数乘向量：

a

（1）模为：

|

||a|

（2）方向：

为正与

a

相同；

为负与

a

相反。

4.

AB

的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。

AB(x

B

x

A

,y

B

y

A

)

5.

向量共线（平行）：

惟一实数

，使得

a

b

。 （可证平行、三点共线问题等）

6. 平面向量分解定理：如果

e

1

,e

2

是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任

一向量

a

，都存在惟一的一对实数

a

1

,a

2

，使得

aa

1

e

1

a

2

e

2

。向量

a

在基

e

1

,e

2

下的坐

标为

(a

1

,a

2

)

。

1

(OAOB)

2

8.

注意

ABC

中，（1）重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、

内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义

1

（2）若

D

为

BC

边的中点，则

AD(ABAC)

坐标：两点坐标相加除以2

2

7. 中点坐标公式：

M

为

AB

的中点，则

OM

（3）若

O

为

ABC

的重心，则

AOBOCO0

; (重心坐标：三点坐标相加除以3)

9. 向量的内积（数量积）:

（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围

[0,

]

。

（2） 内积公式：

ab|a||b|cosa,b

10.向量内积的性质：

（1）

cosa,b

ab

|a||b|

（夹角公式） （2）

a

⊥

bab0

（3）

aa|a|

2

或|a|aa

（长度公式）

11.向量的直角坐标运算：

（1）

AB(x

B

x

A

,y

B

y

A

)

（2）设

a(a

1

,a

2

),b(b

1

,b

2

)

，则

ab(a

1

b

1

,a

2

b

2

)

a(

a

1

,

a

2

)

aba

1

b

1

a

2

b

2

（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）

a

1

b

1

（相对应坐标比值相等）

a

2

b

2

12.向量平行、垂直的充要条件

设

a(a

1

,a

2

),b(b

1

,b

2

)

，则

a

∥

b

a

⊥

b

ab0

a

1

b

1

a

2

b

2

0

（两个向量垂直则它们的内积为0）

13.长度公式:

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2

（1） 向量长度公式：设

a(a

1

,a

2

)

，则

|a|a

1

2

a

2

（2） 两点间距离公式：设点

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

则

|AB|(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

14.中点坐标公式：设线段

AB

中点为

M

，且

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

),M(x,y)

，则

x

1

x

2

x

2

（中点坐标等于两端点坐标相加除以2）

yy

2

y

1

2

第八章 平面解析几何

1. 曲线

C

上的点与方程

F(x,y)0

之间的关系：

（1） 曲线

C

上点的坐标都是方程

F(x,y)0

的解；

（2） 以方程

F(x,y)0

的解

(x,y)

为坐标的点都在曲线

C

上。

则曲线

C

叫做方程

F(x,y)0

的曲线，方程

F(x,y)0

叫做曲线

C

的方程。

2.

求曲线方程的方法及步骤

（1） 设动点的坐标为

(x,y)

（2） 写出动点在曲线上的充要条件；

（3） 用

x,y

的关系式表示这个条件列出的方程

（4） 化简方程（不需要的全部约掉）

3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4. 直线

（1） 倾斜角

：一条直线

l

向上的方向与

x

轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜

角。其范围是

[0,

)

（2） 斜率：①倾斜角为

90

0

的直线没有斜率； ②

ktan

（倾斜角的正切）

注：当倾斜角

增大时，斜率

k

也随着增大；当倾斜角

减小时，斜率

k

也随着减小！

③已知直线

l

的方向向量为

v(v

1

,v

2

)

，则

k

l

v

2

v

1

y

2

y

1

(x

1

x

2

)

x

2

x

1

④经过两点

P

1

(x

1

,y

1

),P

2

(x

2

,y

2

)

的直线的斜率

K

⑤直线

AxByC0

的斜率

K

（3） 直线的方程

① 两点式：

A

B

yy

1

xx

1

y

2

y

1

x

2

x

1

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②

斜截式：

ykxb

③

点斜式：

yy

0

k(xx

0

)

④ 截距式：

xy

1

a为l在x轴上的截距，b为l在y轴上的截距

ab

⑤

一般式：

AxByC0

其中直线

l

的一个方向向量为

(B,A)

注：(Ⅰ)若直线

l

方程为

3x4y50

，则与

l

平行的直线可设为

3x4yC0

；与

l

垂直

的直线可设为

4x3yC0

。

（4） 两条直线的位置关系

① 斜截式：

l

1

:yk

1

xb

1

与

l

2

:yk

2

xb

2

l

1

∥

l

2

k

1

k

2

且b

1

b

2

l

1

与

l

2

相交

k

1

k

2

l

1

与

l

2

重合

k

1

k

2

且b

1

b

2

，

l

1

⊥

l

2

k

1

k

2

1

，

② 一般式：

l

1

:A

1

xB

1

xC

1

0

与

l

2

:A

2

xB

2

xC

2

0

l

1

∥

l

2

A

1

B

1

C

2



A

2

B

2

C

2

l

1

与

l

2

重合

A

1

B

1

C

2



A

2

B

2

C

2

A

1

B

1

A

2

B

2

l

1

⊥

l

2

A

1

A

2

B

1

B

2

0

（5） 两直线的夹角公式

l

1

与

l

2

相交

① 定义：两直线相交有四个角，其中不大于

② 范围：

[0,]

2

③ 斜截式：

l

1

:yk

1

xb

1

与

l

2

:yk

2

xb

2

的那个角。

2

tan

|

k

1

k

2

|

（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）

1k

1

k

2

一般式：

l

1

:A

1

xB

1

xC

1

0

与

l

2

:A

2

xB

2

xC

2

0

cos

|A

1

A

2

B

1

B

2

|

AB

2

1

2

1

AB

2

2

2

2

(6)点到直线的距离

①

点

P(x

0

,y

0

)

到直线

AxByC0

的距离：

d

|Ax

0

By

0

C|

AB

22

③ 两平行线

AxByC

1

0

和

AxByC

2

0

的距离：

d

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|C

1

C

2

|

AB

22

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5. 圆的方程

（1） 标准方程：

(xa)

2

(yb)

2

r

2

（

r0

）其中圆心

(a,b)

，半径

r

。

（2） 一般方程：

x

2

y

2

DxEyF0

（

D

2

E

2

4F0

）

DE

圆心（

,

） 半径：

r

22

222

D

2

E

2

4F

2

xrcos

a

(3)参数方程：

(xa)(yb)r

的参数方程为

(

[0,2

))

yrcos

b

（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离

d

和半径

r

比较。

dr相交

；

dr相切

；

dr相离

（6） 圆

O

1

与圆

O

2

的位置关系：利用两圆心的距离

d

与两半径之和

r

1

r

2

及两半径之差

（总共五种：相离、外切、内切、相交、内含）

r

1

r

2

比较，再画个图像来判定。

（7） 圆的切线方程：

① 过圆

x

2

y

2

1

上一点

P(x

0

,y

0

)

的圆的切线方程：

x

0

xy

0

yr

2

② 过圆

(xa)

2

(yb)

2

r

2

外一点

P(x

0

,y

0

)

的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的

斜率为

k

，写出切线方程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解

出

k

。

6. 圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数

e

（离

心率）的点的轨迹。当

0e1

时，为椭圆；当

e1

时，为双曲线；当

e1

时为抛物线。

7. 椭圆

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数

2a

几何定义

|PF

1

||PF

2

|2a

x

2

y

2

x

2

y

2

2

1

（焦点在

x

轴上）

2

2

1

（焦点在

y

轴上）

2

abba

标准方程

图像

a,b,c

的关系

a

2

b

2

c

2

注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心

顶点坐标

x

轴：长轴长

2a

；

y

轴：短轴长

2b

；

O(0,0)

(a,0)

(0,b)

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焦点坐标

准线方程

(c,0)

焦距

2c

注：要特别注意焦点在哪个轴上

a

2

x

c

cb

2

e1

2

1

a

a

离心率

曲线范围

渐近线

axa,byb

无

(xx

0

)

2

(yy

0

)

2

中心在

(x

0

,y

0

)

的方程

1

中心

O\'(x

0

,y

0

)

22

ab

8. 双曲线

动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数

2a

几何定义

||PF

1

||PF

2

||2a

x

2

y

2

y

2

x

2

2

1

（焦点在

x

轴上）

2

2

1

（焦点在

y

轴上）

2

abab

标准方程

图像

a,b,c

的关系

c

2

a

2

b

2

注意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

x

轴：实轴长

2a

；

y

轴：虚轴长

2b

；

O(0,0)

(a,0)

(c,0)

焦距

2c

注：要特别注意焦点在哪个轴上

a

2

x

c

cb

2

e1

2

1

a

a

离心率

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曲线范围

渐近线

xa和xa

，

yR

y

b

x

（焦点在

x

轴上）

a

y

a

x

（焦点在

y

轴上）

b

(xx

0

)

2

(yy

0

)

2

中心在

(x

0

,y

0

)

的方程

1

中心

O\'(x

0

,y

0

)

a

2

b

2

注：1.等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等

ab

（2）离心率

e2

（3）渐近线

yx

2.（1）以

ymx

为渐近线的双曲线方程可设为

(ymx)(ymx)

(

0)

x

2

y

2

x

2

y

2

（2）与双曲线

2

2

1

有相同渐近线的双曲线可设为：

2

2

abab

9. 抛物线

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

几何

定义

|MF|d

（

d

为抛物线上一点

M

到准线的距离）

焦点

位置

x

轴正半轴

x

轴负半轴

y

轴正半轴

y

轴负半轴

图像

标准

方程

焦点

坐标

准线

方程

顶点

对称

轴

离心

率

y

2

2px

(p0)

y

2

2px

(p0)

x

2

2py

(p0)

x

2

2py

(p0)

p

F(,0)

2

p

x

2

O(0,0)

F(

p

,0)

2

p

x

2

p

F(0,)

2

p

y

2

p

F(0,)

2

p

y

2

x

轴

e1

y

轴

注：（1）

p

的几何意义表示焦点到准线的距离。

（2）

掌握焦点在哪个轴上的判断方法

（3）

AB

是抛物线

y

2

2px

(p0)

的焦点弦，

A(x

1

,y

1

)

，

B(x

2

,y

2

)

，则①弦长

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p

2

；

y

1

y

2

p

2

|AB|x

1

x

2

p

②

x

1

x

2

4

第九章 立体几何

1. 空间的基本要素：点、线、面

2. 平面的基本性质

（1） 三个公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一

条直线。

③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（2） 三个推论：

① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3. 两条直线的位置关系：

（1） 相交：有且只有一个公共点，记作“

abA

”

（2） 平行：

a.

过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

b.

平行于同一条直线的两条直线平行

（3） 异面：

① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于

的角。注

2

意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

③ 异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的

部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。

4. 直线和平面的位置关系：

（1） 直线在平面内：

l

（2） 直线与平面相交：

l

A

（3） 直线与平面平行

① 定义：没有公共点，记作：

l

∥

② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交

线平行。

5. 两个平面的位置关系

（1） 相交：

l

（2） 平行：

① 定义：没有公共点，记作：“

∥

”

② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行

③ 性质：

a.

两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

b.

平行于同一平面的两个平面平行

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c.

夹在两平行平面间的平行线段相等

d.

两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例

6. 直线与平面所成的角：

（1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角

（2） 范围：

[0,]

2

重要定理：

cos

cos

1

cos

2

7. 直线与平面垂直

（1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直

（2） 性质：

① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；

② 垂直于同一平面的两直线平行；

③ 垂直于同一直线的两平面平行。

8.

三垂线定理及逆定理：

① 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线

垂直。

② 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线

的射影垂直。

9. 两个平面垂直

（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面

垂直。

10.二面角

（1） 定义：过二面角

l

的棱上一点

O

，分别在两半平面内引棱

l

的垂线

OA、OB

，

则

AOB

为二面角的平面角

（2） 范围：

[0,

]

（3） 二面角的平面角构造：

① 按定义，在棱上取一点

O

，分别在两半平面内引棱的垂线

OA、OB

，则

AOB

即是

② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于

OA、OB

，

AOB

即是

③

由三垂线逆定理，在一平面内找一点

A

，分别作

AO

⊥棱

l

于

O

，

AB

垂直于另一平面

于点

B

，连结

OB

，则

AOB

即是

第十章 排列、组合与二项式定理

1.分类用加法：

Nm

1

m

2

m

n

分步用乘法：

Nm

1

m

2

m

n

2.有序为排列：

P

n

m

n(n1)(n2)(nm1)

n!

(nm)!

P

n

m

n(n1)(n2)(nm1)n!

无序为组合：

C

m

m!m!(nm)!

P

m

m

n

阶乘：

P

n

n

n!n(n1)(n2)321

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0

规定：

0!1

C

n

1

mnm

mmm1

3.组合数的两个性质：（1）

C

n

（2）

C

n

C

n

1

C

n

C

n

4.二项式定理：

0n01n11rnrrn11n1n0n

(ab)

n

C

n

abC

n

abC

n

abC

n

abC

n

ab

rnrr

r

叫做第

r1

项的二项式系数。

ab

，其中

C

n

通项：

T

r1

C

n

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