2024年3月27日发(作者：新疆理科高三数学试卷)

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2

A．{x|2

C．{x|1≤x<4}

2．

2i

12i

B．{x|2≤x≤3}

D．{x|1

A．1

C．i

B．−1

D．−i

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，

丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种

C．60种

B．90种

D．30种

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看

成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是

指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北

纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

A．20°

C．50°

B．40°

D．90°

5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学

生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

1

A．62%

C．46%

B．56%

D．42%

6．基本再生数R

0

与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，

世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

I(t)e

描述

累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R

0

，T近似满足R

0

=1+rT.有学者基于

已有数据估计出R

0

=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约

为(ln2≈0.69)

A．1.2天

C．2.5天

B．1.8天

D．3.5天

rt

7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则

APAB

的取值范围是

A．

(2,6)

C．

(2,4)

B．

(6,2)

D．

(4,6)

8．若定义在

R

的奇函数f(x)在

(,0)

单调递减，且f(2)=0，则满足

xf(x1)0

的x的取值范围是

A．

[1,1][3,)

B．

[3,1][0,1]

C．

[1,0][1,)

D．

[1,0][1,3]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知曲线

C:mxny1

.

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

n

22

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

y

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

m

x

n

2

π

A．

sin(x）

3

B．

sin(

ππ

5π

D．

cos(

2x)

C．

cos(2x）

2x)

36

6

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A．

a

2

b

2

1

2

B．

2

ab

1

2

C．

log

2

alog

2

b2

D．

ab2

12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为

1,2,

P(Xi)p

i

0(i1,2,,n),

p

i

1

，定义X的信息熵

H(X)

p

i

log

2

p

i

.

i1i1

nn

,n

，且

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着

p

i

的增大而增大

1

C．若

p

i

(i1,2,

n

,n)

，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为

1,2,

H(X)≤H(Y)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

,m

，且

P(Yj)p

j

p

2m1j

(j1,2,,m)

，则

13．斜率为

3

的直线过抛物线C：y

2

=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则

AB

=________．

14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a

n

}，则{a

n

}的前n项和为________．

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆

心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，

3

垂足为C，tan∠ODC=，

BH∥DG

，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，

5

圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm

2

．

3

16．已知直四棱柱ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长均为2，∠BAD=60°．以

D

1

为球心，

5

为半径的球面与侧面BCC

1

B

1

的交线长为________．

四、解答题：本题共

6

小题，共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17

．（

10

分）

在①

ac3

，②

csinA3

，③

c3b

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角

形存在，求

c

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在

△ABC

，它的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，且

sinA3sinB

，

C

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18

．（

12

分）

已知公比大于

1

的等比数列

{a

n

}

满足

a

2

a

4

20,a

3

8

．

（

1

）求

{a

n

}

的通项公式；

（

2

）记

b

m

为

{a

n

}

在区间

(0,m](mN

*

)

中的项的个数，求数列

{b

m

}

的前

100

项和

S

100

．

19

．（

12

分）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100

天空气中的

PM2.5

和

SO

2

浓度（单位：

μg/m

3

），得下表：

，

________?

6

SO

2

PM2.5

[0,50]

(50,150]

(150,475]

[0,35]

(35,75]

(75,115]

32

6

3

18

8

7

4

12

10

（

1

）估计事件

“

该市一天空气中

PM2.5

浓度不超过

75

，且

SO

2

浓度不超过

150

”

的概率；

4

（

2

）根据所给数据，完成下面的

22

列联表：

SO

2

PM2.5

[0,150]

(150,475]

[0,75]

(75,115]

（

3

）根据（

2

）中的列联表，判断是否有

99%

的把握认为该市一天空气中

PM2.5

浓度与

SO

2

浓度有关？

n(adbc)

2

附：

K

，

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

P(K

2

k)

k

0.050 0.010 0.001

3.841 6.635 10.828

20

．（

12

分）

如图，四棱锥

P-ABCD

的底面为正方形，

PD

⊥底面

ABCD

．设平面

PAD

与平面

PBC

的交线为

l

．

（

1

）证明：

l

⊥平面

PDC

；

（

2

）已知

PD=AD=1

，

Q

为

l

上的点，求

PB

与平面

QCD

所成角的正弦值的最大值．

21

．（

12

分）

已知函数

f(x)ae

x1

lnxlna

．

（

1

）当

ae

时，求曲线

y=f

（

x

）在点（

1

，

f

（

1

））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（

2

）若

f

（

x

）

≥1

，求

a

的取值范围．

22

．（

12

分）

x

2

y

2

2

已知椭圆

C

：

2

2

1(ab0)

的离心率为，且过点

A

（

2

，

1

）．

ab

2

（

1

）求

C

的方程：

5

（

2

）点

M

，

N

在

C

上，且

AM

⊥

AN

，

AD

⊥

MN

，

D

为垂足．证明：存在定点

Q

，使得

|DQ|

为定值．

6


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