2024年4月18日发(作者：高三数学试卷低分)
2019年高考新课标全国3卷理科数学
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。
1
．已知集合
A{1,0,1,2}，B{xx1}
，则
A
A
．
1,0,1
2
．若
z(1i)2i
，则
z=
A
．
1i
B
．
1+i
C
．
1i
D
．
1+i
B
．
0,1
2
B
D
．
0,1,2
C
．
1,1
3
．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著
.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了
100
学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》
的学生共有
90
位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共
有
60
位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A
．
0.5 B
．
0.6 C
．
0.7 D
．
0.8
4
．（
1+2x
2
）（
1+x
）
4
的展开式中
x
3
的系数为
A
．
12 B
．
16 C
．
20 D
．
24
5
．已知各项均为正数的等比数列
{a
n
}
的前
4
项为和为
15
，且
a
5
=3a
3
+4a
1
，则
a
3
=
A
．
16 B
．
8 C
．
4 D
．
2
6
．已知曲线
yae
x
xlnx
在点（
1
，
ae
）处的切线方程为
y=2x+b
，则
A
．
ae，b1
B
．
a=e
，
b=1 C
．
ae
1
，b1
D
．
ae
1
，
b1
2x
3
7
．函数
y
x
在
6,6
的图象大致为
x
22
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．如图，点
N
为正方形
ABCD
的中心，△
ECD
为正三角形，平面
ECD
⊥平面
ABCD
，
M
是线段
ED
的中
点，则
A
．
BM=EN
，且直线
BM
、
EN
是相交直线
B
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线
C
．
BM=EN
，且直线
BM
、
EN
是异面直线
D
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是异面直线
1 / 9
9
．执行下边的程序框图，如果输入的
为
0.01
，则输出
s
的值等于
A.
2
1
2
4
B.
2
1
2
5
C.
2
1
2
6
D.
2
1
2
7
x
2
y
2
10
．双曲线
C
：
4
2
=1
的右焦点为
F
，点
P
在
C
的一条渐进线上，
O
为坐标原点，若
PO=PF
，则△
PFO
的面积为
A
．
32
4
B
．
32
2
C
．
22
D
．
32
11
．设
f
x
是定义域为
R
的偶函数，且在
0,
单调递减，则
A
．
f
（
log
3
1
）＞
f
3
2
4
（
2
2
）＞
f
（
2
2
3
）
B
．
f
（
log
3
1
4
）＞
f
（
2
3
）＞
f
（
2
3
2
）
C
．
f
（
3
2
．
f
（
2
3
2
2
）＞
f
（
2
3
）＞
f
（
log
3
1
）
D
2
f
4
2
3
）＞
f
（
2
）＞（
log
3
1
4
）
12
．设函数
f
x
=sin
（
x
5
）
(
＞0
)
，已知
f
x
在
0,2
有且仅有
5
个零点，下述四个结论：
①
f
x
在（
0,2
）有且仅有
3
个极大值点；②
f
x
在（
0,2
）有且仅有
2
个极小值点
③
f
x
在（
0,
10
）单调递增；④
的取值范围是
[
12
5
，
29
10
)
其中所有正确结论的编号是（
）
A
．①④
B
．②③
C
．①②③
D
．①③④
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．已知
a
，
b
为单位向量，且
a
·
b
=0
，若
c2a5b
，则
cosa,c
___________.
14
．记
S}
的前
n
项和，
a
S
10
n
为等差数列
{a
n
1
≠0，a
2
3a
1
，则
S
________.
5
．设
F
:
x
2
y
2
15
1
，F
2
为椭圆
C
36
+
20
1
的两个焦点，
M
为
C
上一点且在第一象限
.
若
△MF
1
F
2
为等腰三角形，则
M
的坐标为
___________.
16
．学生到工厂劳动实践，利用
3D
打印技术制作模型
.
如图，该模型为长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
挖去四棱
锥
O—EFGH
后所得几何体，其中
O
为长方体的中心，
E
，
F
，
G
，
H
分别为所在棱的中点，
AB=BC=6cm, AA
1
=4cm
，
3D
打印所用原料密度为
0.9 g/cm
3
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料
的质量为
___________.
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。
2 / 9
（一）必考题：共
60
分。
17
．（
12
分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将
200
只小鼠随机分成
A
、
B
两组，每组
100
只，其中
A
组小鼠给服甲离子溶液，
B
组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体
积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比
.
根据试验数
据分别得到如下直方图：记
C
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
5.5
”，根据直方图得到
P
（
C
）
的估计值为
0.70
．（
1
）求乙离子残留百分比直方图中
a
，
b
的值；（
2
）分别估计甲、乙离子残留百分比的
平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18. （12分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对边分别为
a
，
b
，
c
.已知
asin
（2）若
ABC
为锐角三角形，且
c1
，求
ABC
面积的取值范围。
3 / 9
AC
bsinA
,
(1)求
B
；
2
19. （12分）图1是由矩形
ADEB
，其中
AB1,BEBF2,
RtABC
和菱形
BFGC
组成的一个平面图形，
FBC60.
将其沿
AB,BC
折起使得
BE
与
BF
重合，连结
DG
,如图2.（1）证明：图2中的
A,C,G,D
四
点共面，且平面
ABC
平面
BCGE
;（2）求图2的二面角
BCGA
的大小。
20. （12分）已知函数
f
x
2xaxb.
（1）讨论
f
x
的单调性；（2）是否存在
a,b
，使得
f
x
在
32
区间
0,1
的最小值为-1,且最大值为1？若存在，求出
a,b
的值；若不存在，说明理由。
4 / 9
x
2
1
,
D
为直线
y
上的动点，过
D
作
C
的两条切线,切点分别为
A,B
。21.（12分）已知曲线
C:y
（1）
2
2
证明：直线
AB
过定点；（2）若以
E
0,
形
ADBE
的面积。
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
5
为圆心的圆与直线
AB
相切，且切点为线段
AB
的中点，求四边
2
3
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系
Ox
中，
A
2,0
,B
2,
,C
2,
,D
2,
,
4
4
弧
AB,BC,CD
所在圆的圆心分别是
1,0
，
1,
，
1,
，曲线
M
1
是
AB
，曲线
M
2
是
BC
，曲线
M
3
是
CD
，
2
（1）分别写出
M
1
，
M
2
，
M
3
的极坐标方程；（2）曲线
M
由
M
1
，
M
2
，
M
3
构成，点
P
在
M
上，且
OP3
，
求
P
的极坐标。
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设
x,y,zR,
且
xyz1
。（1）求
x1
y1
z1
的最小值；
222
1
222
（2）
x2
y1
za
成立，证明：
a3
或
a1
。
3
5 / 9
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